数学建模与数学实验课程练习
练习集锦
1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。
4求方程 06/12625.05
.04)(=------=x
x x x f 的模最大的根的近似值（精确到小数
点后两位）。(3.91)
5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度
1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。
(T=901.05s)
6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。
如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取水口位
置(x 取整数)。
(X=4)
7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵
31/52a b P c d e f ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。(3.004)
（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。
8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵
322P ⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最
大特征值。(3.73)
（3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取0.6）。 9考虑下表数据
(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。
（2）用最小二乘法确定经验公式系数。(x y 6.1*8.0=)
10考虑微分方程
(0.2)0.0001(0.4)0.00001dx
x xy dt
dy y xy dt
εε⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
（1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例变化了多少？(2.8%)
11考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-=
（1）解此微分方程。（2）根据下表数据估计参数k 值。(0.31)
12 假设容积为1000003m 的某湖泊已经受到某种物质污染，污染物在湖中分布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是
310(m s
单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。（8.32h ） 13假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留3位有效数字）？（0.0066）
14 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3
个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去A ，C 食堂就餐，C 食堂分别有20%，20%的同学去A ，B 食堂就餐。 （1）建立该问题的数学模型。（2）确定该校3个食堂的大致就餐人
15 已知一阶差分方程100.80.3,
0.6n n y y y +=+=。
（1）求该差分方程平衡点。 （2）求n y 表达式。 16某种群至多只能活3岁，且按年观测的Leilie 矩阵
230.400,00.70L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（1）该种群稳定后年增长率为多少，稳定的年龄结构是什么？ （2）在稳定的条件下，如果想只通过改变3龄组生育率来保持该种群数量上的稳定，请问该龄组生育率应该是多少？（0.71） 17. 某人决定用10万元投资A 、B 、C 、D 四支股票，已知购买时四支股票股价分别为每股10元，15元，30元，95元，股市交易要求购买的每支股票数量以手为单位,至少为1手（1手=100股），四只股票的预期收益率分别为30%,20%,50%和15%，如果希望持有股票数量不超过80手，为了使得收益达到最大，请为他的投资建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。 18小李夫妇曾经准备申请商业贷款20万元用于购房，每月还款880.66元，25年还清。此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款20万元，每半月还款1761.32元，22年还清，但贷款时，应先预付8000元，以后每次按半月还款。小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少3年还款期意味减少还款近3万2千元，而且每月多跑一趟，也不算什么，这家机构的条件还是优惠的。
（1）商业贷款的利率是多少？ （2）分析金融机构的条件是否优
19. 一家油运公司每天具有5000吨的运力，由于油轮货舱容积的限制，公司每天只能运输500003m 的货物，每天可供运输的货物数量如下：
请建立该问题利润最大的优化模型（不需求解） 20. 考虑下图所描述的最短路问题。
（1）给出下图从点1到点7的邻接矩阵。
（2）建立该问题最短路的优化模型。 （3）给出该问题的最优结果。
21考虑下图所描述的最短路问题。
货物
重
量（吨）
体积（3m /吨） 每吨收费
（元）
1 3000 10 220
2 1500 20 250
3 2500 15 150 4
1000
18
200
2
3
4
5
6
7
10
12 9 6 8
7
5
7 9
8
