《第二章实数》复习

第二章实数复习小结一、 知识结构二、 基础知识回顾 1．无理数的定义（ ）叫做无理数 2．有理数与无理数的区 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。

而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。

3.常见的无理数类型 (1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。

如：35,3。

4．算术平方根。

（1） 定义： （2） 我们规定：（3） 性质：算术平方根a 具有双重非负性：① 被开方数a 是非负数，即a ≥0.② 算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。

也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是（ ）， （ ）没有算术平方根。

5．平方根 （1） 定义：（2） 非负数a 的平方根的表示方法:（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。

( )只有一个平方根，它是( )。

( )没有平方根。

说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是 ：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a 。

6.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同：③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

7．开方运算：（1） 定义： ① 开平方运算： ② 开立方运算：（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。

8．a 2的算术平方根的性质①当a ≥0时，2a =（ ） ② 当a<0时，2a =（ ） 一般的，当a<0时，2a =-a.我们还知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a. 综上所述，有a (a ≥0) 2a =│a │=-a (a<0)从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0)9．立方根（1） 定义：______________________________. （2） 数a 的立方根的表示方法:_________（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________ （4） 两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333==10．实数（1） 概念：________和________统称为实数。

第二章实数 1.认识无理数有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n ≠0）的形式。

任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.无理数：无限不循环小数叫无理数 。

像π，0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数 实数：分为有理数和无理数两类 实数的分类：⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3π；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中①属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 2.算数平方根 例题：x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤3.平 方 根迁移应用：1、如果—b 是a 的平方根，那么A 、2a b =； B 、2b a = ； C 、2a b -=； D 、2b a -=。

2、16的算术平方根是_______，平方根是_______3、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；4、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；5、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；6、△ABC 的三边是a 、b 、c2(2)0b -=，求c 的取值范围； 4.立方根 一、基础知识回顾〖结论〗：性质⎪⎩⎪⎨⎧的立方根一个负数有一个有一个立方根，是的立方根一个正数有一个____________0_____类似于平方根，一个数α的立方根，记作3a ，读作________ α，其中α叫做__________，3是__________，不能省略，若省略表示开平方。

八年级数学上册 第二章 实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数概念：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算 逐步逼近法的正确使用 三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。

北师大版八年级数学上册第二章实数期末复习练习题(含答案)一．选择题1．在实数，，﹣，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（）A．3B．4C．5D．62．4的算术平方根是（）A．±2B．2C．±16D．163．的平方根是（）A．±5B．5C．±D．4．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．95．如果a，b，c满足|a﹣2|++（c﹣3）2＝0，则a+b﹣c的值为（）A．5B．5+C．5+5D．5﹣56．下列说法正确的是（）A．是2的平方根B．﹣1的立方根是1C．1的平方根是1D．﹣3没有立方根7．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．﹣B．C．﹣2D．28．若的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（）A．1B．C．3﹣3D．39．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a ﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．计算（）A．2B．C．D．3二．填空题11．已知某数的一个平方根是，那么它的另一个平方根是．12．已知：≈1.421267…，≈4.494441…，则（精确到0.1）≈．13．已知≈1.2639，≈2.7629，则≈．14．若x2＝（﹣5）2，＝﹣5，那么x+y的值是．15．①＝．②＝．③写出﹣和之间的所有整数．16．比较大小：24．17．若|x|＝，则实数x＝．18．如图，长方形OABC放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为．19．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．20．已知a ≥﹣1，化简＝．三．解答题21．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2化为分数请用以上方法解决下列问题（1）把0.化为分数（2）把0.3化为分数．22．定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⼀程，叫做⼀元⼀次⼀程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼀次⼀程．根据平⼀根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解．如：解⼀程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解⼀程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解⼀程：（3x﹣1）2﹣25＝0．23．已知2a﹣1的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．24．已知某正数的两个平方根分别是﹣1和a﹣4，b﹣12的立方根为2．（1）求a，b的值．（2）求a+b的平方根．25．求出下列x 的值：（1）4x 2﹣16＝0； （2）3（x +1）3＝24．26．如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题： （1）比较大小：a ﹣1 0；b +1 0；c +1 0；（2）化简﹣|a ﹣1|+|b +1|+|c +1|．27．计算：（1）2﹣2+； （2）×﹣；（3）； （4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+．28．计算：（1）（+10）+（﹣11.5）+（﹣10）﹣4.5； （2）（﹣6）2×（﹣）﹣23；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）； （4）﹣+6÷（﹣）×．29．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②表示的点与数 表示的点重合；③若数轴上A 、B 两点之间距离为9（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，此时点A 表示的数是 、点B 表示的数是（3）已知在数轴上点A 表示的数是a ，点A 移动4个单位，此时点A 表示的数和a 是互为相反数，求a 的值．30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若a+4＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．参考答案一．选择题1．【解答】解：＝2，，﹣，0.0都是有理数，而π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）都是无限不循环小数，因此是无理数，所以无理数的个数有3个，故选：A．2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．3．【解答】解：∵＝5，∴的平方根是±，故选：C．4．【解答】解：∵正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，∴（2a﹣5）+（﹣a+1）＝0，解得a＝4，∴2a﹣5＝3，∴这个正数为32＝9，故选：D．5．【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，解得a＝，b＝5，c＝，则a+b﹣c＝2+5﹣＝5﹣．故选：A．6．【解答】解：A、是2的平方根，正确；B、﹣1的立方根是﹣1，故本选项错误；C、1的平方根是±1，故本选项错误；D、﹣3的立方根是﹣，故本选项错误；故选：A．7．【解答】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为＝，因为是无理数，所以输出，故选：A．8．【解答】解：∵1，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，故选：A．9．【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．10．【解答】解：原式＝1+（2×）2016×2＝1+2＝3．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是．故答案为：．12．【解答】解：∵≈4.494，∴≈44.9（精确到0.1），故答案为：44.9．13．【解答】解：∵≈1.2639，∴＝＝×＝﹣×≈﹣0.12639．故答案为：﹣0.12639．14．【解答】解：根据题意得：x＝﹣5或5，y＝﹣5，当x＝﹣5时，x+y＝﹣5﹣5＝﹣10；当x＝5时，x+y＝5﹣5＝0．故答案为：﹣10或0．15．【解答】解：①因为＞2，所以|2﹣|＝﹣2；故答案为：﹣2；②×＝＝＝2；故答案为：2；③因为﹣3＜﹣、＜4，所以﹣和之间的所有整数：﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案为：2，﹣1，0，1，2，3．16．【解答】解：2＝，4＝，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案为：＜．17．【解答】解：∵，则实数x＝，故答案为：．18．【解答】解；∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝，∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，∴AP＝AC＝，∴OP＝AP﹣OA＝﹣2，∴点P表示的数是2﹣，故答案为：2﹣．19．【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．20．【解答】解：∵a≥﹣1，∴a+1≥0，则原式＝＝|a+1|＝a+1，故答案为：a+1．三．解答题21．【解答】解（1）∵0.×100＝17.∴0.×100﹣0.＝17.﹣0.0.×（100﹣1）＝17，0.＝，（2）∵0.3×10＝3.①0.3×1000＝313.•②∴由②﹣①得0.3×1000﹣0.3×10＝313.﹣3.，0.3（1000﹣10）＝310，0.3＝．22．【解答】解：（1）∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2＝﹣．故答案为：﹣2，0．23．【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝17，3a+b﹣1＝62，解得a＝9，b＝10，所以，a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∵（±7）2＝49，∴a+4b的平方根是±7．24．【解答】解：（1）由题意得，a﹣4＝1，b﹣12＝8，所以a＝5，b＝20；（2）由（1）得，a+b＝25，所以．25．【解答】解：（1）4x2﹣16＝0，4x2＝16，x2＝4，x＝±2；（2）3（x+1）3＝24，（x+1）3＝8，x+1＝2，x＝1．26．【解答】解：（1）从数轴可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，所以a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）由（1）可知：a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，所以﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|＝a﹣1﹣b﹣1+c+1＝a﹣b+c﹣1．27．【解答】解：（1）2﹣2+＝2×3﹣2×+＝6﹣+＝6；（2）×﹣＝﹣＝6﹣7＝﹣1；（3）＝3+4﹣4﹣＝7﹣4﹣1＝6﹣4；（4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+＝1﹣3+2﹣2＝﹣4+2．28．【解答】解：（1）原式＝﹣11.5﹣4.5+（10﹣10）＝﹣16+0＝16；（2）（﹣6）2×（﹣）﹣23＝36×﹣36×﹣8＝12﹣18﹣8＝﹣14；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）＝×（﹣270+21.5+8）＝×（﹣240）＝﹣60；（4）﹣+6÷（﹣）×＝﹣6﹣9×（﹣2）＝﹣6+18＝12．29．【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2，故答案为2；（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1，①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3，②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣，③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5；3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．答：a的值为2或﹣2．30．【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+6n2+2mn，a+b＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn；（2）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，a+4＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）＝＝＝2+1，则＝＝＝＝﹣1．。

第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理： 知识点一：平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二：算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

(3) 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； C.81的平方根是3±； D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是 （ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

八年级数学（上）第二章《实数》复习题1、3的平方根是 ；16的算术平方根是 ；8的立方根是 ；327-＝ 。

2、9的算术平方根是 ；–1的立方根是 ,271的立方根是 , 9的立方根是 。

3、2的相反数是 ，倒数是 ， -36的绝对值是 。

4、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 ；3的倒数是 。

5、比较大小:；310。

-2； 215- 21；112 53。

6、=-2)4( ；=-33)6( ； 2)196(= 。

7、估计60的大小约等于 或 （误差小于1）。

8、若03)2(12=-+-+-z y x ，则z y x ++＝ 。

9、化简：=-2)3(π 。

若1＜x ＜4，则化简()()2214---x x = ； 10、如图，在网格图中的小正方形边长为1，则图中的ABC ∆的面积等于 。

11、如图，图中的线段AE 的长度为 。

12、如上图，小正方形边长为1，线段=AB ，=CD ，EF = 。

13、 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <，则a b += ．14、一个正数的平方根为m -2与63+m ,则=m ，这个正数是 .15、要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是。

16、已知：若1.9106.042≈，±≈ .17、有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x =64时，输出的y 等于（ ）A ．2B ．8C ．D ．18、下列无理数中，在－2与1之间的是（ ）A ．－B ．－C ．D ．19、满足53<<-x 的整数x 是（ ）A 、3,2,1,0,1,2--B 、3,2,1,0,1-C 、3,2,1,0,1,2--D 、2,1,0,1-215-20、下列计算结果正确的是（ ）A 、066.043.0≈ B 、30895≈ C 、4.602536≈ D 、969003≈21、下列各式中，正确的是（ ）A 、2)2(2-=- B 、9)3(2=- C 、 393-=- D 、39±=± 22、求下列各式的值:①44.1; ②3027.0-; ③610-; ④25241+; ⑤327102---.23、化简： ①12 ②3221 ③81 ④23 ⑤346 ⑥5.424、计算：①5312-⨯ ②2)352(- ③2)75)(75(++-⑤8145032-- ⑥)31)(21(-+ ⑦0)31(33122-++⑧862⨯-82734⨯+ ⑨21418122-+- ⑩284)23()21(01--+-⨯-25、解方程：①2542=x ②27)1(32=-x ； ③01258133=+x26、已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求13+++-d c ab 的值。

北师大版八年级上册第二章《实数复习》说课稿一. 教材分析北师大版八年级上册第二章《实数复习》是学生在学习了实数相关概念和性质后的一次复习。

本节课的主要内容是回顾和巩固有理数、无理数和实数的概念，以及它们的性质和运算。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握实数的运算规则，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在进入八年级之前，已经学习了有理数和无理数的基本概念和性质，对实数有一定的了解。

但在实际应用中，部分学生可能对实数的理解和运算还存在一定的困难。

因此，在复习实数时，需要帮助学生巩固基础知识，提高运算能力，并培养解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：通过复习，使学生掌握实数的概念和性质，能够熟练进行实数的运算。

2.过程与方法：通过自主学习和合作交流，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生的自我学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、性质和运算规则。

2.教学难点：实数运算的灵活应用，以及解决实际问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流和教师引导相结合的教学方法。

利用多媒体课件和黑板，帮助学生直观地理解和掌握实数的运算规则。

同时，通过小组讨论和例题讲解，引导学生主动参与学习，提高解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数和无理数的概念，引出实数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：讲解实数的性质和运算规则，通过例题和练习题，让学生理解和掌握实数的运算方法。

3.课堂练习：设计一些有关实数运算的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

4.小组讨论：引导学生分组讨论实际问题，培养学生解决问题的能力。

5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调实数运算的注意事项。

6.布置作业：布置一些有关实数运算的练习题，让学生课后巩固所学知识。

七. 说板书设计板书设计主要包括实数的概念、性质和运算规则。

第二章实数 1．平方根2．算术平方根3．立方根例题1、 （1）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________． （2）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________． 例题2、判断下列各题，并说明理由 （19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数． （ ） （3（ ） （4）2a -没有算术平方根．（ ） （53=±． （ ） （6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ） （105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ） 例题3、（1|227|0xy x y -+-=，求①22x y +；②22444x y x y --．（2）（七初半期）已知：2y =-，则34x y +=_______．（3）已知x 、y为实数，y =________．（4）（育才期末）若x 、y为实数，且满足||4y x =-________．（5）（嘉祥2014-2015半期）已知x ，y 为实数，(0 y -=，那么20112011x y -=________． 例题4、（1）若3x =-，则|1=________；计算|3π|-_______．（2）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：||||a b b c ++________．（322000=，y =，求y x -的平方根．例题5、（1）求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338-； ⑤2(5)-（22±，27x y ++的立方根为4，求x y +的值．（3a =，2(0)y b y =<8(4)b a >18=，求xy 的值．实数的概念、估算和分类 模块一：实数的估算和高斯记号1．估算法：（1）若120a a a ≤<<；（2）若12a a a <<<根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a 最近的两个平方数和立方数，916a <<，则34<<；827a <<，则23<．1.414 1.7322.236．2．高斯记号：任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分．的整数部分为223的整数部分为1，那么小4；4-，那么小数部分为4例题1、（1）若4m -，则估计m 的范围为（ ）．A ．12m <<B ．23m <<C ．34m <<D ．45m << （2）比较下列各数大小：0.5；②3-____-例题2、（1）对于一个无理数m ，我们把不超过m 的最大整数叫做m 的整数部分，把m 减去整数部分的差叫做m 的小数部分．设1x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分．求323a b ab ++的值．（2）（成外半期）若99的小数部分分别为a 与b ，则a b +=_______．（3）设[]x 表示不大于x 的最大整数，则[100]++++=________． 模块三：实数的概念和分类1．无理数： 叫无理数． 2．实数： 和 统称实数．3．实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是 .4．请你对实数进行分类：例题1、（1）227，，3.14，π，0π，0.61414，0.1001000100001……这9个实数中，无理数的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 （2）下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数；②有理数与无理数之积是无理数； ③无理数与无理数之和是无理数；④无理数与无理数之积是无理数． 请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由．例题2、计算：（1（2）2（3）202π)-+ （4）21)-例题3、已知x ，y 是有理数，且11 2.25034x y ⎛⎛++--= ⎝⎭⎝⎭，求x ，y 的值．。

北师大版数学八上第二章实数---解答题一．解答题1．（2018秋•莲湖区期中）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和x+6，求这个数．2．（2018秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣25=0（2）2（x+1）2﹣32=03．（2018春•甘井子区期中）正方形的边长为acm，它的面积与长为96cm、宽为12cm 的长方形的面积相等，求a的值．4．（2018秋•埇桥区校级月考）已知和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣28的平方根．5．（2018秋•宜兴市期中）求下列各式中的实数x的值（1）（2x﹣1）3=﹣8（2）3（x+2）2=126．（2017秋•临城县期中）已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．7．（2018秋•市南区校级期中）【阅读材料】∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜＜2．∴﹣1的整数部分为1．∴﹣1的小数部分为﹣2【解决问题】的小数部分是；我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．阅读理解：求的近似值．解：设=10+x，其中0＜x＜1，则107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值为10.35．理解应用：利用上面的方法求的近似值（结果精确到0.01）．8．（2018秋•宁都县期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求代数式|a|﹣|a+b|+|c ﹣a|+|b﹣c|的值．9．（2018秋•雨花区校级月考）A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|=2．（1）a=；b=；（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t ＞0）①当PO=2PB时，求点P的运动时间t：②当PB=6时，求t的值：（3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由．10．（2018秋•望谟县校级月考）实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：|b+c|﹣|b ﹣a|+|a﹣c|11．（2018秋•锡山区期中）计算①++（﹣）2②﹣|1﹣|+（﹣1）012．（2018秋•苍南县期中）计算下列各题：（1）﹣2.2+（﹣1.8）﹣（﹣3）（2）+﹣|﹣2|（3）﹣42×（﹣）﹣（﹣2）3（4）6.86×（﹣5）+（﹣12）×6.86+6.86×1713．（2018秋•江阴市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b+c|﹣．14．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．15．（2018秋•长清区期中）观察下列各式：==1，==3，==6．（1）计算：==；（2）观察上面的计算规律，直接写出结果13+23+33+43+53=；（3）归纳：13+23+33+…+n3=；（n是大于或等于1的自然数）16．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．17．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a218．（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+219．（2018秋•大鹏新区期中）计算（1）﹣2+（2）（+）（﹣）﹣20．（2018秋•莲湖区期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：=﹣1，=﹣，=﹣，=﹣，……（1）+的倒数是；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．（不必证明）（3）利用上面的结论，求下列式子的值：（+++……+）•（+1）21．（2018秋•泰州期中）计算：﹣14++（）﹣2+（﹣2）2008•（+2）2007﹣（π﹣）022．（2018秋•山亭区期中）计算：（1）；（2）（）；（3）；（4）（1+）（）﹣（2）2；（5）（）×﹣（）（）．23．（2018秋•雁塔区校级期中）已知：x=，y=．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．24．（2018春•邹城市期中）已知x=2+，y=2﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+y2﹣3xy．25．（2018春•定陶区期中）计算题（1）2÷×﹣（2）先化简，再求值．（6x+）﹣（4x+），其中x=，y=27．26．（2018秋•宝山区校级月考）已知实数a，b满足（﹣）=（3+5），求代数式的值．北师大版数学八上第二章实数---解答题参考答案与试题解析一．解答题1．（2018秋•莲湖区期中）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和x+6，求这个数．【分析】根据已知得出方程3x﹣2+x+6=0，求出x，再计算（x+6）2即可得．【解答】解：根据题意知3x﹣2+x+6=0，解得：x=﹣1，则（x+6）2=（﹣1+6）2=52=25，所以这个数为25．2．（2018秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣25=0（2）2（x+1）2﹣32=0【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用平方根的定义计算得出答案．【解答】解：（1）9x2﹣25=0x2=，故x=±；（2）2（x+1）2﹣32=0则（x+1）2=16，故x+1=±4，解得：x=3或﹣5．3．（2018春•甘井子区期中）正方形的边长为acm，它的面积与长为96cm、宽为12cm 的长方形的面积相等，求a的值．【分析】根据题意列出等式a2=96×12，利用平方根的定义求解可得．【解答】解：根据题意，得：a2=96×12，解得：a=±24，∵a为正数，∴a=24．4．（2018秋•埇桥区校级月考）已知和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）﹣2﹣28的平方根．【分析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质得出a，b的值，进而结合负指数幂的性质化简得出答案，【解答】解：∵和|8b﹣3|互为相反数，∴1﹣3a=0，8b﹣3=0，解得：a=，b=，∴（ab）﹣2﹣28=（×）﹣2﹣28=64﹣28=36，∴（ab）﹣2﹣28的平方根为：±6．5．（2018秋•宜兴市期中）求下列各式中的实数x的值（1）（2x﹣1）3=﹣8（2）3（x+2）2=12【分析】（1）先开立方，再解方程可得；（2）先将两边都除以3，再开平方，继而解方程可得．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）3=﹣8，∴2x﹣1=﹣2，解得：x=﹣；（2）∵3（x+2）2=12，∴（x+2）2=4，则x+2=±2，解得：x1=0，x2=﹣4．6．（2017秋•临城县期中）已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．【分析】（1）利用“夹逼法”求得a的值，由平方根的定义求得b的值，代入计算即可；（2）利用（1）的结果进行比较即可．【解答】解：（1）∵4＜8＜9，∴2＜＜3．又+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根，∴a=3，b=1；（2）由（1）知，a=3，b=1∴a+b=3+1=4，∴a+b的算术平方根是：2．∵2＜5，∴2＜．7．（2018秋•市南区校级期中）【阅读材料】∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜＜2．∴﹣1的整数部分为1．∴﹣1的小数部分为﹣2【解决问题】的小数部分是﹣9；我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．阅读理解：求的近似值．解：设=10+x，其中0＜x＜1，则107=（10+x）2，即107=100+20x+x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解之得x≈0.35，即的近似值为10.35．理解应用：利用上面的方法求的近似值（结果精确到0.01）．【分析】解决问题：先求出介于哪两个连续的整数之间，即可得出结论；理解应用：设=9+x，其中0＜x＜1，求出97≈81+18x，求出x，即可得出答案．【解答】解：解决问题：∵＜＜，即：9＜10，∴的整数部分为9，∴的小数部分为﹣9，故答案为：﹣9；理解应用：设=9+x，其中0＜x＜1，则97=（9+x）2，即97=81+18x+x2，∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1，∴97≈81+18x，解之得x≈0.89，即的近似值为9.89，8．（2018秋•宁都县期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求代数式|a|﹣|a+b|+|c ﹣a|+|b﹣c|的值．【分析】根据数轴得到a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，根据绝对值的性质化简，合并同类项即可．【解答】解：由数轴可知，a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b﹣c|=a+a+b+c﹣a﹣b+c=a+2c．9．（2018秋•雨花区校级月考）A，B两点在数轴上如图所示，其中O为原点，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，且点A距离原点6个单位长度，a．b满足b﹣|a|=2．（1）a=﹣6；b=8；（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒（t ＞0）①当PO=2PB时，求点P的运动时间t：②当PB=6时，求t的值：（3）当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E、F，则的值是否为一个定值？如果是，求出定值，如果不是，说明理由．（1）由点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边，推出a=﹣6，由b﹣|a|=2．可【分析】得b=8；（2）①②根据题意构建方程即可解决问题；（3）根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算即可．【解答】解：（1）∵点A距离原点6个单位长度，点A在原点左边，∴a=﹣6，∵b﹣|a|=2．∴b=8，故答案为﹣6，8．（2）①∵OP=2PB，观察图象可知点P在点O的右侧：2t﹣6=2（14﹣2t）或2t﹣6=2（2t﹣14），解得t=或11．②（14﹣2t）=6或（2t﹣14）=6解得t=4或10．（3）当点P运动到线段OB上时，AP中点E表示的数是=﹣6+t，OB的中点F表示的数是4，所以EF=4﹣（﹣6+t）=10﹣t，则==2．所以的值为定值2．10．（2018秋•望谟县校级月考）实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简：|b+c|﹣|b ﹣a|+|a﹣c|【分析】根据数轴可知b+c、b﹣a、a﹣c与0的大小关系即可化简求值．【解答】解：由数轴可知：b+c＜0，b﹣a＜0，a﹣c＞0，∴原式=﹣（b+c）+（b﹣a）+（a﹣c）=﹣b﹣c+b﹣a+a﹣c=﹣2c．11．（2018秋•锡山区期中）计算①++（﹣）2②﹣|1﹣|+（﹣1）0【分析】①直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案；②直接利用二次根式以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：①++（﹣）2=9﹣3+2=8；②﹣|1﹣|+（﹣1）0=3﹣（﹣1）+1=3﹣+1+1=5﹣．12．（2018秋•苍南县期中）计算下列各题：（1）﹣2.2+（﹣1.8）﹣（﹣3）（2）+﹣|﹣2|（3）﹣42×（﹣）﹣（﹣2）3（4）6.86×（﹣5）+（﹣12）×6.86+6.86×17【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式以及立方根的性质化简得出答案；（3）直接利用乘法分配律以及有理数的加减运算法则计算得出答案；（4）直接利用提取公因式法进行加减运算．【解答】解：（1）﹣2.2+（﹣1.8）﹣（﹣3）=﹣2.2﹣1.8+3=﹣1；（2）+﹣|﹣2|=4﹣4﹣2=﹣2；（3）﹣42×（﹣）﹣（﹣2）3=﹣16×﹣16×（﹣）+8=﹣10+12+8=10；（4）6.86×（﹣5）+（﹣12）×6.86+6.86×17=6.86×（﹣5﹣12+17）=0．13．（2018秋•江阴市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b+c|﹣．【分析】根据图象可知a、b、c的符号，从而可以将绝对值符号去掉，然后化简即可解答此题．【解答】解：∵c＜a＜0＜b，∴a﹣b＜0，b+c＞0，b﹣c＞0，﹣|b+c|﹣．=|a﹣b|﹣|b+c|﹣|b﹣c|=b﹣a+b+c﹣b+c=b﹣a+2c．14．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式=a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）=2a．15．（2018秋•长清区期中）观察下列各式：==1，==3，==6．（1）计算：==10；（2）观察上面的计算规律，直接写出结果13+23+33+43+53=225；（3）归纳：13+23+33+…+n3=；（n是大于或等于1的自然数）【分析】（1）已知等式计算即可求出值；（2）观察已知等式，得到一般性规律，写出结果即可；（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．【解答】解：（1）原式==10；（2）原式=13+23+33+43+53=225；（3）原式=[]2=，故答案为：（1）；10；（2）225；（3）16．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式..【解答】解：原式=﹣+2×4﹣=﹣+8﹣=7+17．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a2【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式=+6a﹣3a2=×4+6a×﹣3a2×=+a﹣3a=﹣2a18．（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【分析】（1）首先化简二次根式进而合并得出答案；（2）首先化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：（1）原式=6﹣4+3﹣5=﹣；（2）原式=﹣﹣+10=9．19．（2018秋•大鹏新区期中）计算（1）﹣2+（2）（+）（﹣）﹣【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式．【解答】解：（1）原式=4﹣+=；（2）原式=7﹣3﹣4=0．20．（2018秋•莲湖区期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：=﹣1，=﹣，=﹣，=﹣，……（1）+的倒数是+；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．（不必证明）（3）利用上面的结论，求下列式子的值：（+++……+）•（+1）【分析】（1）利用分母有理化得到+的倒数是﹣；（2）利用题中的计算规律得到=﹣；（3）先利用（2）中结论得到原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1），然后把前面括号内合并后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）=+；故答案为+；（2）=﹣；（3）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）=（﹣）（+1）=2018﹣1=2017．21．（2018秋•泰州期中）计算：﹣14++（）﹣2+（﹣2）2008•（+2）2007﹣（π﹣）0【分析】利用乘方的意义、零指数幂、负整数指数幂和积的乘方法则运算．【解答】解：原式=﹣1+2+4﹣[（﹣2）（+2）]2007（﹣2）﹣1=3+2﹣+2﹣1=4﹣．22．（2018秋•山亭区期中）计算：（1）；（2）（）；（3）；（4）（1+）（）﹣（2）2；（5）（）×﹣（）（）．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的除法法则运算；（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式计算；（5）根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式=﹣2+3=2；（2）原式=﹣=4﹣2=2；（3）原式=6﹣4+3﹣5=﹣；（4）原式=（1+）（1﹣）﹣（12﹣4+1）=﹣2﹣13+4；（5）原式=+﹣（3﹣1）=6+3﹣2=7．23．（2018秋•雁塔区校级期中）已知：x=，y=．求下列代数式x2﹣3xy+y2的值．【分析】先将x，y分母有理化，再将其代入到原式=（x﹣y）2﹣xy，计算可得．【解答】解：x====11+2，y====11﹣2，∴原式=（x﹣y）2﹣xy=（11+2﹣11+2）2﹣（11+2）×（11﹣2）=（4）2﹣（121﹣120）=480﹣1=479．24．（2018春•邹城市期中）已知x=2+，y=2﹣，求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）x2+y2﹣3xy．【分析】先计算x、y两个数的和、差、积；（1）利用平方差公式进行因式分解，然后代入求值；（2）变形为完全平方公式与积的差（或和）的形式，整体代入求值．【解答】解：由已知可得：x+y=4，x﹣y=2，xy=1（1）x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=4×2=8；（2）x2﹣2xy+y2﹣xy=（x﹣y）2﹣xy=（2）2﹣1=12﹣1=11．25．（2018春•定陶区期中）计算题（1）2÷×﹣（2）先化简，再求值．（6x+）﹣（4x+），其中x=，y=27．【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．【解答】解：（1）原式=2×2×﹣=2×﹣=﹣=0；（2）原式=6x+﹣4x﹣=6+3﹣﹣6=（3﹣）=，当x=，y=27时，原式==．26．（2018秋•宝山区校级月考）已知实数a，b满足（﹣）=（3+5），求代数式的值．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：∵（﹣）=（3+5），∴a﹣4﹣5b=0，∴（﹣5）（+）=0，∴=5，∴原式==．。