第四章 第一节 布洛赫定理

KK
KK
KK K K K K T1ψ ( r ) = ψ ( r + a1 ) = eik ⋅a1ψ ( r )
ψ ( r ) 和ψ ( r + a1 ) 分别是相邻两个原胞中电子的波函数 —— 两者只相差一个位相因子 λ1 = eik ⋅a
K
K
K
K
KK
1
，不同的简 2）平移算符本征值量子数： k 称为简约波矢（与电子波函数的波矢有区别，也有联系） 约波矢，原胞之间的位相差不同。 3）如果简约波矢改变一个倒格子矢量： Gn = n1b1 + n 2 b2 + n3b3 ， n1 , n 2 , n3 为整数。
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固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
由于存在对易关系，根据量子力学可以选取 H 的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数。
有：
Hψ = Eψ T1ψ = λψ ψ = λ2ψ , T3ψ = λ3ψ 1 , T2
本征值的确定： λ1 , λ2 , λ3
KK ik ⋅a1
则平移算符 T1 , T2 , T3 的本征值可以表示为： λ1 = e
, λ2 = e ik ⋅a2 , λ3 = e ik ⋅a3
KK
KK
将 T ( Rm ) = T1 1 ( a1 )T2 2 ( a 2 )T3 3 ( a 3 ) 作用于电子的波函数ψ ( r )
m m m
K K K
K
K
K
( 2π ) 3 Ω
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
第四章 能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础． 在二十世纪二十年代末和三十年代初期， 在量子力学运动规律确立以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的．最 初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。 —— 说明了固体为什么会有导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距……等 —— 能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导体技术的发展 —— 大型高速计算机的发展， 使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结 构的计算 能带理论是一个近似的理论．在固体中存在大量的电子。它们的运动是相互关联着的，每个电子的 运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的．能带理论是单电子近 似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动．在大多数情况下，人们 最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子 的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实．这样价电子的等效势场，包 括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用．单电子 近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里（Hartree）－福克（ΦOK）自洽场方法。 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电 子．在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响 看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场 V(r)也应具有周 期性．晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，

2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢， 方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数 （Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键 是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有 离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析， 令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波 仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件： 对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。

对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，由此等效势场)(r V也具有周期性，晶体中的共有化电子所满足的波动方程在坐标表象中为：)()()(2)(2r E r r V m i ψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-，)()(n R r V r V += 这里n R 为正格子空间是格矢量，考虑的是定态薛定谔方程。

布洛赫定理指出：当势场具有周期性时，波函数具有如下形式：)()(r eR r n R k i n ψψ⋅=+，)()(r u e r r k i ⋅=ψ，)()(r u R r u n =+ 即波函数是按晶格周期函数调幅的平面波。

具有该形式是函数又称为布洛赫函数。

布洛赫定理的证明如果用)(ˆn R T 代表使位矢r 平移到n R r +的平移操作算符（nR 为格矢），则单电子的在周期性势场中的势能具有：)()()(ˆn n R r V r V R T +=在周期场中运动的单电子满足的定态薛定谔方程为：)()()(2)(ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 其中：)(2ˆ22r V mH +∇-=为体系哈密顿量。

对于任意函数)(r f在平移算符的作用下有：)()(2)](ˆ)[(ˆ22n n R r n R r f R r V m r f H R T n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++∇-=+ )()(ˆˆ)(ˆ)()(222r f R T H R r f H R r f r V m n n n =+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∇-= 由此可知体系哈密顿量和平移算符是对易的，即0)(ˆˆˆ)(ˆ=-n n R T H H R T根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选择哈密顿量的本征态)(r ψ为共同本征态。

采用波恩-卡曼周期性边界条件有：)()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(111111111r r a T a T a T r a N T a N r r Nψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(222222222r r a T a T a T r a N T a N r r Nψλψψψψ===+= )()()(ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ)()(333333333r r a T a T a T r a N T a N r r N ψλψψψψ===+= 这里321,,λλλ分别为)(ˆ),(ˆ),(ˆ321a T a T a T 在本征态)(rψ的本征值；321,,a a a 分别为正格子空间的基矢。

简述布洛赫定理的内容
布洛赫定理是固体物理学中的一项重要定理，它描述了晶体中电子的行为。

该定理是由瑞士物理学家费米和德国物理学家布洛赫在1929年分别提出的。

一、晶体结构和周期性势场
晶体是由原子或分子按照一定规律排列而成的固体。

晶格是指构成晶体的原子或分子在空间中排列成的有序周期性结构。

周期性势场是指在空间中呈现出周期性变化的势场。

二、电子在周期性势场中的运动
当电子遇到一个周期性势场时，它会受到一个平稳而有规律的力，这个力会使电子做简谐振动。

在这种情况下，电子行为类似于弹簧振动器。

三、布洛赫定理和能带结构
布洛赫定理描述了晶格对电子运动的影响。

它指出，在一个周期性势场中，电子波函数可以表示为平面波与一个具有与晶格相同周期的函
数之积。

这个函数被称为布洛赫函数。

通过布洛赫函数，我们可以推导出能带结构。

能带结构描述了材料中
电子的能量和动量之间的关系。

在能带结构中，能量被分成了不同的
区域，每个区域被称为一个能带。

在一个能带内，电子具有相似的能
量和动量。

四、布洛赫定理的应用
布洛赫定理在固体物理学中有着广泛的应用。

它可以用来研究半导体、金属和绝缘体等材料中电子行为的特性。

在半导体领域，布洛赫定理
可以用来解释p-n结和场效应晶体管等器件的工作原理。

总之，布洛赫定理是固体物理学中非常重要的一项定理。

它描述了晶
格对电子运动的影响，并推导出了能带结构。

通过这个定理，我们可
以更好地理解材料中电子行为的特性，并将其应用于实际设备设计中。