《第二章实数》复习

第二章实数复习小结一、 知识结构二、 基础知识回顾 1．无理数的定义（ ）叫做无理数 2．有理数与无理数的区 有理数总可以用（ ）或（ ）表示；反过来，任何（ ）或（ ）也都是有理数。

而无理数是（ ）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

有理数可以化成（ ），无理数不能化成（ ）。

3.常见的无理数类型 (1) 一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2) 看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

(3) 有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。

如：35,3。

4．算术平方根。

（1） 定义： （2） 我们规定：（3） 性质：算术平方根a 具有双重非负性：① 被开方数a 是非负数，即a ≥0.② 算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。

也就是说，（ ）的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是（ ）， （ ）没有算术平方根。

5．平方根 （1） 定义：（2） 非负数a 的平方根的表示方法:（3） 性质： 一个（ ）有两个平方根，这两个平方根( )。

( )只有一个平方根，它是( )。

( )没有平方根。

说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是 ：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a 。

6.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同：③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

7．开方运算：（1） 定义： ① 开平方运算： ② 开立方运算：（2）平方与开平方式（ ）关系，故在运算结果中可以相互检验。

8．a 2的算术平方根的性质①当a ≥0时，2a =（ ） ② 当a<0时，2a =（ ） 一般的，当a<0时，2a =-a.我们还知道，当a ≥0时，│a │=a ；当a<0时，│a │=a. 综上所述，有a (a ≥0) 2a =│a │=-a (a<0)从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0)9．立方根（1） 定义：______________________________. （2） 数a 的立方根的表示方法:_________（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关：_________ （4） 两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a (()3(3333==10．实数（1） 概念：________和________统称为实数。

第二章实数 1.认识无理数有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n ≠0）的形式。

任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.无理数：无限不循环小数叫无理数 。

像π，0.585885888588885…，1.41421356…，2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,但是又不是循环的,是无限不循环小数 实数：分为有理数和无理数两类 实数的分类：⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3π；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中①属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有： 2.算数平方根 例题：x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤3.平 方 根迁移应用：1、如果—b 是a 的平方根，那么A 、2a b =； B 、2b a = ； C 、2a b -=； D 、2b a -=。

2、16的算术平方根是_______，平方根是_______3、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；4、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；5、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；6、△ABC 的三边是a 、b 、c2(2)0b -=，求c 的取值范围； 4.立方根 一、基础知识回顾〖结论〗：性质⎪⎩⎪⎨⎧的立方根一个负数有一个有一个立方根，是的立方根一个正数有一个____________0_____类似于平方根，一个数α的立方根，记作3a ，读作________ α，其中α叫做__________，3是__________，不能省略，若省略表示开平方。

八年级数学上册 第二章 实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数概念：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算 逐步逼近法的正确使用 三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。

北师大版八年级数学上册第二章实数期末复习练习题(含答案)一．选择题1．在实数，，﹣，0.0，π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（）A．3B．4C．5D．62．4的算术平方根是（）A．±2B．2C．±16D．163．的平方根是（）A．±5B．5C．±D．4．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．95．如果a，b，c满足|a﹣2|++（c﹣3）2＝0，则a+b﹣c的值为（）A．5B．5+C．5+5D．5﹣56．下列说法正确的是（）A．是2的平方根B．﹣1的立方根是1C．1的平方根是1D．﹣3没有立方根7．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．﹣B．C．﹣2D．28．若的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（）A．1B．C．3﹣3D．39．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a ﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．计算（）A．2B．C．D．3二．填空题11．已知某数的一个平方根是，那么它的另一个平方根是．12．已知：≈1.421267…，≈4.494441…，则（精确到0.1）≈．13．已知≈1.2639，≈2.7629，则≈．14．若x2＝（﹣5）2，＝﹣5，那么x+y的值是．15．①＝．②＝．③写出﹣和之间的所有整数．16．比较大小：24．17．若|x|＝，则实数x＝．18．如图，长方形OABC放在数轴上，OA＝2，OC＝1，以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为．19．式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．20．已知a ≥﹣1，化简＝．三．解答题21．无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把0.和0.2化为分数请用以上方法解决下列问题（1）把0.化为分数（2）把0.3化为分数．22．定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数，且未知数的最高次数是2的⼀程，叫做⼀元⼀次⼀程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是⼀元⼀次⼀程．根据平⼀根的特征，可以将形如x2＝a（a≥0）的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解．如：解⼀程x2＝9的思路是：由x＝±，可得x1＝3，x2＝﹣3．解决问题：（1）解⼀程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解⼀程：（3x﹣1）2﹣25＝0．23．已知2a﹣1的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．24．已知某正数的两个平方根分别是﹣1和a﹣4，b﹣12的立方根为2．（1）求a，b的值．（2）求a+b的平方根．25．求出下列x 的值：（1）4x 2﹣16＝0； （2）3（x +1）3＝24．26．如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题： （1）比较大小：a ﹣1 0；b +1 0；c +1 0；（2）化简﹣|a ﹣1|+|b +1|+|c +1|．27．计算：（1）2﹣2+； （2）×﹣；（3）； （4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+．28．计算：（1）（+10）+（﹣11.5）+（﹣10）﹣4.5； （2）（﹣6）2×（﹣）﹣23；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）； （4）﹣+6÷（﹣）×．29．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； （2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②表示的点与数 表示的点重合；③若数轴上A 、B 两点之间距离为9（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，此时点A 表示的数是 、点B 表示的数是（3）已知在数轴上点A 表示的数是a ，点A 移动4个单位，此时点A 表示的数和a 是互为相反数，求a 的值．30．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若a+4＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：．参考答案一．选择题1．【解答】解：＝2，，﹣，0.0都是有理数，而π，，0.301300130001…（3与1之间依次增加一个0）都是无限不循环小数，因此是无理数，所以无理数的个数有3个，故选：A．2．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：B．3．【解答】解：∵＝5，∴的平方根是±，故选：C．4．【解答】解：∵正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，∴（2a﹣5）+（﹣a+1）＝0，解得a＝4，∴2a﹣5＝3，∴这个正数为32＝9，故选：D．5．【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，解得a＝，b＝5，c＝，则a+b﹣c＝2+5﹣＝5﹣．故选：A．6．【解答】解：A、是2的平方根，正确；B、﹣1的立方根是﹣1，故本选项错误；C、1的平方根是±1，故本选项错误；D、﹣3的立方根是﹣，故本选项错误；故选：A．7．【解答】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，因为﹣8是有理数，所以再取立方根为﹣2，﹣2是有理数，所以再取立方根为＝，因为是无理数，所以输出，故选：A．8．【解答】解：∵1，∴x＝1，y＝﹣1，∴x﹣y＝×1﹣（﹣1）＝1，故选：A．9．【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．10．【解答】解：原式＝1+（2×）2016×2＝1+2＝3．故选：D．二．填空题11．【解答】解：若一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是．故答案为：．12．【解答】解：∵≈4.494，∴≈44.9（精确到0.1），故答案为：44.9．13．【解答】解：∵≈1.2639，∴＝＝×＝﹣×≈﹣0.12639．故答案为：﹣0.12639．14．【解答】解：根据题意得：x＝﹣5或5，y＝﹣5，当x＝﹣5时，x+y＝﹣5﹣5＝﹣10；当x＝5时，x+y＝5﹣5＝0．故答案为：﹣10或0．15．【解答】解：①因为＞2，所以|2﹣|＝﹣2；故答案为：﹣2；②×＝＝＝2；故答案为：2；③因为﹣3＜﹣、＜4，所以﹣和之间的所有整数：﹣2，﹣1，0，1，2，3．故答案为：2，﹣1，0，1，2，3．16．【解答】解：2＝，4＝，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案为：＜．17．【解答】解：∵，则实数x＝，故答案为：．18．【解答】解；∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝，∵以A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于P点，∴AP＝AC＝，∴OP＝AP﹣OA＝﹣2，∴点P表示的数是2﹣，故答案为：2﹣．19．【解答】解：由题意得：5﹣x≥0，解得：x≤5，故答案为：x≤5．20．【解答】解：∵a≥﹣1，∴a+1≥0，则原式＝＝|a+1|＝a+1，故答案为：a+1．三．解答题21．【解答】解（1）∵0.×100＝17.∴0.×100﹣0.＝17.﹣0.0.×（100﹣1）＝17，0.＝，（2）∵0.3×10＝3.①0.3×1000＝313.•②∴由②﹣①得0.3×1000﹣0.3×10＝313.﹣3.，0.3（1000﹣10）＝310，0.3＝．22．【解答】解：（1）∵x﹣2＝±，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2＝﹣．故答案为：﹣2，0．23．【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝17，3a+b﹣1＝62，解得a＝9，b＝10，所以，a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，∵（±7）2＝49，∴a+4b的平方根是±7．24．【解答】解：（1）由题意得，a﹣4＝1，b﹣12＝8，所以a＝5，b＝20；（2）由（1）得，a+b＝25，所以．25．【解答】解：（1）4x2﹣16＝0，4x2＝16，x2＝4，x＝±2；（2）3（x+1）3＝24，（x+1）3＝8，x+1＝2，x＝1．26．【解答】解：（1）从数轴可知：b＜﹣1＜c＜0＜a＜1，所以a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）由（1）可知：a﹣1＜0，b+1＜0，c+1＞0，所以﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|＝a﹣1﹣b﹣1+c+1＝a﹣b+c﹣1．27．【解答】解：（1）2﹣2+＝2×3﹣2×+＝6﹣+＝6；（2）×﹣＝﹣＝6﹣7＝﹣1；（3）＝3+4﹣4﹣＝7﹣4﹣1＝6﹣4；（4）（π﹣3）0+（﹣）﹣1+|﹣|+＝1﹣3+2﹣2＝﹣4+2．28．【解答】解：（1）原式＝﹣11.5﹣4.5+（10﹣10）＝﹣16+0＝16；（2）（﹣6）2×（﹣）﹣23＝36×﹣36×﹣8＝12﹣18﹣8＝﹣14；（3）（﹣270）×+0.25×21.5+（﹣8）×（﹣0.25）＝×（﹣270+21.5+8）＝×（﹣240）＝﹣60；（4）﹣+6÷（﹣）×＝﹣6﹣9×（﹣2）＝﹣6+18＝12．29．【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有＝0，解得x＝2，故答案为2；（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为＝1，①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有＝1，解得y＝﹣3，②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有＝1，解得z＝2﹣，③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：＝1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，故答案为：﹣3，2﹣，﹣3.5，5.5；3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．答：a的值为2或﹣2．30．【解答】解：（1）∵（m+n）2＝m2+6n2+2mn，a+b＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，b＝2mn．故答案为m2+3n2，2mn；（2）∵（m+n）2＝m2+3n2+2mn，a+4＝（m+n）2，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）＝＝＝2+1，则＝＝＝＝﹣1．。

第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理： 知识点一：平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二：算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

(3) 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； C.81的平方根是3±； D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是 （ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

八年级数学（上）第二章《实数》复习题1、3的平方根是 ；16的算术平方根是 ；8的立方根是 ；327-＝ 。

2、9的算术平方根是 ；–1的立方根是 ,271的立方根是 , 9的立方根是 。

3、2的相反数是 ，倒数是 ， -36的绝对值是 。

4、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 ；3的倒数是 。

5、比较大小:；310。

-2； 215- 21；112 53。

6、=-2)4( ；=-33)6( ； 2)196(= 。

7、估计60的大小约等于 或 （误差小于1）。

8、若03)2(12=-+-+-z y x ，则z y x ++＝ 。

9、化简：=-2)3(π 。

若1＜x ＜4，则化简()()2214---x x = ； 10、如图，在网格图中的小正方形边长为1，则图中的ABC ∆的面积等于 。

11、如图，图中的线段AE 的长度为 。

12、如上图，小正方形边长为1，线段=AB ，=CD ，EF = 。

13、 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b <，则a b += ．14、一个正数的平方根为m -2与63+m ,则=m ，这个正数是 .15、要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是。

16、已知：若1.9106.042≈，±≈ .17、有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x =64时，输出的y 等于（ ）A ．2B ．8C ．D ．18、下列无理数中，在－2与1之间的是（ ）A ．－B ．－C ．D ．19、满足53<<-x 的整数x 是（ ）A 、3,2,1,0,1,2--B 、3,2,1,0,1-C 、3,2,1,0,1,2--D 、2,1,0,1-215-20、下列计算结果正确的是（ ）A 、066.043.0≈ B 、30895≈ C 、4.602536≈ D 、969003≈21、下列各式中，正确的是（ ）A 、2)2(2-=- B 、9)3(2=- C 、 393-=- D 、39±=± 22、求下列各式的值:①44.1; ②3027.0-; ③610-; ④25241+; ⑤327102---.23、化简： ①12 ②3221 ③81 ④23 ⑤346 ⑥5.424、计算：①5312-⨯ ②2)352(- ③2)75)(75(++-⑤8145032-- ⑥)31)(21(-+ ⑦0)31(33122-++⑧862⨯-82734⨯+ ⑨21418122-+- ⑩284)23()21(01--+-⨯-25、解方程：①2542=x ②27)1(32=-x ； ③01258133=+x26、已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求13+++-d c ab 的值。