高考中的圆锥曲线问题

第 1 页 共 6 页 高考中的圆锥曲线问题

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是 ( )

A.𝑥212-y2=1 B.x2-𝑦23=1 C.𝑥29-𝑦23=1 D.𝑥223-𝑦232=1

2.设F1,F2是双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,𝑆△𝑃𝐹2𝐹1=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )

A.π5 B.π4 C.π6 D.π3

3.已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是 ( )

A.[√22,1) B.(0,√32] C.[√32,1) D.(0,√22]

4.已知M,N为双曲线𝑥24-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[12,2],则直线PN的斜率的取值范围是 ( )

A.(18,12) B.[-12,-18] C.[18,12] D.[-12,-18]∪[18,12]

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知离心率为√22的椭圆C:𝑥22+𝑦2𝑏2=1(0

6.在平面直角坐标系xOy中,抛物线Γ:x2=my(m≠0)的焦点为F,准线为l,A,B是Γ上两个不同的动点,且∠AFB=θ(θ为常数),2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点M作l的垂线,垂足为N,若|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,实数λ的最小值为√2-√3,则tan θ的值为 .

三、解答题(共48分)

7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√32,且过点P(2,-1).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值.

第 2 页 共 6 页

图5-1

8.(12分)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-√6,0), 且过点T(√6,√22).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围.

9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB面积的最小值为16.

(1)求抛物线的方程;

(2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由.

图5-2

10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l与线段CB的交点为P.

(1)求点P的轨迹Γ的方程;

(2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D两点,求|𝐷𝐸||𝑄𝑀|的取值范围.

第 3 页 共 6 页 答案

1.B 由题意得𝑏𝑎=tan 60°=√3,又双曲线C过点(√2,√3),所以(√2)2𝑎2-(√3)2𝑏2=1,联立方程得{𝑏𝑎=√3,2𝑎2-3𝑏2=1,解得{𝑎2=1,𝑏2=3,所以双曲线C的标准方程是x2-𝑦23=1,故选B.

2.D 由题意知{|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=16,12|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=3,化简得(|PF1|-|PF2|)2=4,结合图形(图略),可得|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1,b=√22-12=√3,所以渐近线方程为y=±√3x,所以双曲线的两条渐近线的夹角为π3,故选D.

3.A 由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c≥b,则 c2≥b2=a2-c2,所以2c2≥a2,所以1>e≥√22,故选A.

4.C 设M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(m,n)(m≠±x0),则kPM=𝑛-𝑦0𝑚-𝑥0,kPN=𝑛+𝑦0𝑚+𝑥0.因为点P,M,N均在双曲线𝑥24-y2=1上,所以𝑚24-n2=1,𝑥024-𝑦02=1,两式相减得(𝑚-𝑥0)(𝑚+𝑥0)4-(n-y0)(n+y0)=0,化简得𝑛-𝑦0𝑚-𝑥0·𝑛+𝑦0𝑚+𝑥0=14,即kPM·kPN=14,又12≤kPM≤2,即12≤14𝑘𝑃𝑁≤2,解得18≤kPN≤12,故选C.

5.2 由椭圆C的长半轴长a=√2,离心率e=𝑐𝑎=𝑐√2=√22,知c=1,所以b=√𝑎2-𝑐2=1,所以椭圆C的方程为𝑥22+y2=1,所以 A(0,1).设P(x,y),由两点间的距离公式可得|PA|=√𝑥2+(𝑦-1)2=√2-2𝑦2+𝑦2-2𝑦+1=√4-(𝑦+1)2, 因为-1≤y≤1,所以当y=-1时,|PA|取得最大值2.

6.√33 因为2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2,所以M为线段AB的中点.设|AF|=x,|BF|=y,根据抛物线的定义,知|MN|=𝑥+𝑦2,因为|AB|2=x2+y2-2xycos θ,且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以λ2=(|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

||𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |2|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=𝑥2+𝑦2-2𝑥𝑦cos𝜃𝑥2+𝑦2+2𝑥𝑦4=4(1-2+2cos𝜃𝑥𝑦+𝑦𝑥+2)≥4(1-2+2cos𝜃4)=2-2cos θ,当且仅当𝑥𝑦=𝑦𝑥时取等号.因为λ的最小值为√2-√3,所以2-2cos θ=(√2-√3)2,解得cos θ=√32,又0

tan

θ=√33.

7.(1)因为椭圆C的离心率为𝑐𝑎=√32,所以𝑎2-𝑏2𝑎2=34,即a2=4b2,

所以椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2,

又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,a2=8,

第 4 页 共 6 页 所以椭圆C的标准方程为𝑥28+𝑦22=1. (4分)

(2)由题意,知直线PA,PB的斜率均存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2)(k≠0),

联立方程,得{𝑥2+4𝑦2=8,𝑦=𝑘(𝑥-2)-1,

消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0, (6分)

所以2x1=16𝑘2+16𝑘-41+4𝑘2,即x1=8𝑘2+8𝑘-21+4𝑘2,

因为直线PQ平分∠APB,且PQ与x轴平行,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数,

设直线PB的方程为y+1=-k(x-2)(k≠0),同理可得x2=8𝑘2-8𝑘-21+4𝑘2. (9分)

又{𝑦1+1=𝑘(𝑥1-2),𝑦2+1=-𝑘(𝑥2-2),所以y1-y2=k(x1+x2)-4k,

即y1-y2=k(x1+x2)-4k=k·16𝑘2-41+4𝑘2-4k=-8𝑘1+4𝑘2,x1-x2=16𝑘1+4𝑘2.

所以直线AB的斜率kAB=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-8𝑘1+4𝑘216𝑘1+4𝑘2=-12,为定值. (12分)

8.(1)解法一 依题意得{𝑎2-𝑏2=6,6𝑎2+12𝑏2=1,解得{𝑎2=8,𝑏2=2, (2分)

所以椭圆C的方程为𝑥28+𝑦22=1. (4分)

解法二 依题意得c=√6,2a=√[√6-(-√6)]2+(√22-0)2+

√(√6-√6)2+(√22-0)2=4√2, (2分)

所以a=2√2,于是b2=a2-c2=2,

所以椭圆C的方程为𝑥28+𝑦22=1. (4分)

(2)由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k.

①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0(-√2

所以S=12|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2√𝑦02·(2-𝑦02)≤2·𝑦02+(2-𝑦02)2=2,当且仅当𝑦02=2-𝑦02,即|y0|=1时取等号,此时0

②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立得{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥28+𝑦22=1,消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0, (7分)

由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2 (*),

则x1+x2=-8𝑘𝑚1+4𝑘2,x1x2=4(𝑚2-2)1+4𝑘2,所以可得AB的中点M(-4𝑘𝑚1+4𝑘2,𝑚1+4𝑘2). (9分)

第 5 页 共 6 页 因为|PA|=|PB|,所以PM⊥AB,所以kPM=𝑚1+4𝑘2+1-4𝑘𝑚1+4𝑘2-0=-1𝑘,化简得1+4k2=3m,结合(*)可得0

又点O到直线l的距离d=|𝑚|√1+𝑘2,|AB|=√1+𝑘2|x1-x2|=4√1+𝑘2·√8𝑘2+2-𝑚21+4𝑘2,

所以S=12|AB|·d=12·4√1+𝑘2·√8𝑘2+2-𝑚21+4𝑘2·|𝑚|√1+𝑘2,

(11分)

即S=23√6𝑚-𝑚2=23√-(𝑚-3)2+9.

所以,当m=3时,S取得最大值2,即0

综上,△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围为(0,2]. (12分)

9.(1)不妨设点A在第二象限,点B在第一象限.

设直线OA:y=kx(k<0),

与抛物线方程联立,化简得x2-2pkx=0,解得x=0或x=2pk,则A(2pk,2pk2),

由于以AB为直径的圆恒过原点O,所以OA⊥OB,

所以直线OB的斜率为-1𝑘,同理可得B(-2𝑝𝑘,2𝑝𝑘2). (2分)

所以S△AOB=12|OA||OB|=12√(4𝑝2𝑘2+4𝑝2𝑘4)(4𝑝2𝑘2+4𝑝2𝑘4)=2p2√2+𝑘2+1𝑘2≥ 4p2,当且仅当k=-1时等号成立.

所以4p2=16,p=2,即抛物线的方程为x2=4y. (6分)

(2)由(1)知y=𝑥24,则y'=𝑥2,kMA=2k,kMB=-2𝑘.

所以直线MA的方程为y-4k2=2k(x-4k),直线MB的方程为y-4𝑘2=-2𝑘(x+4𝑘), (9分)

联立两直线方程,得{𝑦-4𝑘2=2𝑘(𝑥-4𝑘),𝑦-4𝑘2=-2𝑘(𝑥+4𝑘),解得x=2(𝑘2-1)𝑘,y=-4,