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实数二

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龙文教育辅导讲义

学员编号： 年 级： 第 课时
学员姓名 ： 辅导科目：数学 教师：

课 题
实数（三）

授课时间： 2012 年 7 月 23 日 备课时间：2012 年 7 月 22 日

教学目标
掌握实数的分类，掌握平方根和立方根。

重点、难点 平方根和立方根的有关计算，以及代数式成立的条件。
考点及考试要求 常考查平方根和立方根的计算和被开方数的取值范围。
教学内容
一．知识点聚焦
1. 平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“a”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

0a
注意a的双重非负性：
a0
3、立方根
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一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
2、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比
左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
,0baba

,0baba
baba0
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，;1;1;1babababababa
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则baba。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则baba22。
特殊性质法：
利用某些数的特殊性质，如：
（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小；

（2）若ab0，则0，（n为正整数）。
对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法：
(1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
(2)当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方
数越大，算术平方根（或立方根）越大；
(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小．
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3、算术平方根有关计算（二次根式）

1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、性质：
（1）)0()(2aaa
)0(aa
（2）aa2
)0(aa
（3）)0,0(babaab （)0,0(baabba）
（4）)0,0(bababa （)0,0(bababa）
3、运算结果若含有“a”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式
4、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律 abba
加法结合律 )()(cbacba
乘法交换律 baab
乘法结合律 )()(bcacab
乘法对加法的分配律 acabcba)(
二．考点训练
.
选择题
（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）
A.－(－2)3 B.3－3 C.a0 D.－（a2+1）
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4
(2)2a等于（ ）
A.a B.－a C.±a D.以上答案都不对
（3）如果a(a＞0)的平方根是±m，那么（ ）
A.a2=±m B.a=±m
2

C.a=±m D.±a=±m
(4)若正方形的边长是a,面积为S，那么（ ）
A.S的平方根是a B.a是S的算术平方根

C.a=±S D.S=a

(5)2)2(的化简结果是（ ）
A.2 B.－2 C.2或－2 D.4
(6)9的算术平方根是（ ）

A.±3 B.3 C.±3 D. 3
(7)(－11)2的平方根是（ ）
A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根
(8)下列式子中，正确的是（ ）

A.55 B.－6.3=－0.6

C.2)13(=13 D.36=±6
(9)7－2的算术平方根是（ ）
A.71 B.7 C.41 D.4

(10)16的平方根是（ ）
A.±4 B.24 C.±2 D.±2
(11)一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（ ）

A.a+2 B.a－2 C.a+2 D.a2+2
(12)下列说法正确的是（ ）
A.－2是－4的平方根 B.2是(－2)2的算术平方根
C.(－2)2的平方根是2 D.8的平方根是4

(13)16的平方根是（ ）
A.4 B.－4 C.±4 D.±2
(14)
若10m，且3nm，则m、n的大小关系是（ ）．

A．mn B．mn C．mn D．不能确定
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3.填空题
（1）若9x2－49=0,则x=________.

(2)若12x有意义，则x范围是________.

(3)已知｜x－4｜+yx2=0,那么x=_____,y=____.
(4)如果a＜0,那么2a=____,(a)2=______.
(5)(－41)2的算术平方根是_________；
(6)一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_____，这个正数是_________；
(7)25的算术平方根是_________；
(8)9－2的算术平方根是_________；
(9)、(－4)2的平方根是_________，算术平方根是_________.

10、计算：381264273292531= ；
11．代数式3ab的最大值为 ，这是,ab的关系是 ．
12．若335x，则x ，若3||6x，则x ．
13．若33(4)4kk，则k的值为 ．
14．若101nn，81mm，其中m、n为整数，则mn ．
15．若m的平方根是51a和19a，则m= ．
三，解答题

18、解方程：0324)1(2x （2）若14a有意义，则a能取的最小整数为____．

（3 ） 264(3)90x （4） 2(41)225x
（5 ） 31(1)802x （ 6 ） 3125(2)343x
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（7） 233(1)8|13| （8）23151()(1)(1)393
（9） 37121.758 （10） 3331513432782125
11．已知312x，332y互为相反数，求代数式12xy的值．
12．已知abxM是M的立方根，36yb是x的相反数，且37Ma，请你求出x的平方根．
13．若22442xxyx，求2xy的值．
14．已知34x，且2(21)30yxz，求xyz的值．

15、若12112xxy，求xy的值。
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本次课后作业：

学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
教师签字：
课 后 跟 踪 回 访
回访日期及时间 通话分钟 接电话者
家长（学生）反馈意见： 学生阶段：

自我总结及整改措施
：
阶段测试内容 成绩

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实数 第2课时 课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册

实数 第2课时 课件 2022—2023学年人教版数学七年级下册


（9）实数的减法运算规定为a -b = a + ；(-b)
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a b 我b们 a把b1
叫作a的＿＿＿＿＿；倒数
1
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为a÷b = a· ； b
（12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么ab＿＿＿≠ 0.
讲授新课 用计算器计算
练一练1 计算（结果保留小数点后两位）：
(1) 5 π ;
(2) 3 2.
（1） 5 π 2.236 3.142 5.38;
（2） 3 2 1.732 1.414 2.45.
【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出 结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代 替无理数，再进行计算.
（3）a+0 = 0+a =
；a
（4）a+(-a) = (-a)+a =
0
；
（5）ab =
b（a 乘法交换律）；
（6）(ab)c = a(b（c)乘法结合律）；
（7） 1·a = a·1 =
；a
讲授新课 实数的运算
（8）a(b+c) =
a（b+乘ac法对于加法的分配律），
(b+c)a =
（乘ba法+c对a 于加法的分配律）；
2.下列各数中，互为相反数Fra bibliotek是( C)A. 3 与 1B. -2与
(2) 2
3
C. （-与1）2 D3.-51与
-5
当堂练习
3. 5 - 3的- 2值- 是5 （ ） C A.5 B.-1 C. D. 5 - 2 5
4.比较大小：（1） 3 2 ＞；（22）3
实数知识点详细总结(二)2024

实数知识点详细总结(二)2024

实数知识点详细总结（二）引言概述：本文将详细总结实数的相关知识点。

实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数。

本文将以五个大点为主线，分别介绍实数的基本性质、实数的运算、实数的表示方法、实数的大小比较以及实数的应用场景。

通过阅读本文，读者将全面了解实数的概念和性质。

正文内容：一、实数的基本性质1. 实数的定义及其分类：有理数和无理数2. 实数的分布性质：无缝覆盖整个数轴3. 实数的有序性：实数的大小可以进行比较4. 实数的等价性：实数可以有多种不同的表示形式5. 实数的密度性质：任意两个实数之间都存在其他实数二、实数的运算1. 实数的加法运算性质：满足交换律、结合律等2. 实数的减法运算性质：减法可以转化为加法运算3. 实数的乘法运算性质：满足交换律、结合律等4. 实数的除法运算性质：除法可以转化为乘法运算5. 实数的运算律和运算规则：涉及加法、减法、乘法和除法的运算规则三、实数的表示方法1. 实数的小数表示法：有限小数和无限循环小数2. 实数的百分数表示法：以百分数形式表示的实数3. 实数的科学计数法：用以10为底的指数形式表示的实数4. 实数的含参表示法：用字母表示实数中未知的部分5. 实数的根式表示法：以根式形式表示的实数四、实数的大小比较1. 实数的绝对值：实数的距离原点的距离2. 实数的大小比较原则：比较实数的大小需要考虑正负和绝对值3. 实数的大小比较方法：根据实数的绝对值大小分情况讨论4. 实数的大小比较示例：通过具体例子演示实数大小的比较过程5. 实数的大小比较应用：应用于实际问题中，如温度比较、长度比较等五、实数的应用场景1. 实数在几何学中的应用：用实数表示线段、角度等2. 实数在物理学中的应用：用实数表示物体的质量、速度等3. 实数在经济学中的应用：用实数表示价格、利润等4. 实数在统计学中的应用：用实数表示数据的数量5. 实数在计算机科学中的应用：用实数进行程序运算和计算机模拟总结：通过本文的阅读，我们了解了实数的基本性质、运算、表示方法、大小比较以及应用场景。

《实数》教案—第二课时

《实数》教案—第二课时

《实数》教案教材分析本课是青岛版八年级下册第七单元第8课，是新授课。

数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展，有序有理数对也扩充到有序实数对，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础，本课属于中等难度水平。

《数学课程标准》中提出：理解数与代数运算的知识，提高发现和提出问题的能力，能否使用恰当的语言有条理的表达数学思想的过程，观察、实验、归纳的方法，能从现实生活中发现并提出简单的数学问题的观念。

据此，本课教学目标可以包含：能够在直角坐标系中表示有序实数对等方面。

本课教学可以采取对比法、归纳法、练习巩固法等方法开展教学。

学生分析本课的教学对象是14岁左右的学生，这个年龄阶段的学生已经具备运算能力、思维能力和空间想象能力，具有易受外界影响可塑性大、主动尝试、追求独立和情绪两极波动的特点。

八年级的学生通过之前的学习和生活实践，已经掌握运用平面直角坐标系的表示等方法，能够在直角坐标系中表示有序实数对。

通过学习本课，学生可以获得在合作交流中获取知识的方法、观察、发现、归纳、概括的能力、理解特殊到一般再到特殊的认知规律观念的提升。

学生采用合作交流法等方法学习本课。

教学目标知识与技能1．理解有序实数对与直角坐标系中所有点一一对应；2．能够在直角坐标系中表示有序实数对；过程与方法1．让学生经历在直角坐标系中表示有序实数对；2．进一步领会数形结合的数学思想方法；情感态度和价值观1．使学生感受丰富的数学文化，体验数学来源于生活及应用于生活的意识，更好的激发学习兴趣；重点难点教学重点能够在直角坐标系中表示有序实数对；教学难点能够在直角坐标系中表示有序实数对；教学方法教法引导发现法、合作交流法、练习巩固法学法观察分析法，探究归纳法课时安排3课时第2课时课前准备教师准备1．课件、多媒体；2．收集、整理平面直角坐标系的画法；3．搜索、编辑本课中利于的素材（图片、视频、音频等）；4．批阅学生预习内容，总结共性问题，确定准确结论，重点查阅小组负责人的预习成果；5．制作多媒体课件，有效衔接各教学环节；学生准备1．练习本；2．阅读教材，找出关键内容，提出不解问题，完成导学；教学过程一、新课导入（时间2分钟）教师:如图1，在平面直角坐标系中写出图中点A，B，C，D，E的坐标.学生:有序实数对A（-2，-2），B（-5，4），C（5，-4），D（0，-3），E（3，5）。

第一课时：实数 二次根式 大小比较及运算

第一课时：实数 二次根式 大小比较及运算

知识点 1 实数的概念及分类1．整数和________统称为有理数；____________叫无理数；有理数和无理数统称为________．分类：(1)按定义分类 实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数负分数有限小数或 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数 小数 (2)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数⎩⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数【名师提醒】1、任何分数都是有理数，如23，－45等；2、常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.1010010001……；③π及含π的数，如π，π＋4等．3、2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。

4、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数.提分必练：下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点2 实数的相关概念1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，互为相反数的两 个数（除0以外）分别位于数轴上原点的两侧， 且到原点的距离__________。

3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，倒数是它本身的数是___，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离 的 距离叫做这个数的绝对值。

因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 。

化简绝对值的公式： |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ （a ≥0），（a<0），一对相反数在数轴上的对应点到原点的距离相等，因此它们的绝对值__________。

【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】提分必练：1.－12的绝对值的相反数是( )A .12B ．－12C ．2D ．－2 2.－2015的相反数是________． 3．|－8|的倒数是________．知识点 3 科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成________或_______的形式(其中________≤|a|<________，n 为整数)，这种记数法称为科学记数法．例如574000记作________，－0.000737记作________．2.精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用________表示：近似数一般由________取得，________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.3746精确到0.001或精确到千分位是________.4.46万是精确到________位．提分必练：已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为( )A ．1.239×10－3g /cm 3 B ．1.239×10－2g /cm 3C ．0.1239×10－2g /cm 3D ．12.39×10－4g /cm 3 【方法点拨】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a 和n 的值． (1)a 值的确定：1≤|a|<10； (2)n 值的确定：A ．当原数大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；B ．当原数大于0且小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；知识点 4 数的开方1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。