储油罐的变位识别与罐容表标定模型
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模型Ⅲ：在模型Ⅰ和模型Ⅱ的基础上找出以上两函数式之间的关系，再对变位过程 进行分析得到模型Ⅰ和模型Ⅱ之间的油面高度关系，进而得到油罐内油量与油高及纵向 倾斜角度α和横向偏转角度β 之间的综合关系 y=y(h,α, β)。然后用附录所给数据运用 Matlab7 软件对函数拟合求得α, β的值，最后求得一组油罐表标度值，并给出模型的检 验。
2. 对问题二的分析：因为两个变位参数都是未知的，要直接求得油量与油位高度及两
个参数的总的关系式是较困难的。故我们可以求出油量分别随两个参数的变化关系式 y(h, α)和 y(h, β )，并且这两个函数是建立在问题一的基础上，然后研究两个关系式的关 系，求出油量与油位高度及两个参变量的综合关系式 y(h, α, β)，这样问题二便能求解出 来。这当中较难部分是如何把两个函数关系式综合到一起。
2
8、假设储油罐的管壁所占的体积忽略不计； 9、假设注油口，检查口的的严谨性是很强的；
§4 名词解释与符号说明
4.1 名词解释 1、罐容表——罐容表是在油罐制作安装完成后由专业部门通过实测标定的油高与
体积的关系表，油高以厘米为单位，体积以立方分米为单位。由于罐容标定一般是每间 隔 1cm 确定一个容积值，这样罐容表中只有整厘米数油高具有对应的容积值。
§3 模型的假设
1.假设罐体位置横向不发生变位（对于问题一）； 2.假设罐内油的体积不会随温度的变化而变化(即忽略热胀冷缩对油体积的影响)； 3.假设油罐在检测过程中完好无损，不会出现漏油、汽化等现象； 4.纵向偏转角度 a 不大，可近似认为两端球缺中含油量相同；
5 假设题目所给的数据真实可靠； 6、假设固定油浮子的油位探针始终垂直于油罐底部； 7、假设深入油罐内的管子体积忽略不计；
+
y2 0.6 2
=1
4
以椭圆的长轴为 X 轴，以椭圆的短轴为 Y 轴，建立坐标系如图所示，由于椭圆的 对称性，我们只考虑正半轴 AB 段
据以上分析，为求体积关键是球的梯形的函数表达式及积分上限，对此我们做以下 工作：
（1）第 i 个梯形面积：设第 i 个梯形上底为 ri,下底为 Ri，它的高是油罐的长 L，所 以 Si=(Ri+ri)*L/2
10
20
30
40
50 系列1
经过图像分析可知实际与计算相对误差值大部分在 0.05 以内，并且随着 h 的增加相 对误差值越来越小，非常符合实际，则表示函数的可用性较高。
再运用 origin75 软件绘出所得模型油位高度与油的体积之间的关系图以及实际数据 的关系图，拟合后得到图像如下图所示：
（2）当油罐没有倾斜时油的体积
（c）由于对称性我们只研究右半部分的情况：设第 i 个分割区间内某点为 xi，分割间
距为Δx.而油罐油的部分被分割成一个个近似梯形如图 c 所示，其厚度即间距为Δx。 设第 i 个梯形面积为 Si，则油的体积为 V=ΣSiΔx。
3
纵向倾斜时椭圆油罐正面示意图：
（b）小椭圆油罐截面示意图
如图（b），油罐截面椭圆函数为： x2 0.89 2
2、球缺——用一个平面去截一个球所得的部分叫球缺。 4.2 符号说明
§ 5 模型的建立与求解 5.1 问题一模型的建立与求解
1、倾斜时油的体积函数 关于用积分法求油的体积的思想:对油罐沿竖直方向进行分割，则油罐的侧面椭圆 分割既是：对椭圆沿着与 Y 轴平行方向分割椭圆罐（油的部分），分割得到的截面为图
模型Ⅰ：建立油罐内油量 y 与油高 h 及纵向倾斜角度α之间的函数模型，将油罐分 成圆柱部分和两个球缺部分，分别对它们进行分割、近似求和、取极限求体积，运 用 Mathematica7 得到函数关系式 y=y(h, α)。
模型Ⅱ：同理利用模型Ⅰ的思想建立油量 y 与油高及倾斜角度β之间的函数模型关 系式 y=y(h, β)。
1.根据给定倾斜方向需要用所给的椭圆形储油罐的一些数据求出油量与油位高度的 函数关系式。利用函数说明因为倾斜而对罐容表的影响，并给罐容表标值。
2、找出油量与油位高度及两个参变量的综合关系式 y(h, α, β),再用实际数据得出参 变量α, β的值，最后给出罐容表标定值。
§2 问题的分析
罐内的油量与油位高度和变位参数有关，本题的关键是建立问题一、二不同形状的 油罐变位时，油量与油位高度以及变位参量之间的函数关系式。 1. 对问题一的分析： 变位参数是已知的，此时要求罐内油量即是求油的体积，我们可 以运用积分的思想对体积分割、求和取极限得到油量与油位高度之间函数关系。然后运 用数学软件对实际数据与所得函数值进行比较，最后根据所求函数 V=V(h)在 Matlab7 软件中求得一组罐油表标定值。
（h)= V (h) − V0 (h) 表示罐体变位对罐容表的影响，然后根据函数 V=V(h)在 Matlab7 软件
中求得一组罐油表标定值。 对于问题二，需要建立油罐内油量 y 与油高 h 及纵向倾斜角度α和横向偏转角度β 之
间的一般关系的数学模型。先单独考虑纵向倾斜建立模型Ⅰ，再单独考虑横向倾斜建立 模型Ⅱ，最后考虑罐体同时纵向倾斜与横向倾斜建立模型Ⅲ。
7
0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
398 443.4 487.8 531.3 574.3 616.7 658.8 700.6 742.1 783.5 824.6 865.6 906.4 947.1 987.7 1028.1
【关键词】罐容表 绝对误差值 标定值 标度值 Mathematica7 Matlab7
1
§1 问题的提出
1.1 背景知识 随着市场经济的发展，加强企业管理考核变得愈加重要。储油罐作为加油站常用的
贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的计量变得尤为重要，为企业为 此种贮油装置进行油品盘点、成本考核提供可靠依据。当前常用的油位计量管理系统需 要进行定期校正，以提高其测量准确度。 1.2 问题的重述
标
为
：
(b − r)2
ϕ(h) = a 1−
b
，即是积分上限。代入数据得
ϕ(h) = 1.4833 0.36 − (0.7469 − h)2
s ∫ 综合（1）（2）得V = 2 ϕ(h) dx
0
i
把 si 和上限Φ(h)代入上式得,
( ) V = 3.6342 (0.36 − (0.7469 − h)2 × 0.7469 − h +1.3083× arcsin⎜⎛1.666 0.36 − (0.7469 − h)2 ⎟⎞
R r 对照图 C，研究上底与下底之间的关系，由于倾斜角为α，故易得 = + L × tanα ，
i
i
因此
si
=
(2
r
i
+
L
×
tan
α
)×
L 2
2
r ax 然后对照图 b 分析 ri 的长度：设第 i 个小段的横坐标为 xi，则
= b 1−
i
i 2
− (b
− r)
，
2
x 其中 r 是油罐右侧液面高度。带入式中得到 = [2(b 1− i − (b − r)) + L tanα ]× L
s a i
2
2
由图 a 分析出 r = h + 0.4 tanα − 2.45tanα = h − 2.05tanα
s x 代入数据得 = 1.6517 0.892 − + 2.45h −1.3997
i
i
(2) 现在分析积分上限： 如图 b 积分上限即是 B 点的横坐标，它的纵坐标为(b-r)，利用椭圆方程求得横坐
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文建立了储油罐变位对罐容表的影响与正确标定变位后罐容表示数的模型，给出 了储油罐的油量与油位高度及变位参数的表达式，进而求出罐油表标定值。
对于问题一建立如下模型： 模型一：建立了当变位参数为常值时油罐内油量与油高的函数关系模型。利用所给 油罐的数据对油罐纵向倾斜时进行分割、近似求和、取极限得到罐内油量 V 与游标高度 h 之间的函数关系 V=V(h)。同理求得油罐不变位时的函数关系 V0 = V0 (h)。然后用实际 数据与所得函数值进行比较，用 Excel 绘出绝对误差值的图像，绝对误差值都在 x 轴上 下并越来越接近 x 轴，说明所建立的模型实际可操作性较好。用差值函数ΔV
当油罐没有倾斜时油的体积仍然可以利用积分思想来求，相对前面倾斜时较为简 单，当油标高为 h 时，先求面积：
h −b
y2
A ∫ b 椭圆 = 2 −b a 1−
dy
2
= ab arcsin⎜⎛ h − b ⎟⎞ + abπ + ab sin 2arcsin⎜⎛ h − b ⎟⎞
⎝b⎠ 2 2
⎝b⎠
6
V A 椭圆体积 = L × 椭圆
=
⎡ L⎢ab
⎣
arcsin⎜⎛ ⎝
h
−
b
⎞ ⎟
+
b⎠
abπ 2
+
ab 2
sin
2
arcsin
⎛ ⎜
⎝
h−b b
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
代入数据得正常情况下油的体积：
V0
=
⎛ ⎜⎜⎝
0.89
×
0.6
×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arcsin⎜⎛ ⎝
h
− 0.6 ⎞ ⎟
0.6 ⎠
π + 0.89 × 0.6 ×
2
+
0.89 × 0.6 2
⎝
⎠
( ) + (4.9h − 2.7994)×1.4833× 0.36 − (0.7469 − h)2
2. 对问题二的分析：因为两个变位参数都是未知的，要直接求得油量与油位高度及两
个参数的总的关系式是较困难的。故我们可以求出油量分别随两个参数的变化关系式 y(h, α)和 y(h, β )，并且这两个函数是建立在问题一的基础上，然后研究两个关系式的关 系，求出油量与油位高度及两个参变量的综合关系式 y(h, α, β)，这样问题二便能求解出 来。这当中较难部分是如何把两个函数关系式综合到一起。
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8、假设储油罐的管壁所占的体积忽略不计； 9、假设注油口，检查口的的严谨性是很强的；
§4 名词解释与符号说明
4.1 名词解释 1、罐容表——罐容表是在油罐制作安装完成后由专业部门通过实测标定的油高与
体积的关系表，油高以厘米为单位，体积以立方分米为单位。由于罐容标定一般是每间 隔 1cm 确定一个容积值，这样罐容表中只有整厘米数油高具有对应的容积值。
§3 模型的假设
1.假设罐体位置横向不发生变位（对于问题一）； 2.假设罐内油的体积不会随温度的变化而变化(即忽略热胀冷缩对油体积的影响)； 3.假设油罐在检测过程中完好无损，不会出现漏油、汽化等现象； 4.纵向偏转角度 a 不大，可近似认为两端球缺中含油量相同；
5 假设题目所给的数据真实可靠； 6、假设固定油浮子的油位探针始终垂直于油罐底部； 7、假设深入油罐内的管子体积忽略不计；
+
y2 0.6 2
=1
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以椭圆的长轴为 X 轴，以椭圆的短轴为 Y 轴，建立坐标系如图所示，由于椭圆的 对称性，我们只考虑正半轴 AB 段
据以上分析，为求体积关键是球的梯形的函数表达式及积分上限，对此我们做以下 工作：
（1）第 i 个梯形面积：设第 i 个梯形上底为 ri,下底为 Ri，它的高是油罐的长 L，所 以 Si=(Ri+ri)*L/2
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50 系列1
经过图像分析可知实际与计算相对误差值大部分在 0.05 以内，并且随着 h 的增加相 对误差值越来越小，非常符合实际，则表示函数的可用性较高。
再运用 origin75 软件绘出所得模型油位高度与油的体积之间的关系图以及实际数据 的关系图，拟合后得到图像如下图所示：
（2）当油罐没有倾斜时油的体积
（c）由于对称性我们只研究右半部分的情况：设第 i 个分割区间内某点为 xi，分割间
距为Δx.而油罐油的部分被分割成一个个近似梯形如图 c 所示，其厚度即间距为Δx。 设第 i 个梯形面积为 Si，则油的体积为 V=ΣSiΔx。
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纵向倾斜时椭圆油罐正面示意图：
（b）小椭圆油罐截面示意图
如图（b），油罐截面椭圆函数为： x2 0.89 2
2、球缺——用一个平面去截一个球所得的部分叫球缺。 4.2 符号说明
§ 5 模型的建立与求解 5.1 问题一模型的建立与求解
1、倾斜时油的体积函数 关于用积分法求油的体积的思想:对油罐沿竖直方向进行分割，则油罐的侧面椭圆 分割既是：对椭圆沿着与 Y 轴平行方向分割椭圆罐（油的部分），分割得到的截面为图
模型Ⅰ：建立油罐内油量 y 与油高 h 及纵向倾斜角度α之间的函数模型，将油罐分 成圆柱部分和两个球缺部分，分别对它们进行分割、近似求和、取极限求体积，运 用 Mathematica7 得到函数关系式 y=y(h, α)。
模型Ⅱ：同理利用模型Ⅰ的思想建立油量 y 与油高及倾斜角度β之间的函数模型关 系式 y=y(h, β)。
1.根据给定倾斜方向需要用所给的椭圆形储油罐的一些数据求出油量与油位高度的 函数关系式。利用函数说明因为倾斜而对罐容表的影响，并给罐容表标值。
2、找出油量与油位高度及两个参变量的综合关系式 y(h, α, β),再用实际数据得出参 变量α, β的值，最后给出罐容表标定值。
§2 问题的分析
罐内的油量与油位高度和变位参数有关，本题的关键是建立问题一、二不同形状的 油罐变位时，油量与油位高度以及变位参量之间的函数关系式。 1. 对问题一的分析： 变位参数是已知的，此时要求罐内油量即是求油的体积，我们可 以运用积分的思想对体积分割、求和取极限得到油量与油位高度之间函数关系。然后运 用数学软件对实际数据与所得函数值进行比较，最后根据所求函数 V=V(h)在 Matlab7 软件中求得一组罐油表标定值。
（h)= V (h) − V0 (h) 表示罐体变位对罐容表的影响，然后根据函数 V=V(h)在 Matlab7 软件
中求得一组罐油表标定值。 对于问题二，需要建立油罐内油量 y 与油高 h 及纵向倾斜角度α和横向偏转角度β 之
间的一般关系的数学模型。先单独考虑纵向倾斜建立模型Ⅰ，再单独考虑横向倾斜建立 模型Ⅱ，最后考虑罐体同时纵向倾斜与横向倾斜建立模型Ⅲ。
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0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
398 443.4 487.8 531.3 574.3 616.7 658.8 700.6 742.1 783.5 824.6 865.6 906.4 947.1 987.7 1028.1
【关键词】罐容表 绝对误差值 标定值 标度值 Mathematica7 Matlab7
1
§1 问题的提出
1.1 背景知识 随着市场经济的发展，加强企业管理考核变得愈加重要。储油罐作为加油站常用的
贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的计量变得尤为重要，为企业为 此种贮油装置进行油品盘点、成本考核提供可靠依据。当前常用的油位计量管理系统需 要进行定期校正，以提高其测量准确度。 1.2 问题的重述
标
为
：
(b − r)2
ϕ(h) = a 1−
b
，即是积分上限。代入数据得
ϕ(h) = 1.4833 0.36 − (0.7469 − h)2
s ∫ 综合（1）（2）得V = 2 ϕ(h) dx
0
i
把 si 和上限Φ(h)代入上式得,
( ) V = 3.6342 (0.36 − (0.7469 − h)2 × 0.7469 − h +1.3083× arcsin⎜⎛1.666 0.36 − (0.7469 − h)2 ⎟⎞
R r 对照图 C，研究上底与下底之间的关系，由于倾斜角为α，故易得 = + L × tanα ，
i
i
因此
si
=
(2
r
i
+
L
×
tan
α
)×
L 2
2
r ax 然后对照图 b 分析 ri 的长度：设第 i 个小段的横坐标为 xi，则
= b 1−
i
i 2
− (b
− r)
，
2
x 其中 r 是油罐右侧液面高度。带入式中得到 = [2(b 1− i − (b − r)) + L tanα ]× L
s a i
2
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由图 a 分析出 r = h + 0.4 tanα − 2.45tanα = h − 2.05tanα
s x 代入数据得 = 1.6517 0.892 − + 2.45h −1.3997
i
i
(2) 现在分析积分上限： 如图 b 积分上限即是 B 点的横坐标，它的纵坐标为(b-r)，利用椭圆方程求得横坐
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文建立了储油罐变位对罐容表的影响与正确标定变位后罐容表示数的模型，给出 了储油罐的油量与油位高度及变位参数的表达式，进而求出罐油表标定值。
对于问题一建立如下模型： 模型一：建立了当变位参数为常值时油罐内油量与油高的函数关系模型。利用所给 油罐的数据对油罐纵向倾斜时进行分割、近似求和、取极限得到罐内油量 V 与游标高度 h 之间的函数关系 V=V(h)。同理求得油罐不变位时的函数关系 V0 = V0 (h)。然后用实际 数据与所得函数值进行比较，用 Excel 绘出绝对误差值的图像，绝对误差值都在 x 轴上 下并越来越接近 x 轴，说明所建立的模型实际可操作性较好。用差值函数ΔV
当油罐没有倾斜时油的体积仍然可以利用积分思想来求，相对前面倾斜时较为简 单，当油标高为 h 时，先求面积：
h −b
y2
A ∫ b 椭圆 = 2 −b a 1−
dy
2
= ab arcsin⎜⎛ h − b ⎟⎞ + abπ + ab sin 2arcsin⎜⎛ h − b ⎟⎞
⎝b⎠ 2 2
⎝b⎠
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V A 椭圆体积 = L × 椭圆
=
⎡ L⎢ab
⎣
arcsin⎜⎛ ⎝
h
−
b
⎞ ⎟
+
b⎠
abπ 2
+
ab 2
sin
2
arcsin
⎛ ⎜
⎝
h−b b
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
代入数据得正常情况下油的体积：
V0
=
⎛ ⎜⎜⎝
0.89
×
0.6
×
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
arcsin⎜⎛ ⎝
h
− 0.6 ⎞ ⎟
0.6 ⎠
π + 0.89 × 0.6 ×
2
+
0.89 × 0.6 2
⎝
⎠
( ) + (4.9h − 2.7994)×1.4833× 0.36 − (0.7469 − h)2
