2011-2012学年北京市朝阳区七年级(下)期末数学试卷解析

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第二次综合练习数学试卷（理工类）2012．5第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=UAB （ ）．A ．{}04x x ≤<B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3．已知双曲线2215x y m -=()0m >的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）． A ．6 B 32C ．32D ． 344．在ABC △中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且ABC △的面积为32，则BAC ∠等于（ ）．A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ=，a ，2(1,)λ=-b ，(11)=-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若111a dx =x⎰()1a >，则e a =．其中所有的真命题是（ ）．A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7．直线y x =与函数()22,42,x mf x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．[)1,2-B ．[]1,2-C ．[)2.+∞D ．(]1-∞-，8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是（ ）．A ．1B ．322C ．2D ．3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上． 9．二项式521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为5，则实数a =_______．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．11．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若2CD =， 则AB =_______，EF =_________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为()x x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为()233x x -万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==， ()1,1,1,,i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第5行第3列的数是 ； 记第 3行的数3,5,8,13,22,为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数()23sin cos cos f x x x x m =-+()m ∈R 的图象过点π,012M ⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若cos cos 2cos c B b C a B +=， 求()f A 的取值范围．一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4,2,1AB AE EF ===．（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面EBC ； （Ⅲ）求二面角A FB D --的余弦值．E CBDMAF已知函数()()22ln 0a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(),0a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()21e 2g a ．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0A -，)2,0B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点()10F ，的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．已知数列()12:,,,,2n n A a a a n n *∈N *(,2)n n ∈N 满足10n a a ==，且当()2k n k *∈N 时，()211k k a a --=，令()1nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出()5S A 的所有可能的值； （Ⅱ）求()n S A 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得()()23=4n n S A -？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学答案（理工类）2012．5一、选择题：题号 1 2[ 3 4 5 6 7 8 答案 BBCCBDAD二、填空题：9．1 10．13 11．12 12．323 13． 2**32100,020,,160,20,,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 14．16，121n n a n -=++ 三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由()312(cos21)2f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=，解得12m =． ……5分 （Ⅱ）解：因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =． ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =． ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=． ……10分 所以2π03A <<，ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -1(,1]2∈-．…12分 所以()f A 的取值范围是1(,1]2-． ……13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()C 84P A +==． 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584．…4分 （Ⅱ）解：设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739C C 281()C 843P B ===．答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13． ……8分（Ⅲ）解：X 的取值为23,45，，． 1221222239C C +C C 1(2)C 21P X ===，1221242439C C +C C 4(3)C 21P X ===，1221262639C C +C C 3(4)C 7P X ===，121839C C 1(5)C 3P X ===． ……11分所以X 的分布列为X 23 45P1214213713X 的数学期望143185234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN AB ∥，又14CM AC =，所以14MN AB =． 又EF AB ∥且14EF AB =， 所以EF MN ∥，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM FN ∥．又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以EM ∥平面FBC ． ……4分（Ⅱ）证明：因为EA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由已知可得()()()()000,4,0,0,4,4,0,0,4,0A B C D ，，， ()()002,1,0,2E F ，，．显然()()()102040402AF BC EB ===-，，，，，，，，． 则00AF BC AF EB ⋅=⋅=，， 所以AF BC AF EB ⊥⊥，．即AF BC AF EB ⊥⊥，，故AF ⊥平面EBC ． （Ⅲ）解：因为EF AB ∥，所以EF 与AB 确定平面EABF ，E DCMAFNxzECBDMA Fy由已知得，()()()0403,0,2440BC FB BD ==-=-，，，，，，． ……9分 因为EA ⊥平面ABCD ，所以EA BC ⊥． 由已知可得AB BC ⊥且EAAB A =，所以BC ⊥平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量． 设平面DFB 的一个法向量是()n x,y,z =． 由0,0,n BD n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得440,320,x y x z -+=⎧⎨-=⎩即32y x,z x,=⎧⎪⎨=⎪⎩令2x =，则(2,2,3)n =． 所以217cos <,17BC n BC n BC n⋅>==⋅由题意知二面角A FB D --锐角，故二面角A FB D --217……14分 18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为{|0}x x >． ()()22210a a f x x x x'=-+>．根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， 解得1a =-或32a =． ……3分 （Ⅱ）解：()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x+--+'=-+==>． （1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<．所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减． （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-．所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增． ……9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---． 2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a-'=-+⋅-=---，令()0g a '=，得21e 2a =-． 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：a21(,e )2-∞-21e 2- 21(e ,0)2- ()g a '+-()g a极大值21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点． 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222g a g =-=--⨯---最大值2222131e ln e e e 222=-+=．所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立． ……14分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y 1222x x =-+-，整理得221(2)2x y x +=≠．所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±． ………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． ………6分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+．设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，所以2222(,)2121k kQ k k -++． ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++． 令0x =，解得211212P k y k k k==++． ．………10分当0k >时，因为1222k k +≥2022P y <≤= 当0k <时，因为1222k k +≤-2022P y >≥=． ．………12分综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22[． ．………13分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：（1）0,1,2,1,0.此时5()=4S A ；（2）0,1,0,1,0.此时5()=2S A ； （3）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（4）0,1,2,1,0.---此时5()=4S A -； （5）0,1,0,1,0.-此时5()=0S A ；（6）0,1,0,1,0.--此时5()=2S A -； 所以，5()S A 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）解：由21()1k k a a --=，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（2k n ≤≤，*k ∈N ）， 因为11n n n a a c ---=，所以11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为10n a a ==，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由12n -个1和12n -个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前12n -项取1，后12n -项取1-时()n S A 最大， 此时()n S A 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=．证明如下： 假设121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以()n S A 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前12n -项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后12n -项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则 21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2n -是奇数，而12()ti i i n m =-∑是偶数，因此不存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=． ……13分北京市朝阳区高三二模试卷 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B 【解析】解：210x x >⇒>，{}|0A x x ∴=>，()()23404104x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-{}|14U B x x ∴=-≤≤，所以{}|04UA B x x =<≤．故选B ．2．【答案】B【解析】解：由题可知i i 2i 2i 12i 2i 2i 4z +-==⋅=--+， 复数z 在复平面内对应的点为11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故在第二象限．故选B ．3．【答案】C【解析】解：由题可知抛物线212y x =的焦点为()3,0， 故双曲线中的3c =，所以25954m c =-=-=， 故离心率32c e a m ===． 故选C ．4．【答案】C【解析】解：由题可知0cos 0AB AC AB AC BAC ⋅<⇒⋅⋅∠<，故BAC ∠为钝角，因为313sin 222ABC S AB AC BAC =⇒⋅∠=△， 即13123sin sin 222BAC BAC ⨯⨯⨯∠=⇒∠=， 综上，150BAC ∠=． 故选C ．5．【答案】BBCA【解析】解：可知直线:40l x y -+=，2π222424ρθρρθθ⎫⎛⎫=+⇒=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即曲线()()22:228C x y -+-=， 所以圆心为()2,2，半径22r = 圆心到直线的距离2242211d r -+===+．故选B ．6．【答案】D 【解析】解：()44sin cos f x x x =-()()2222sin cos sin cos x x x x =+⋅-22sin cos cos2x x x =-=-，2ππ2T ∴==，命题p 正确； ()21,1λλ+=-+a b ，()2110λλ∴+⇒=-++=∥a b c ，即0λ=或1λ=-，故(+)//a b c 的是1λ=-的必要不充分条件， 命题q 错误； 111ln ln 1e aa dx x a a x===⇒=⎰，命题r 正确． 故选D ．7．【答案】A【解析】解：由图可知，函数242y x x =++，2y = 分别与函数y x =由两个和一个公共点，直线3与函数23的图象恰有三个公共点，只需m 取值在()1,1B --，()2,2C 两点的横坐标之间， 易验证当1m =-时，满足题意；当2m =时，只有,A B 两个公共点，不满足题意． 故选A ．C (2,2)B (-1,-1)A (-2,-2)yxy=xy=x 2+4x+2y=28．【答案】D【解析】解：因为是按任意方向正投影， 可以让面（设为桌面）定下来，正方体在动； 因此可以想象当正方体体对交线垂直于桌面时， 其在桌面上的投影是个正六边形，此时面积最大； 2233=，223，其面积可以看成623的正三角形的面积和：2326(33= 故选D ．二、 填空题 9．【答案】1【解析】解：由二项式的定理可知 ()5105252155C C kk kkk k k T axxa x ---+==， 当4k =，为展开式的常数项455C 51T a a ==⇒=． 故答案为1．10．【答案】13【解析】解：可列表x1 1 23 5 循环结束y1 23 5 8 z235813故13z =． 故答案为13．11．【答案】12【解析】解：由题可知满足题意得不等式区域y=x+1y为如图所示的阴影区域，设22z x y =+；已知当圆与直线相切与点A 时， z 取得最小值，220011212z AO ⎛-+⎫=== ⎪+⎝⎭．故答案为12．12．【答案】3，233【解析】解：由垂径定理可知2CD BD AD =⋅，即22222339AB AB CD AB =⋅⇒=，所以3AB =； 在直角CDE △中，222213CE CD DE CE =+⇒=+=， 由相交弦定理可知122333CE EF AE EB EF ⨯⋅=⋅⇒==． 故答案为3，233．13．【答案】2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16 【解析】解：由题可知当20x ≤时，223310032100y x x x x x =---=-+- 当20x >时，260100160y x x =--=-； 当20x ≤时，函数在32162x =-=，取得max 256y = 当20x >时，函数在21x =，取得max 139y =， 综上当产量为16时，所得年利润最大．故答案为2**32100,020,,160,20,x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ，16．14．【答案】16，121n n a n -=++【解析】解：对于第一空，依题意：5,34,25,23,14,14,15,1()()3+4+4+5=16a a a a a a a =+=+++=； 对于第二空，依题意：3,2,13,12,1112,1n n n n n n n n n b a a a a b b b a ------==+=+⇒-=，从表格中可以看出：22,11,1121(2)n n n a a n ---=+=+≥，所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+230(21)(21)(21)3n n --=+++++++230(222)13n n n --=++++-+121n n -=++．故答案为16，121n n a n -=++．。

2023-2024学年北京市朝阳区七年级（下）期末生物试卷一、选择题（每小题1分，共25小题，共25分）1．（1分）“大久保”桃清甜爽脆，新鲜桃肉含水量在88%左右。

将水分运输至桃果实内的结构是（ ）A．表皮B．导管C．形成层D．筛管2．（1分）师生们购买了麒麟瓜苗用于西瓜种植实践活动。

为了保障瓜苗移栽成活率，以下措施不合理的是（ ）A．在晴朗的中午进行移栽B．尽量选择壮苗进行移栽C．移栽时根部应带适量土D．完成移栽后要尽快浇水3．（1分）根据安全输血原则，在大量失血时，应给A型血患者输入（ ）A．O型血B．A型血C．B型血D．AB型血4．（1分）如图是显微镜下观察到的人血涂片物像，下列叙述错误的是（ ）A．①能运输氧气B．②能吞噬病菌和异物C．③数量增多会导致流血不止D．④负责运输养料和代谢废物5．（1分）李先生因身体不适进行了血常规检查，结果如下表。

推测他可能患有的病症是（ ）项目结果参考值白细胞13×109/L（4～10）×109/L红细胞 4.8×1012/L男：（4.0～5.5）×1012/L女：（3.5～5.0）×1012/L血红蛋白135g/L男：120～160g/L女：110～150g/LA．炎症B．贫血C．凝血障碍D．白血病6．（1分）小明在观察小鱼尾鳍内血液流动时，看到如图所示的三种血管。

下列叙述错误的是（ ）A．①是毛细血管，判断依据是红细胞单行通过B．②是小动脉，判断依据是血液由主干流向分支血管C．血管中的血流速度由快到慢依次是③①②D．为了便于观察，应选择尾鳍色素少、活力强的小鱼7．（1分）关于哺乳动物心脏结构，下列叙述错误的是（ ）A．心房位于心室的上方B．左心室壁最厚C．心房与心室之间存在动脉瓣D．心脏左右不相通8．（1分）长跑锻炼时，心率和呼吸频率增加，更多氧气进入肌肉细胞。

下列相关叙述错误的是（ ）A．心脏为血液循环提供动力，心率增加使血液循环加快B．氧气进入肺泡处毛细血管，与红细胞的血红蛋白结合C．氧气从右心室出发，进入主动脉，经各级动脉最终到达肌肉细胞D．血液经过体循环，血液成分由动脉血变为静脉血9．（1分）将萌发的种子置于密闭的瓶中。

北京市朝阳区2012~2013学年第一学期期末统一考试八年级数学试卷2013.1 （考试时间90分钟满分100分）成绩一、选择题：（本题共24分，每小题3分）以下每个题中，只有一个选项是符合题意的.请把符合题意的选项的英文字母填在下面相应的表格中.1.下列图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2.点M（3，－4）关于x轴的对称点的坐标是A.（3，4）B.（－3，－4）C.（－3，4）D.（－4，3）3.下列命题中，正确的是A.三条边对应相等的两个三角形全等B.周长相等的两个三角形全等C.三个角对应相等的两个三角形全等D.面积相等的两个三角形全等4.如图，AD是△ABC的角平分线,从点D向AB、AC两边作垂线段，垂足分别为E、F，那么下列结论中错误．．的是A．DE=DF B．AE=AFC．BD=CD D．∠ADE=∠ADF5.下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是A. ayaxyxa+=+)( B. 4)4(442+-=+-xxxxC. xxxxx3)4)(4(3162+-+=+- D. )12(55102-=-xxxx6.若分式112--xx的值为0，则应满足的条件是A. x≠1B. x＝－1C. x＝1D. x＝±1（第4题）7.已知一次函数y=kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则这个函数的大致图象是A．B．C．D．8.如图，点P是等边△ABC边上的一个作匀速运动的动点，它由点A开始沿AB边运动到点B，再沿BC边运动到点C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的函数关系式的大致图象是ACBA．B．C．D．二、填空题:（本题共21分，每小题3分）9.一种细菌半径是0.000 012 1米, 将0.000 012 1用科学记数法表示为．10.计算：()aaa2262÷-= ．11.如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是_______________．12.函数21-=xy中，自变量x的取值范围是．13.若一次函数)1()2(++-=mxmy的图象与y轴正半轴相交，则m的取值范围是．14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，CD＝2，则BC＝．15.观察下列各式：,2222+=⨯,323323+=⨯,434434+=⨯,545545+=⨯……用含有字母n (其中n为正整数)的等式表示你发现的规律：．EDCBA（第14题）三、作图题: （本题4分）16.电信部门要修建一座电视信号发射塔.如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A ，B 的距离必须相等，到两条高速公路m 和n 的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？在图中标出它的位置.（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）四、解答题：（本题共51分，第17、18题每小题4分，第19-24题每小题5分，第25题7分，第26题6分）17.分解因式：222an amn am +-．18.先化简，再求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x xx ，其中x ＝－2．19.解方程：211x x x-=-．20.如图，点B ，E ，F ，C 在一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：∠A ＝∠D ．21.如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，若∠ABE ＝40°，BE =DE ，求∠CED 的度数．（第21题）EDCA（第16题）（第20题）F E DC BA22.某学校组织七、八年级的学生到离校15千米的植物园春游，两个年级的学生同时出发，八年级学生的速度是七年级学生速度的1.2倍，结果八年级学生比七年级学生早到半小时，求七年级学生的速度．23.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点C 是第一象限内的直线上的一个点，且△BOC 的面积为2，求点C 的坐标.24.请阅读并回答问题：在解分式方程1113122-=--+x x x 时，小跃的解法如下： 解：方程两边同乘以)1)(1(-+x x ，得 13)1(2=--x . ① 1312=--x . ② 解得 25=x . 检验：25=x 时，0)1)(1(≠-+x x ， ③ 所以25=x 是原分式方程的解. ④ (1) 你认为小跃在哪里出现了错误 （只填序号）；(2) 针对小跃解分式方程时出现的错误和解分式方程中的其它重要步骤，请你提出至少三个改进的建议.25.已知直线y =-2x -4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 在x 轴负半轴上，AC =2. （1）点P 在直线y =-2x -4上，△P AC 是以AC 为底的等腰三角形， ①求点P 的坐标和直线CP 的解析式；②请利用以上的一次函数解析式，求不等式-x -2>x +4的解集.（2）若点M (x ,y )是射线AB 上的一个动点，在点M 的运动过程中，试写出△BCM 的面积S与x 的函数关系式，并画出函数图象.（第23题）26.如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，（1）求证：△ABP是等腰三角形；（2）连接PC,当∠PCB=30°时，求∠PBC的度数.（第26题）北京市朝阳区2012~2013学年第一学期期末统一考试八年级数学试卷参考答案和评分标准 2013.1一、选择题：（本题共24分,每小题3分）二、填空题：（本题共21分，每小题3分）9. 51021.1-⨯ 10．13-a 11．80°或20° 12．2≠x 13．21≠->m m 且14. 6 15.()()1111+++=+⋅+n nn n n n （注明： 第11题和第13题丢一个答案每小题扣1分） 三、作图题：（本题4分）16.建在线段AB 的垂直平分线和m 、n 的交角的角平分线的交点处. （注明： 正确画出垂直平分线和角平分线各给1分，标明交点1分，写出结论1分）四、解答题：（本题共51分，第17、18题每小题4分，第19-24题每小题5分，第25题7分，第26题6分）17. 解: 原式22(2)a m mn n =-+ ………………………………………………………2分2()a m n =-. .………………………………………………………………… 4分18.解：原式21111x x x x-+-=⋅- ………………………………………………………… 2分 (1)(1)1x x x x x-+=⋅- 1x =+. ………………………………………………………………………3分当x ＝－2时，原式＝－2＋1=－1. ……………………………………………4分 19.解：方程两边同乘(1)x x -，得22(1)(1)x x x x --=-. ………………………………………………………2分2222x x x x -+=-. ……………………………………………………………3分2x -=-.2x =. ……………………………………………………………………4分检验：2x =时，(1)0x x -≠，所以2x =是原分式方程的解． ………………5分20.证明：∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +FE ， 即BF =CE. .…………………………… 1分在△ABF 和△DCE 中，AB ＝DC ， ∠B ＝∠C ，BF =CE ， . ……………………………………………………… 3分 ∴△ABF ≌△DCE （SAS ）. ……………………………………………………4分 ∴∠A =∠D . ………………………………………………………………………5分21.解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ………………………………1分∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE =60°－40°＝20°. .…………………2分 ∵BE =DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°. .……………………………………………… 4分 ∴∠CED =∠ACB －∠D ＝40°. .………………………………………………… 5分22.解：设七年级学生的速度为x 千米/时,则八年级学生的速度为1.2x 千米/时. ……………………………………………1分 依题意,得212.11515=-x x . ……………………………………………………2分 解得 x =5. ………………………………………………………3分 经检验，x =5是原方程的解. ……………………………………………………4分 答：七年级学生的速度为5千米/时. .………………………………………………5分 23.解：（1）设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y ,∵直线AB 经过点A （1，0），点B （0，－2）， ∴0,2,k b b +=⎧⎨=-⎩ …………………………………………………………………2分解得2,2.k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为22-=x y . .……………3分 (2) ∵△BOC 的面积为2，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ， ∴CD =2.又∵点C 在第一象限内，∴点C 的横坐标是2. …4分 代入22-=x y ，得到点C 的纵坐标是2. ∴点C 的坐标是（2，2）. ………………………5分（第23题）24.(1) ① ②. …………………………………………………2分(2)需根据第一问中的两个错处给出改进建议, 每个建议1分,酌情给分；第三个建议必须谈到对检验步骤的必要性和按上文中所写检验格式的弊端,否则扣掉1分.25.解：（1）由一次函数y =-2x -4与x 、y 轴交于A 、B 两点，可得A （-2，0），B （0，-4） ∵AC =2，点C 在x 轴的负半轴上，∴C （-4，0）. ∵△PAC 是以AC 为底的等腰三角形， ∴由3,24,x y x =-⎧⎨=--⎩解得3,2.x y =-⎧⎨=⎩∴P （-3，2）. ………………………………………………………………………………1分 ∴直线PC 的解析式为y =2x +8. …………………………………………………………2分 （2）由-x -2>x +4可得-2x -4>2x +8.令y 1=-2x -4，y 2=2x +8，当y 1> y 2时，由图象可知x <-3. …………………………………3分 ∴不等式-x -2>x +4的解集是x <-3. （3）当点M 在线段AB 上时, ()()022424221<≤--=--⨯⨯=x x x S ; ……………4分 当点M 在线段AB 的延长线上时, ()()02442221>=-+⨯⨯=x x x S . ………………5分综上，⎩⎨⎧><≤--=.)0(2),02(2x x x x S…………………………………………7分26.(1)证明：在△PAB 中，∵∠BAP ＝70°，∠ABP ＝40°， ∴∠APB ＝180°-∠BAP -∠ABP ＝70°. ∴∠APB ＝∠BAP ＝70°.∴AB ＝BP ，即△ABP 是等腰三角形. ………………………………………………1分 (2)以BC 为边作等边△BCE ,连接EA 并延长交BC 于点M , 则EB =EC =BC ，∠BEC ＝∠EBC ＝∠BCE ＝60°.∵EB =EC ，∴点E 在BC 的中垂线上. 同理点A 也在BC 的中垂线上. ∴EM ⊥BC 且BM =21BC . ………………………………2分 延长CP 交BE 于点N .∵∠BCE ＝60°，∠PCB ＝30°，∴∠PCE ＝30°.∴∠PCB ＝∠PCE . 又∵等边△BCE ，∴CN ⊥BE 且BN =21BE . ∴BM = BN. ……………………………………………3分 在Rt △AMB 和Rt △PNB 中，BM =BN ，AB =BP ， ∴Rt △AMB ≌Rt △PNB （HL ）. ∴AM =PN . ∵EM =CN ， ∴EM -AM =CN -PN .即EA =CP . ……………………………………………4分 在△ABE 和△PBC 中，AB =BP ， BE =BC ，EA =CP ， ∴△ABE ≌△PBC （SSS ）.∴∠ABE =∠PBC. ………………………………………5分 ∵∠ABP =40°， ∴∠PBC =21(∠EBC-∠ABP )=10°. ………………………6分 （说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分）（第26题）。

2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（2，﹣3）2．4的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．16D ．±163．下列调查方式，最适合全面调查的是（ ）A ．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B ．了解某班学生一分钟跳绳成绩C ．了解北京市中学生视力情况D ．调查某批次汽车的抗撞击能力4．若{x =2y =1是关于x ，y 的二元一次方程x +my ＝5的解，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．75．实数a ，b 对应的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．﹣2a ＜﹣2bC ．a +5＜0D ．a +4＜b +46．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为点O ．若∠COE ＝40°，则∠BOD 的度数为（）A ．140°B ．60°C ．50°D ．40°7．如图，在数轴上，与表示√2的点最接近的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N8．已知二元一次方程组{x +2y =8，2x +y =−5，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1 D ．39．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x 千克，则x 的取值范围是（ ）A ．280＜x ≤350B ．280＜x ≤400C ．330＜x ≤350D ．330＜x ≤40010．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；③2018﹣2022年进口额年增长率持续下降；④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分11．“m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为．12．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是．13．北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为（0，﹣1），表示王府井的点的坐标为（1，﹣1），则表示永定门的点的坐标为．14．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是．15．如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝°．16．如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是 平方米．17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺，可列方程组为 ．18．在平面直角坐标系xOy 中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．如图，△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4．（1）图中格点四边形DEFG 对应的S 为 ；（2）已知格点多边形的面积可以表示为S ＝aN +bL ﹣1，其中a ，b 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝ ．三、解答题（本题共54分，第19-23题每小题5分，第24题4分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．计算：√4+√−643−√(−3)2+|√3−1|．20．解方程组{3x +2y =192x −y =1． 21．解不等式组：{5x −1＞3(x +1)1+2x 3≥x −1，并求出它的整数解． 22．请将下面的证明过程补充完整：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝40°，∠BAD ＝80°，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，求证：AE ∥DC ．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴∠DAE=12∠BAD=40°（理由：）．∵AD∥BC（已知），∴＝∠DAE＝40°（理由：）．∵∠BCD＝40°（已知），∴∠BCD＝（等量代换）．∴AE∥DC（理由：）．23．一个数值转换器如图所示：（1）当输入的x值为16时，输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为；（3）若输出的y值是√5，请直接写出两个满足要求的x的值．24．（4分）如图．三角形ABC的顶点坐标分别为A（﹣1.4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若将三角形ABC 向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A'B'C'，其中点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点．（1）画出三角形A'B'C'；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（，）；（3）若点D在y轴上且三角形BOD的面积为4，直接写出点D的坐标．25．如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．月均用水量频数分布表请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）表中a的值为，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是°；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？26．（6分）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α．（1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝°；（2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD 于点N．①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系；②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）．27．（7分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），点Q（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3．（1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点．①若d（A，B）＝3，求点B的坐标；②d（A，B）的最小值为；③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．（2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围．2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（2，﹣3）解：如图，小手盖住的点的坐标可能为（2，﹣3），故选：D ．2．4的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．16D ．±16解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：A ．3．下列调查方式，最适合全面调查的是（ ）A ．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B ．了解某班学生一分钟跳绳成绩C ．了解北京市中学生视力情况D ．调查某批次汽车的抗撞击能力解：A 、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A 不符合题意；B 、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B 符合题意；C 、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C 不符合题意；D 、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D 不符合题意；故选：B ．4．若{x =2y =1是关于x ，y 的二元一次方程x +my ＝5的解，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 解：将{x =2y =1代入原方程得：2+m ＝5，解得：m ＝3，∴m 的值为3． 故选：B ．5．实数a，b对应的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．a2＜b2B．﹣2a＜﹣2b C．a+5＜0D．a+4＜b+4解：根据图示，可得：a＜b且﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，∵﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，∴16＜a2＜25，9＜b2＜16，∴a2＞b2，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴选项B不符合题意；∵﹣5＜a＜﹣4，∴a+5＞0，∴选项C不符合题意；∵a＜b，∴a+4＜b+4，∴选项D符合题意．故选：D．6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点O．若∠COE＝40°，则∠BOD的度数为（）A．140°B．60°C．50°D．40°解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝40°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选：C．7．如图，在数轴上，与表示√2的点最接近的点是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N解：∵1＜√2＜2，∴与表示√2的点最接近的点是点Q，故选：B．8．已知二元一次方程组{x +2y =8，2x +y =−5，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1 D ．3解：{x +2y =8①2x +y =−5②， ①+②得：3x +3y ＝3，解得：x +y ＝1，故选：C ．9．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x 千克，则x 的取值范围是（ ）A ．280＜x ≤350B ．280＜x ≤400C ．330＜x ≤350D ．330＜x ≤400解：根据题意得：{x +50≤400x +50+70＞400，解得：280＜x ≤350． 故选：A ．10．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；③2018﹣2022年进口额年增长率持续下降；④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④解：①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额为14.3万亿元，进口额的年增长率为1.4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①结论正确，符合题意；②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是2022年，为18.1万亿元，故②结论正确，符合题意；③由折线图可知，2018﹣2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，故③结论错误，不符合题意；④由条形图可知，与2021年相比，2022年出口额增加了24.0﹣21.7＝2.3万亿元，故④结论正确，符合题意；故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分11．“m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为5+2m＞0．解：m的2倍为2m，5与m的2倍的和写为5+2m，和是正数，则5+2m＞0，故答案为：5+2m＞0．12．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短．解：∵垂线段最短，∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．故答案为：垂线段最短．13．北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为（0，﹣1），表示王府井的点的坐标为（1，﹣1），则表示永定门的点的坐标为（0，﹣7）．解：永定门的点的坐标为（0，﹣7），故答案为：（0，﹣7）．14．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是π．解：∵圆的周长为＝1×π＝π，∴圆从原点沿数轴向右滚动一周经过的路径长OO′＝π，∴O′点对应的数是π．故答案为：π．15．如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝ 40 °．解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，∵∠1＝20°，∠1+∠3＝60°，∴∠3＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝40°．故答案为：40．16．如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是 81 平方米．解：（10﹣1）×（10﹣1）＝9×9＝81（平方米）．故种植花草的面积是81平方米．故答案为：81．17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺，可列方程组为 {x −y =4.5y −12x =1． 解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，∴x ﹣y ＝4.5；∵将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，∴y −12x ＝1．∴根据题意可列方程组{x −y =4.5y −12x =1． 故答案为：{x −y =4.5y −12x =1． 18．在平面直角坐标系xOy 中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．如图，△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4．（1）图中格点四边形DEFG 对应的S 为 3 ；（2）已知格点多边形的面积可以表示为S ＝aN +bL ﹣1，其中a ，b 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝ 79 ．解：（1）过G 点作MH ⊥ED 延长线于点H ，过E 作NE ⊥DE ，过F 点作MN ∥x 轴，交MH 于点M ，交NE 于点N ，则HD ＝1，GH ＝1，GM ＝1，MF ＝1，FN ＝2，NE ＝2，MH ＝2，HE ＝3，∴S 矩形MNEH ＝MH ×MN ＝2×3＝6，S △GHD =12×GH ×HD =12×1×1=12， S △GMF =12×MG ×MF =12×1×1=12，S △FNE =12×FN ×NE =12×2×2＝2， ∴S 四边形DEFG ＝S 矩形MNEH ﹣S △GHD ﹣S △GMF ﹣S △FNE ＝6−12−12−2＝3．故答案为：3．（2）对于四边形DEFG ，S ＝3，N ＝1，L ＝6，由题意知，{1=a ×0+4b −13=a +6b −1，解得，{a =1b =12， ∴S ＝aN +bL ﹣1＝1×71+12×18﹣1＝79，故答案为：79．三、解答题（本题共54分，第19-23题每小题5分，第24题4分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．计算：√4+√−643−√(−3)2+|√3−1|．解：√4+√−643−√(−3)2+|√3−1|=2+(−4)−3+√3−1 =√3−6．20．解方程组{3x +2y =192x −y =1． 解：{3x +2y =19①2x −y =1②， 由②得：y ＝2x ﹣1③，把③代入①得：3x +2（2x ﹣1）＝19，即x ＝3，把x ＝3代入③得：y ＝5，则方程组的解为{x =3y =5． 21．解不等式组：{5x −1＞3(x +1)1+2x 3≥x −1，并求出它的整数解． 解：解不等式①，得 x ＞2，解不等式②，得x ≤4，故原不等式组的解集为2＜x ≤4．故它的整数解为x ＝3或4．22．请将下面的证明过程补充完整：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝40°，∠BAD ＝80°，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，求证：AE ∥DC ．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴∠DAE =12∠BAD =40°（理由： 角平分线的定义 ）．∵AD ∥BC （已知），∴ ∠AEB ＝∠DAE ＝40°（理由： 两直线平行，内错角相等 ）．∵∠BCD ＝40°（已知），∴∠BCD ＝ ∠AEB （等量代换）．∴AE ∥DC （理由： 同位角相等，两直线平行 ）．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴∠DAE =12∠BAD =40°（理由：角平分线的定义）．∵AD ∥BC （已知），∴∠AEB ＝∠DAE ＝40°（理由：两直线平行，内错角相等）．∵∠BCD ＝40°（已知），∴∠BCD ＝∠AEB （等量代换）．∴AE ∥DC （理由：同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；∠AEB ；两直线平行，内错角相等；∠AEB ；同位角相等，两直线平行．23．一个数值转换器如图所示：（1）当输入的x 值为16时，输出的y 值是 √2 ；（2）若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，则所有满足要求的x 的值为 0和1 ；（3）若输出的y 值是√5，请直接写出两个满足要求的x 的值．解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，∴2的算术平方根是√2，是无理数，输出√2，故答案为：√2（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，∴当x ＝0和1时，始终输不出y 的值；故答案为：0和1；（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是√5，∴若输出的y值是√5，满足要求的x的值为5和25．24．（4分）如图．三角形ABC的顶点坐标分别为A（﹣1.4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若将三角形ABC 向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A'B'C'，其中点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点．（1）画出三角形A'B'C'；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（a+4，b﹣3）；（3）若点D在y轴上且三角形BOD的面积为4，直接写出点D的坐标．解：（1）如图，三角形A'B'C'即为所求；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（a+4，b﹣3）；故答案为：a+4，b﹣3；（3）设点D（0，m）．则有12×4×|m|＝4，∴m＝±2，∴点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．25．如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．月均用水量频数分布表请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）表中a的值为14，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是36°；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？解：（1）C的频数为：a＝50×28%＝14，补全频数分布直方图如下：故答案为：14；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是：360°×550=36°；故答案为：36；（3）要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：因为月平均用水量不超过5吨的百分比为8%+24%+28%＝60%．26．（6分）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α．（1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝60°；（2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD 于点N．①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系；②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）．解：（1）∵AB∥CD，∴∠KFB＝∠FED＝α，∵∠AFK+∠KFB＝180°，∴∠AFK＝180°﹣∠KFB＝180°﹣α，∵FG平分∠AFK，∴∠GFK=12∠AFK=12(180°−α)∵α＝60°，∴∠GFK=12(180°−α)=12(180°−60°)=60°．（2）①∠BMP与∠PNE的数量关系是：∠BMP﹣∠PNE＝90°．理由如下：延长MP交CD于点Q，∵AB∥CD，∴∠BMP+∠PQN＝180°，∵PN⊥PM，∴∠MPN＝90°，∴∠PQN+∠PNE＝∠MPN＝90°，∴∠PQN＝90°﹣∠PNE，∴∠BMP+90°﹣∠PNE＝180°，∴∠BMP﹣∠PNE＝90°．②∠PNE的度数为：90°−12α或12α．理由如下：∵∠MPN的一边恰好与射线FG平行，∴有以下两种情况，（ⅰ）当PN与射线FG平行时，设∠PNE＝θ，延长NP∠AB于点H，∵AB ∥CD ，∴∠PHF ＝∠PNE ＝θ，∠PFH ＝∠FED ＝α，∵PN ∥FG ，∴∠HPF ＝∠GFK ，由（1）可知：∠GFK =12(180°−α)，∴∠HPF =12(180°−α)，∵∠PHF +∠PFH +∠HPF ＝180°，∴θ+α+12(180°−α)=180°，∴θ=90°−12α，∴∠PNE =θ=90°−12α，（ⅱ）当PM 与射线FG 平行时，∵PM ∥FG ，∴∠MPF =∠GFK =12(180°−α)，∵PN ⊥PM ，∴∠MPN ＝90°，∴∠MPF +∠NPE ＝90°，∴∠NPE =90°−∠MPF =90°−12(180°−α)=12α，∵∠FPD ＝∠NPE +∠PNE ，∴∠PNE =∠FPD −∠NPE =α−12α=12α．27．（7分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A 、B 两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：（1）求A 、B 两种材质的围棋每套的售价．（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A 、B 两种材质的围棋共30套，求A 种材质的围棋最多能采购多少套？（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由． 解：（1）设A 种材质的围棋每套的售价为x 元，B 种材质的围棋每套的售价为y 元，根据题意得：{3x +5y =18004x +10y =3100， 解得：{x =250y =210． 答：A 种材质的围棋每套的售价为250元，B 种材质的围棋每套的售价为210元；（2）设采购A 种材质的围棋m 套，则采购B 种材质的围棋（30﹣m ）套，根据题意得：200m +170（30﹣m ）≤5400，解得：m ≤10，∴m 的最大值为10．答：A 种材质的围棋最多能采购10套；（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，理由如下：根据题意得：（250﹣200）m +（210﹣170）（30﹣m ）＝1300，解得：m ＝10，又∵m ≤10，∴m ＝10符合题意，∴在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x 1，y 1），点Q （x 2，y 2），定义|x 1﹣x 2|与|y 1﹣y 2|中的值较大的为点P ，Q 的“绝对距离”，记为d （P ，Q ）．特别地，当|x 1﹣x 2|＝|y 1﹣y 2|时，规定d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|，例如，点P （1，2），点Q （3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P ，Q 的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d （P ，Q ）＝3．（1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点．①若d（A，B）＝3，求点B的坐标；②d（A，B）的最小值为1；③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．（2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围．解：（1）设B（x，0），①∵|0﹣1|＝1≠3，∴|x﹣0|＝3，∴x＝±3，∴B点的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．②当x＜﹣1或x＞1时，|x﹣0|＞|0﹣1|，∴d（A，B）＝|x|＞1；当﹣1≤x≤1时，|x﹣0|≤|0﹣1|＝1，∴d（A，B）＝1，综上所述，d（A，B）的最小值为1．故答案为：1．③r＝4．由题意知，点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，∵正方形面积为64，∴正方形的边长为8，即2r＝8，∴r＝4．（2）由题意知，当M点在矩形DFEG内（含边）内运动时，d（D，M）+d（E，M）＝5．∴﹣2≤m≤3．。