相似三角形法 解决动态平衡问题【复习准备】

重点：掌握利用相似三角形法解决动态平衡问题的方法。

难点：图解法和相似三角形法使用条件的区别。

1. 相似三角形法则概述相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例，求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

2. 适用条件往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常用到的一种方法，解题的关键是正确地进行受力分析，寻找力的三角形和几何三角形的相似关系。

3. 和图解法的区别图解法：三个力，一力为恒力，一力大小方向变，一力仅大小变。

相似三角形法：三个力，一力为恒力，其余两个力方向都变。

例题1 半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A. N 变大，T 变小B. N 变小，T 变大C. N 变小，T 先变小后变大D. N 不变，T 变小思路分析：如图2所示，对小球：由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢，视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其他条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：可得：mg Rh L T += 运动过程中L 变小，所以T 变小。

mg Rh R N += 运动中各量均为定值，所以支持力N 不变。

正确答案为D 。

【稳扎稳打】备战2021高考物理一轮复习微专题专题14: 用相似三角形法解决共点力平衡问题【要点回顾】如果有具体的物理环境或者有一定的框架结构，我们也可以利用相似形的办法来确定共点的三个力的大小关系，这种方法称为相似三角形法。

具体的解题步骤是：1、利用合成法或分解法来确定合力与分力的图示关系2、在确定的平行四边形中选取一个三角形，确定这个三角形跟周围环境的三角形是否存在着相似关系。

3、如果存在着相似关系，则利用相似关系来确定合力与分力之间的关系。

用于三力平衡中，一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且有空间几何关系的情景。

【典型例题】例1、如图所示，轻质细杆一端可绕固定在墙壁的轴O转动，另一端A用细绳拴住固定在墙壁上B点，细绳与竖直墙壁成直角，已知绳长30cm，杆长50cm，今在杆的A端挂上一重30N的重物，求细绳上的拉力T和轻杆所受的压力N。

【解析】利用合成法求出支持力N和重力G的合力F，根据平衡条件知，合力F的大小等于绳上的拉力，如图，在力构成的直角三角形和框架构成的三角形相似，所以AO N AB F BO G == 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯===⨯===N N G BO AO N N N G BO AB F T 4150304050490304030 例2、光滑的半圆弧倒扣在地面上，在半圆弧的球心正上方有一定滑轮，一细绳跨过定滑轮系住一个小球静止在球面上，如果将小球缓慢的向上拉动一些，分析小球受到的拉力和支持力的大小如何变化？【解析】将拉力和支持力沿重力的反方向进行合成，得两个力的合力F ，从图上可以看出，由合力、支持力和拉力所构成的三角形与△AOB 相似，由相似三角形的知识得：OBN AO F AB T == ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====G AO OB F AO OB N G AO AB F AO AB T 其中AO 、OB 是不变的，而AB 变小，可知：支持力N 不变，拉力T 变小。

【跟踪练习】1．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模）如图所示，质量为m 的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k 的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P 点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为( )A ．mg k BCD【答案】C【解析】对小球受力分析如图所示：由力的合成可知，F N 和F 的合力与重力mg等大反向，由几何关系可知02cos303mgF ==，又由胡克定律得F kx =，解得x =△故C 正确△A△B△D 错误； 故选C△2． 如图所示，橡皮筋的一端固定在O 点，另一端拴一个可以看做质点的物体，O 点的正下方A 处有一垂直于纸面的光滑细杆。

动态平衡问题的几种解法在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。

这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。

下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。

方法一：图解法（三角形法则）原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例题1：如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。

今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。

因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。

挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。

由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。

点评：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。

方法二：解析法原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。

例题2：如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（）A. 绳子的拉力F不断增大B. 绳子的拉力F不变C. 船所受的浮力不断减小D. 船所受的浮力不断增大解析：小船共受四个力作用：重力G、浮力F浮、水的阻力f、绳子拉力F。

静力学解题方法2——相似三角形法（非常好的方法，仔细分析例题，静力学受力分析三大方法之一）（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。

（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

例1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。

由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。

实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：RNR h mg L T =+= 可得：mg Rh LT +=运动过程中L 变小，T 变小。

mg Rh RN +=运动中各量均为定值，支持力N 不变。

正确答案D 。

例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ）A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。