2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第48讲圆的方程课件理

4＋2D＋F＝0，
F＝0.
方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故
所求圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即 x2＋y2－2x＝0.
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
3．(P121 练习 T3 改编)圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1,2)，B(1，4)，则圆 C 的标准方程为____x2_＋__(_y_－__3_)2_＝__2___.
考点二 与圆有关的轨迹问题
师生 共研
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平 行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标 为2x，2y，线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
是
(B)
A．R
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
解析 由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示 圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).
6．(2019·河北邯郸月考)圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x＋3 的距离为
故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3.
考点三 与圆有关的最值问题
已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
师生 共研
解 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆． (1) yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即 y＝kx.当直线 y ＝kx 与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时|2kk2－＋01|＝ 3，解得 k＝± 3(如图 1)． 所以yx的最大值为 3，最小值为－ 3.

(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：设点M(x，y)，C(x0，y0)，因为点B(3，0)，M是线段BC的中点，所以x＝
x0 +3
y0 +0
＝4.故选B.
3
(2)设圆C圆心在射线y＝ x(x≤0)上，半径为5，且经过坐标原点的圆
4
的方程为(
)
A．x2＋y2－8x－6y＝0
B．x2＋y2－6x－8y＝0
C．x2＋y2＋8x＋6y＝0
D．x2＋y2＋6x＋8y＝0
答案：C
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2已知直角三角形ABC的斜边为AB，且点A(－1，0)，B(3，0)．
(1)求直角顶点C的轨迹方程；
解析：设点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
又AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
y
y
又kAC＝ ，kBC＝ ，
x+1
x−3
y
y
所以 · ＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.故直角顶点C的轨迹方程为x2 ＋y2
x+1 x−3
－2x－3＝0(y≠0)．
关键能力·题型剖析
题型一 圆的方程
例1 (1)若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝
0上，则圆C的方程为(
)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝4
B．(x－2)2＋(y－3)2＝8
C．(x－3)2＋(y－6)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝2
D．(x－3)2＋(y－6)2＝10
答案：A
(2)[2024·江西吉安模拟]请写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋

考点48 圆的一般方程圆的一般方程的定义（1）当 D 2＋E 2－4F >0 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为()22D E --，，半径为 （2）当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点()22D E --，． （3）当 D 2＋E 2－4F <0 时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．【例】已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程．②当PP 1、PP 2的斜率有一个不存在时，有x =4或x =6，这时点P 的坐标是（4，3）或（6，9），它们都满足方程①．又P1（4，9）、P2（6，3）两点坐标也满足方程①，∴所求圆的方程为（x–5）2+（y–6）2 =10．解法三：设P（x，y）是圆上任意一点，则|PP1|2+|PP2|2=|P1P2|2．（x–4）2+（y–9）2+（x–6）2+（y–3）2=（4–6）2+（9 –3）2．化简，得x2 +y2–10x–12y+51 =0．即（x–5）2+（y–6）2 =10为所求圆的方程．【秒杀技】一般地，以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0，此结论被称为圆的直径式方程．此结论在解题时要注意灵活运用，可给解题带来许多方便．1．圆x2+y2+10x=0的圆心坐标和半径长分别是（）A．（–5，0），5 B．（5，0），5C．（0，–5），5 D．（0，–5），25【答案】A【解析】因为x2+y2 +10x=（x+5）2+y2–25=0，所以圆的方程为（x+5）2+y2=25．由圆的标准方程可知圆心为（–5，0），半径长为5．2．方程x2+y2+2ax–2y+a2+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a<1C．a>1 D．0<a<1【答案】B【解析】由D2+E2–4F>0，得（2a）2+（–2）2–4（a2+a）>0，即4–4a>0，解得a<1．故选B．【解题技巧】圆的一般方程必须满足D2 +E2–4F >0的条件，确定圆的一般方程，需要确定D、E、F三个未知数．3．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在( )A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外【答案】B4．若圆x 2+y 2–2x –4y =0的圆心到直线x –y +a =0，则a 的值为（ ） A ．–2或2B ．12或32C ．2或0D ．–2或0【答案】C 【解析】把圆x 2+ y 2–2x –4y =0化为标准方程为（x –1）2+（y –2）2=5，故圆心坐标为（1，2），由圆心到直线x –y +a =0，所以a =2，或a =0． 5．已知定点A （a ，2）在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，则a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫2，946．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．【解析】解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|． 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|．【规律总结】（1）形如x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．（2）在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)【答案】D【解析】r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大． 2．若方程x 2+ y 2+Dx +Ey +F =0表示以（2，–4）为圆心，4为半径的圆，则F =_______．【答案】4【解析】方程（x –2）2+（y +4）2=16展开得x 2+y 2–4x +8y +4=0， ∴F =4．3．已知圆的方程是x 2+ y 2+2x –4y –10=0，那么过点（2，5）且经过圆心的直线的方程为_______． 【答案】x –y +3=04．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．【解析】圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2．① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20．②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0，－E2>0即E <0．则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．石拱桥石拱桥的弧形是圆的一部分。

典例精析
课堂练习
课后练习
12
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
一、将下列圆的方程化成圆的标准方程，并说出圆心坐标和半径 1. x2＋2x＋y2＋3y＋1＝0 【解】 (x＋1)2＋y＋32 2＝94 ，圆心坐标－1，－32 ，半径32 ． 2. x2－5x＋y2＋6y＋3＝0
【解】 x－52 2＋(y＋3)2＝449 ，圆心坐标52，－3 ，半径72 .
－4)2＋(y－2)2＝4 上的动点，若∠PAQ 的最大值为 60°，则点 A 的坐标可以
是( )
A. (4，6)
B． (2，8)
C. (6，4)
D．(8，2)
34
知识梳理
典例精析
课堂练习
【解析】 点 A 是直线 l：x＋y－10＝0 上一定点， 点 P，Q 是圆 C：(x－4)2＋(y－2)2＝4 上的动点，如图： 圆的半径为 2，所以直线上的 A 到圆心的距离为 4，
10
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
例 3 过点 P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为( )
A. 3x＋4y－4＝0
B. 4x－3y＋4＝0
C. x＝2 或 4x－3y＋4＝0
D. y＝4 或 3x＋4y－4＝0
【解】 当斜率不存在时，x＝2 与圆相切；当斜率存在时，设斜率为 k，
7
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
(3)由题设，直线到圆心的距离大于圆的半径，于是1＋a22a＋＋1a ＞1，解 得 a＞0 或 a＜－34 .
8
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习