(整理)储油罐的变位识别与罐容表标定模型.

储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘要 本文研究的是储油罐变位识别与罐容表标定的数学关系模型。

对于问题一, 罐体没有纵向变位时， 在储油罐本身几何分析的基础上，建立无变位的油量体积V 与标定表读数h 的关系模型。

计算出理论值，通过误差分析和线性拟合，求出系统误差和随机误差，修正了罐容表。

在罐体有纵向变位时，将储油罐的纵向变位划分为三种不同情况，利用积分思想求解不同变位情况下的油量的理论体积。

根据纵向倾斜参数︒=1.4α建立有纵向变位的油量体积V 与标定表读数h 的关系模型。

利用MATLAB 软件和excel 工具的解出油量体积V 的理论值。

然后，充分考虑模型中系统误差和偶然误差的影响，重新标定了罐容表，给出间隔为1cm 的罐容表标定表，解决了加油站罐容表无法准确反映储油量的问题。

对问题二罐体，我们建立了纵向α和横向β同时发生时，标定表读数h 与油量V 的数学模型。

我们不仅考虑了纵向变位的三种情况、横向变位的两种情况，而且考虑了纵向和横向变位同时发生的情况。

利用积分思想建立模型，运用MATLAB 软件对模型的不同情况进行了详细、精确的计算。

然后充分结合误差分析，以平方误差最小原则对α、β采取搜索算法，得出实际变化值2.0524, 4.0αβ==，并给出罐容表间隔为10cm 的标定表。

最后结合题目所给数据对所求数据进行检验。

通过模型分析，结合系统误差与读数h 的函数关系。

在多次误差分析的基础上再对模型进行了检验，得到了理想结果。

本文通过以上各模型的深入分析和研究，解决了储油罐变位时储油量与罐容表刻度不一致的问题，具有广泛的运用价值。

在运用方法上，我们采用了系统误差和观察误差双重误差分析，线性回归、拟合相结合的误差分析法以及搜索法等方法的运用，提高了罐容表标定的精确度，大大增添了本文的的科学性和结构的严谨性。

关键词：线性回归、拟合、MATLAB 、误差分析、搜索法一、 问题的重述大部分加油站储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

所以我们需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如问题A 附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔10cm 的罐容表标定值。

进一步利用问题A 附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、 基本假设1. 计算时候按油罐内部是光滑的计算；2. 油罐变位之前油面是与地面平行的；3. 油罐变位并没有引起油罐外形的变化；4. 题目中提供的实验数据准确可靠；5. 油浮子的大小忽略不计；6. 题目所给数据是内径数据；7. 根据题意假设油罐是左边下陷；8. 忽略油污等杂物对油位的影响。

9. 在模型一中不考虑温度、压强等客观因素对油体积的影响；10. 在油罐没有变位时罐容表0刻度与油罐底部的距离就已经确定；11. 油罐发生变位时没有造成油罐等设施破损，引起油量的外泄；12. 油始终不会溢出储油罐；13. 储油罐的两个球冠体同样大小。

三、 符号说明j &：油量差值 i V ：未变位时椭圆储油罐的理论体积； 油V ：储油罐中实际的储油量； α：储油罐纵向变位的倾斜角度；β：储油罐横向变位的偏转角度； i S ：椭圆储油罐未变位时横切面面积； 1ε：输油管等占据体积所引发的系统误差；i h 是油位高度，即OQ 的长； 2ε：模型二中压强、温度、管壁不平等引发的误差；3ε：由于视觉度数不同所引发的误差；j h 为油面到上顶端的距离，即OQ 长度；(其余符号在模型中具体说明)四、 模型的建立与求解4．1问题一模型建立与求解（一）储油罐未发生变位误差分析椭圆油罐未变位时，建立直角坐标系如下：图1 直角坐标系注：小椭圆的实轴为X 轴，虚轴为Y 轴；L 为椭圆油罐的长度小椭圆油罐截面的方程为： 12222=+by a x 故： 22y b b a x -= （1） 利用积分求解油在截面的面积：dy y b ba Sb H b i i ⎰---⨯=222 （i H 油面高度） （2） 椭圆油罐所装油的体积为： L S V i i ⨯= （3） 由方程（2），（3）得：]21)1arcsin()2()[(22b b H b H b H b H L b a V i i i i i π+-+--⨯= （4） 根据附件一的罐内油位高度数据求解椭圆油罐所装体积1V 见（附件一）MATLAB 运行程序见（附件二）所得数据与题目中数据对比，获得油量差值见（附件三）（二）模型分析在模型建立之前，我们首先对储油罐变位之前本身的误差进行分析，得到准确的油量与油位的偏差。

然后才建立模型，该模型主要是在研究椭圆柱形储油罐纵向变位油量与油位的对应关系。

为了全方位地分析油罐的纵向变位，我们将油罐划分为（0，2H ）、（2H ，1H ）、（1H ，3）三方面体积进行分类计算。

我们具体分析了储油罐本身的误差，然后结合系统误差与观察误差两方面进行了分析，并将油量与油位一一对应起来，标定油位高度间隔为1cm 的罐容表进行标定。

两方面误差的分析不失为本文的特色。

（三）模型建立在此模型中我们主要考虑储油罐的纵向变化。

而在纵向变化的过程中，我们又分为三种不同情况，即油面范围在（0，2H ）、（2H ，1H ）、（1H ，1.2m ）（如图2）三个阶段。

其中i h 表示油面在（0，2H ）、（2H ，1H ）两种情况下对应的油面和罐壁左侧的交点到左底角的距离，j h 表示油面高度在（1H ，1.2m ）情况下对应的油面与罐壁右侧的交点到右顶角的距离，我们在模型中分别对这三个阶段进行详细分析。

图2 关系划分三段标示图4.1.1第一部分：储油罐变位后油量体积计算（h ∈（0，2H ））当油平面读数h ∈（0，2H ），下图是储油罐变位后油平面在（0，2H ）位置的俯视图：图3 罐体俯视图注：平面ABC 是油平面，面ABC 截椭圆柱形得到锲形QABC ，QABC 体积即为油体积。

首先对锲形建立直角坐标系如下：图4 楔形直角坐标系垂直于Y 轴截锲形，得到一个长方形（如图4），i h 是油位高度，即OQ 的长度，且满足：αtan L h i ≤，L 为小椭圆油罐的长度；那么此长方形宽度为： αcot )(1⨯-=z m w （5） 长方形的长为： 222)(2z b b ba w --= （6） 易得长方形的面积共为： S(y)= ⨯⨯-αcot )(z h i 22)(2zb b ba -- (7) 故有： dz zb b z h ba V i m 220)()(cot 2---=⎰α油 (8) 对（8）式进行数学运算得到油罐此时的储油量表达式为:]43)2(2arcsin arcsin 2)(2)2([cot 2332232b h b h b h b h b b h b b h h b h b a V i i i i i i i i πα--++----=油（9）且：αtan 1L H h i i +=图5当测表刚好有度数时满足：当αtan 01L h i ≤≤时：由图5知测表上不显示数据，即：0=i H ，但可能存在一定量的油；当ααtan tan 1L h L i ≤≤时，i h 与测表深度i H 的关系：αtan 4.0-=i i h H (10)4.1.2第二部分：储油罐变位后油量体积计算（h ∈（2H ，1H ））当油平面读数h ∈（2H ，1H ）体积计算，下图是油平面在（2H ，1H ）之间位置的俯视图：图6 椭圆管体俯视图注：平面ABCD 是油平面，面ABCD 截椭圆柱形得到锲形QABCD 的体积即为储油的实际体积。

图7将AC 延长与QM 交于点O ；令AQ=hi ，且满足: b h L i 2tan ≤≤α；那么由4.1.1知锲形AQO 的体积：]43)2(2arcsin arcsin 2)(2)2([cot 2332232b h b h b hb h bb h b b h h b h b a V i i i i i i i πα--++----=油 （11）令CM=t ，对于锲形CMO ，同理可得： ]43)2(2arcsinarcsin 2)(2)2([cot 23322322b t tb b t tb bb t b b t t b t b a V πα--++----= （12）由于AQ=CM+AE,AE=CEtan α,CE=L;那么 CM=hi-Ltan α;故：t= hi-Ltan α由（11）、（12）式得溶液的体积表达式为： 21V V V -=油 }43])t a n ()t a n (2[2t a n a r c s i n )t a n (t a n a r c s i n 2]t a n [2)t a n 2)(tan (43)2(2arcsin arcsin 2)(2)2({cot 2332232332232b L h L h b bL h b L h b b L h b b L h L h b L h b h b h b h b h bb h b b h h b h b a V i i i i i i i i i i i i i i i i πααααααααπα+---------+--+-----++----=油 （13） 由前面（13）知道，且2.1tan ≤≤i h L α，在这种情况下测表读数与i h 之间关系αtan 4.0-=i i h H （14）4.1.3储油罐变位后油量体积计算（h ∈（1H ，3））当油平面读数h ∈（1H ，3）之间体积计算，储油罐变位后油平面在（1H ，3）之间的俯视图为：图8 椭圆管体俯视图注：平面ABC 为油平面，那么面ABC 截椭圆柱形得到锲形QABC 的体积即为未储油的体积，那么储油的体积就为整个储罐减去此锲形的体积。

先对锲形建立直角坐标系如下：图9 椭圆管体直角坐标系垂直于Z 轴截锲形，得到一个长方形（如图9），j h 为油面沿右罐壁到上顶端的距离，即OQ=j h ；h 为油面刚好淹没测表时油面沿右侧罐壁到转角的距离；并且h h j ≥=αtan 2L ；那么此长方形宽度为： αcot )(1⨯-=z h w j （15）长方形的长为： 222)(2z b b ba w --=（16） 由（15）、（16）式得长方形的面积表达式为：S(y)= ⨯⨯-αcot )(z h j 22)(2z b b ba -- 故有： dz zb b z h ba V j n 220')()(cot 2---=⎰α 从上式中得到油罐此时的空余体积:]43)2(2arcsin arcsin 2)(2)2([cot 2332232b h b h bh b h bb h b b h h b h b a V j j jj j j j j πα--++----= （17） 油罐的内容积表达式为： ]21)1arcsin()2()[(2max 2max max max b b H b H b H b H L b a V π+-+--⨯=总 （18） 将b H 2max =，带入（19）式得到：abL V π=总故储罐此时的储油量为:'V V V -=总油即：]43)2(2arcsin arcsin 2)(2)2([cot 2332232b h nb b h b h bb h b b h h b h b a abL V j jj j j j j παπ--++-----=油 （19）由（19）知道：当αtan 2L h j ≤时，油溢出油罐，这种情况不存在；当ααtan tan 2L h L j ≤≤时，αtan )2(2L H b h i j +-= （20）（四）模型求解1、误差分析及刻度校正误差一般主要由系统误差和观察误差构成。