学而思初二数学第7讲.特殊图形的旋转与弦图.尖子班.教师版
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1初二春季·第7讲·尖子班·教师版四边形6级 平移和几何最值问题 四边形7级特殊图形的旋转与正方形弦图 四边形8级 四边形中的动点问题春季班 第八讲春季班第六讲旋转的灯泡满分晋级阶梯漫画释义7特殊图形的旋转 与正方形弦图2初二春季·第7讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标正方形弦图 例1，例2，练习1，练习2；特殊图形中的旋转例3，练习3；例4，练习4；例5，练习5；例6．本讲内容主要分为两个题型，题型一为正方形弦图，重点在于弦图的构造，这种能力对于做一些正方形的题目有辅助作用，这就要求学生对弦图比较熟悉，不断通过相关题目进行训练；题型二为特殊图形中的旋转变换，在该版块中列举了三个常考图形——等腰直角三角形，等边三角形以及正方形，一般情况下旋转的角度分别为90°，60°和90°，旋转其它度数的题目在探究中略有罗列，老师可对旋转题型在此做适当的总结．本讲的最后一道例题是2013年朝阳一模第22题，是一道动手操作题与旋转的结合，综合性比较强，难度较大，需要学生不仅对弦图理解较深入，且对旋转运用熟练，计算量也比较大，程度较好的班级可以适当拓展2013海淀一模22题，借此对此题型进行补充及完善．编写思路题型切片知识互联网3初二春季·第7讲·尖子班·教师版正方形弦图是由四个全等的直角三角形顺次连接而成的图形，其中有我们以前学过的数学模型“三垂直模型”．①外弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△ABF 、△BCG 、△CDH 、△DAE 两两全等②内弦图：条件：正方形ABCD 、正方形EFGH结论：△AEH 、△BFE 、△CGF 、△DHG 两两全等【例1】 如图，l 1、l 2、l 3、l 4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h ，正方形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD 的面积是25． ⑴ 连接EF ，证明△ABE 、△FBE 、△EDF 、△CDF 的面积相等． ⑵ 求h 的值．Gl 2l 1l 3l 4l 4l 3l 1l 2BH G A BCDE FF E DCB A【解析】 ⑴ 由题意可知ABE FEB EFD CDF △≌△≌△≌△，∴面积均相等．典题精练题型一：旋转的构造4初二春季·第7讲·尖子班·教师版⑵ 方法一：过点A 作直线3l 的垂线AH ，交2l 于点G ． 由弦图可证明ABG DAH △≌△， ∴ HD AG h ==在AHD △中，()22225h h += 解得5h =方法二：分别过B D 、作直线4l 的垂线，利用弦图证明．【例2】 如图，向ABC △的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H ，AH的反向延长线与EG 交于P ．求证：2BC AP =．【解析】 方法一：过点E 、G 分别作AP 的垂线，垂足为K 、Q ．在AEK △和BAH △中∵90EAK BAH ∠+∠=︒，90BAH ABH ∠+∠=︒∴EAK ABH ∠=∠ AKE BHA EAK ABH AE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEK BAH △≌△∴AK BH =同理ACH GAQ △≌△ ∴CH AQ =在PEK △和PGQ △中 EKP GQP KPE QPG EK GQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PEK PGQ △≌△ ∴PK PQ =∴BC BH CH AK AQ AQ PQ PK AQ =+=+=+++ 即()22BC AQ PQ AP =+=．方法二：延长AP 至点K ，使得AK BC =． 连接EK ． ∵AB AE ⊥∴90EAK BAH ∠+∠=︒ ∵AH BC ⊥∴90ABH BAH ∠+∠=︒GABCDE FH P5初二春季·第7讲·尖子班·教师版∴EAK ABC ∠=∠ 同理，PAG ACB ∠=∠ ∵AE AB =，AK BC = ∴EAK ABC △≌△∴AC EK AG ==，∠=∠=∠ACB EKA PAG ∴EK AG ∥∴EKP GAP △≌△∴1122PA KP AK BC ===，即2BC AP =．【点评】 此题是非常经典的“婆罗摩笈多”定理的一部分，由此图可以总结以下几个结论：⑴ ABC AEG S S =△△；⑵ 若AH BC ⊥，则EP PG =，2BC AP =； ⑶ 若EP PG =，则AH BC ⊥，2BC AP =．等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°）EDCB A②①FE DC B APFEDCBAGFEDCBA【例3】 已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，过点C 作CE BC ⊥于C ，D 为BC 边上一点，且BD CE =，连结AD 、DE ．求证：BAD CDE ∠=∠．【解析】 延长EC 至F ，使CF CE =，连结AF 、DF思路导航典题精练题型二： 特殊图形中的旋转A B CDE6初二春季·第7讲·尖子班·教师版CE BC CF CE ⊥=，，DF DE ∴= 又CE BC ⊥，FDC CDE ∴∠=∠9045BAC AB AC B ACB ∠=︒=∴∠=∠=︒，， 45ACF ∴∠=︒ B ACF ∴∠=∠,BD CE CF CE ==,BD CF ∴=在ABD △与ACF △中 F F AB AC B AC BD C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACF ∴≅△△SAS （）,AD AF BAD CAF ∴=∠=∠， ADF AFD ∴∠=∠90BAD DAC ∠+∠=︒，90CAF DAC ∴∠+∠=︒ 45ADF ∴∠=︒45BAD ADC B ADC ∠=∠-∠=∠-︒,45FDC ADC ADF ADC ∠=∠-∠=∠-︒， BAD FDC ∴∠=∠BAD CDE ∴∠=∠．【例4】 ⑴如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数． 【解析】 如图，作BQ =BP ，且∠CBQ =∠ABP连接PQ 、CQ∴△ABP ≌△CBQ （SAS ）∴∠PBQ =60°∴△PBQ 是等边三角形∴PQ=PB =4CABPABCPQFEDCBA7初二春季·第7讲·尖子班·教师版NCBAP MPCBAACBP∵3QC PA ==，5PC =∴PCQ △是直角三角形，且90PQC =︒∠ 又∵60PQB =︒∠， ∴150CQB =︒∠ 由全等知，∠APB =∠CQB ∴150APB =︒∠⑵如图，若P 是等边△ABC 外的一点，其他条件不变，求∠APB 的度数.【分析】 此题最常见的三种做法：分别以题中的已知三边各自向外作等边三角形，去构造手拉手数学模型，然后证明手拉手模型中两个旋转三角形全等.目的是要把已知的三边3,4,5构造在直角三角形中.【解析】 方法一：以PA 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形AMP ，则MAB PAC ∠=∠，∴MAB PAC ∆∆≌，∴4PB =，5BM =，3MP =，∴90BPM ∠=︒，906030BPA ∠=︒-︒=︒．方法二：以PB 为一边向四边形PACB 的外面作正三角形PBN , 证法参照方法一方法三：如图，作CP '，使CP CP '=，ACP BCP '=∠∠，连接PP '． 显然，ACP BCP '△≌△， ∴ACP BCP '=∠∠，3AP BP '==8初二春季·第7讲·尖子班·教师版P'PCB A∴60PCP '=︒∠， ∴PCP '△是等边三角形． ∴5PP PC '==，在PBP '△中∵4PB =，3BP '=，5PP '= ∵222PP PB BP ''=+， ∴90PBP '=︒∠∴90BP C P CP CPB ''++=︒∠∠∠ ∴30BP C CPB '+=︒∠∠ ∴30APC CPB +=︒∠∠ 即30APB =︒∠【例5】 如图，在正方形ABCD 内有一点P ，且5PA 2BP =1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．PDCBAEP'PDCBA【解析】 如图，将BPC △绕点B 逆时针旋转90°，得BP A '△，则BPC BP A '△≌△．∴1AP PC '==，2BP BP '= 连接PP '， 在Rt BP P '△中，∵2BP BP '==90PBP '∠=°， ∴2PP '=，45BP P '∠=°．在AP P '△中，1AP '=，2PP '=，5AP =， ∵22212(5)+=，即222AP PP AP ''+=． ∴AP P '△是直角三角形，即90AP P '∠=°．9初二春季·第7讲·尖子班·教师版∴135AP B '∠=°．∴135BPC AP B '∠=∠=°．过点B 作BE AP '⊥交AP '的延长线于点E ． ∴45EP B '∠=°．∴1EP BE '==．∴2AE =． ∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得5AB =． ∴135BPC ∠=°，正方形边长为5．【例6】 小雨遇到这样一个问题：如图1，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．图 1l 1l 2l 3图 2AB CDEHl 3l 2l 1小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线1l 任取一点A ，作AD ⊥2l 于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交3l 于B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线2l 于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线123l l l ∥∥，1l 与2l 之间的距离是2，2l 与3l 之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线1l 、2l 、3l 上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹） （2013朝阳一模）l 3l 2l 1图 3【解析】 图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于5．真题赏析AEDCBl 3l 2l 110初二春季·第7讲·尖子班·教师版如图，图3中等边三角形ABC 的面积等于733． 连接DE ，过E 作EH ⊥l 3于H ，△ADE 为等边三角形， 故在四边形ADFE 中∠DFE =120°，且∠EDG =30°，故EG =1，EH =2，BE =433，AE =2，AB =2213 ∴S △ABC =733【拓展】问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD ，使它的顶点A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上，并计算它的边长.图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（2）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.H GF AED C B l 3l 2l 111初二春季·第7讲·尖子班·教师版图3 图4 【解析】 （1）5（2）①如图： (答案不唯一)②7215.12初二春季·第7讲·尖子班·教师版【探究】旋转模型探究【探究1】三垂直全等模型(弦图)；【变式1】直线232+=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，求将AB 绕点A 逆时针旋转45°所得到的直线解析式.xyBAOxy DCBAO【解析】如图，可得()52,C -，则AC 的解析式为y =5x +15. 【探究2】等线段，共端点 【变式2】中点旋转(旋转180°)DCBF'D'FEDCA例：在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．13初二春季·第7讲·尖子班·教师版图 6G E F D BCA【解析】 D E =5．【变式3】普通等线段，共端点；例：如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC +DE =CD ，∠BAE ＝∠BCD ＝120°，∠ABC ＋∠AED ＝180°，连结AD 。
