采样系统

典型的采样控制系统方框 图如图8—1所示。其中，误 差e是时间的连续信号，经过 采样时间为T的采样开关之后， 变成一组脉冲序列e*，脉冲 控制器将离散的误差信号处 理后，得到离散的控制信号， 该信号经保持器变换为连续 信号去控制被控对象。采样 开关每隔时间T开闭一次，每 次闭合时间为ε，则称T为采 样周期，ε为采样时间， ε＜T，f s＝1/T，ωs＝2π/T分别成为采样频率和采样 角频率。这样图8-2 a所示模拟量e被采样后变成了图8-2 b所 示的脉冲序列e*。本图中，采样周期T是固定的，我们称为等 周期采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等， 本书只介绍常用的等周期采样。
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式中 T——采样周期 n——整数 脉冲调制器（采样器）的输出信 号e*(t)可表示为
在控制系统中，当t＜0时。e（t）＝0。因此式（8-2）可 以改写为
对式（8-3）取拉氏变换得
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为了建立 与E(s)的关系，可求周期函数δT（t）的富 氏级数，其复数形式为
式中 ——富氏系数 这样，式（8-2）可以写成下式
§8—5
脉冲传递函数
一、基本概念 在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输 出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定 义为传递函数。 与此相类似，在线性采样系统理论 中，把初始条件为零的情况下系统的 离散输出信号的z变换与离散输入信 号的z变换之比，定义为脉冲传递函 数，或称z传递函数。它是线性采样 系统理论中的一个重要概念。 对于图8-8所示的采样系统，脉冲传递函数为
例8-3 用Z变换求积分环节 为使信息不丢失，需加保持器，即：
的差
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五、Z反变换 和拉氏反变换类似，Z反变换可以表示为
Z反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等， 其中以部分分式法最常用。 例8-3 用部分分式法求 的Z反变换。
解 用部分分式法将E（z）展开为
时，级数收敛，因此上式可以写
用这样的级数求和的方法可以求出典型函数的Z变换，如表 8-1所示。 表8-1典型函数的Z变换
f（t）
F(s) 1
F(z) 1
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若函数是以拉氏变换形式E(s)给出的，则可用部分分式法将 E(s)分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再 查对表8-1，求出Z变换。
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在这种情况下，选择采样频率所依据的最高频率怎么确定 呢?一般可先不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图， 取A（ω）＝0.01，即 时的频率为最大频率ωm， 则采样周期T为
这样选取采样周期，连续信号的信息损失几乎为零，故可 将采样系统看成连续系统来分析，其结果非常近似。当然， 若数字控制器的运算速度较慢，也可按ωm＝10ωc（甚至更低 ，ωc为剪切频率）来确定采样周期，但是，这样有可能使信 号失真严重，系统性能指标变差，因此，要用采样系统分析 方法仔细分析、校正，才能使系统到达较好的性能指标。
对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可 得
式（8-7）表明 是s的周期性函数。通常 的全部 极点均位于s平面的左半平面，因此，将s＝jω代入式（8-7）， 则可以得到e*(t)的频谱，即
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该式反映了离散信号频谱与对应连 续信号频谱之间的关系。设连续信号 频谱为有限带宽频谱，其最大频率为 ωm，如图8-4所示。则采样后离散信 号的频谱如图8-5所示，离散信号的频 谱中，n＝0的部分称为主频谱，它与 连续信号频谱是对应的，另外， 还包含了无穷多个高频频谱，如果采 样频率ωs＞2ωm，则 的主频 谱与高频频谱之间互不重叠，如图85a所示，因此，可以通过图中虚线所 示的低通滤波器，滤掉所有的高频频 谱，只保留主频谱，从而，可以将离 散信号不失真地还原为原来的连续信 号。
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另外，从式（8-7）可以知道，采样后连续信号幅值被乘以 1/T，若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。加入 零阶保持器后连续信号幅值被乘以T，正好和采样引起的幅值 变化相抵消，即系统的等效开环放大倍数不变。
由于当今计算机的价格已经较低，且运算速度很快，所以 工业数字控制系统均采用计算机作为脉冲控制器，其数/模转 换电路就相当于一个零阶保持器，而模/数转换电路就相当于 一个采样开关。计算机控制系统可以取较大的采样频率ωs， 故能很好地复现连续信号，使系统具有优良的性能指标。另 外，计算机控制系统集成度很高，从而提高了系统的可靠性 ，因此，计算机控制系统作为采样控制系统的主流被广泛应 用于各种自动化设备之中。
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为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和 频率特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为
由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取 拉氏变换可得零阶保持器的传递函数为
零阶保持器的频率特性为
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绘出零阶保持器的频率特性如图8-7所示，其幅值随频率增 高而衰减，因此它是一个低通滤波器。但不是理想滤波器， 它除了允许主频谱通过以外，还通过了一部分高频分量。因 此，零阶保特器所复现的信号并不是毫无畸变的，另外，从 相频特性上可以看到，零阶保持器还会产生相位滞后。因此， 零阶保持器的引入会给系统的稳定性带来不利的影响。 除了零阶保持器以外，还可以有一阶、二阶等保持器，但 由于它们实现起来比较复杂，相位滞后比零阶保持器更大， 故很少应用。 采样信号通过零阶保持器后高频分量已大大降低，又考虑 到控制对象一般都具有低通滤波特性的作用，致使采样带来 的高频分量对系统输出的影响很小。另外，若ωs＞＞ωm，则 采样信号的高频分量集中在保持器幅值近似为零的nωs（n＝ 1、2……）附近，如图8-7虚线所示，这样，采用信号的高频 分量也将被大幅衰减。也就是说，图8-6中矩形脉冲越多，还 原出来的信号与原信号误差越小，相位迟后也越小。
第八章
采样控制系统
§8—1 采样控制系统的基本概念
在此以前所讨论的控制系统，系统中的物理量都是时间的连 续函数(即在任意时间的瞬时，都有对应的物理量值，这种物 理量称为连续量或摸拟量)，这样的系统也称为连续控制系统 或模拟控制系统。但在人类活动威生产过程中，也有这样的物 理量，它虽是时间函数，但只有在特定时刻才有对应的物理量 值，这样的物理量称为时间的离散量。离散量可以是自然产生 的，如炼钢炉的钢产量，只有在出炉时间才有量值，而在炼制 时就没有量值，也可以人为产生的，如电表测量的是摸拟量， 而定时抄录的电量值就是离散量，这种定时抄录称为采样，由 此得出的量值叫采样值。离散量又可分为两种，一种是随意的 脉冲量，一种是经量化的有规则的数码或称数字量。控制系统 中只要有一个以上的物理量是离散量，就称这个系统为离散系 统或采样控制系统，有时候把离散量是数字量的系统称为数字 控制系统。
系统输出的时间解。必要时也可由脉冲传递函
数求得采样系统的差分方程。
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下面先介绍Z变换及Z反变换。
二、Z变换的定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采 样信号的拉氏变换演变而来的。§8—2中式（8-4）给出的采 样信号的拉氏变换为
引入新的变量z，并令z＝eTS代入上式就得到采样信号e*(t) 的Z变换E(z)为
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如果采样频率ωs＜2ωm，如图8-5b所示，主频谱与附加高 频频谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利 用滤波方法来无畸变地复现采样前的连续信号了。
从上面的分析可知，采样系统为了能使采样后的信号得到 复现，从而确保控制精度，应该使采样频率大于两倍连续信 号频谱中的最高频率，这就称为采样定理。 采样定理的物理意义是，采样频率越高，就是采样周期越 小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续 信号变化的所有信息，因此就可以按要求复现。反之，采样 频率低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样 时刻之间的连续信号变化较大，而这种变化未能在采样信号 中得到反映，故就不能按一定精度复现原连续信号。 需要指出，实际的非周期函数，其频谱中的最高频率是无 限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后 的信号基本上能复现。
§8-2 采样定理
前节已经提到过，连续信号e经采样后的离散信号e*为一脉 冲序列。如果采样所得的脉冲序列的脉冲持续时间ε极短， 以至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可 以认为ε趋近于零。在这种情况下，采样过程可看成一个理 想单位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。设单位 脉冲序列发生器产生的单位脉冲序列δT （t）如图8—3所示 ，则δT（t）的数学表达式为
§8—4
差分方程和Z变换
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一、差分方程
n阶线性连续系统被采样离散化后，
系统的数学模型可用n阶差分方程来描述，即
式中 n——系统阶数
k——第k个采样周期。
已知采样系统的差分方程和初始条件 ，则可用迭代法求得差分方程的时间解。
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例如，积分环节
在r(t)=1(t)时的输出
c(t)=t，如图所示。采样后的差分方程为：
迭代出差分方程的解为：
结果模拟信号采样的结果一样。
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但是，采样一般系统的差分方程是很难求得 的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉 冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非 常不方便的，通常是将连续系统离散化后，对 传递函数进行Z变换，求出脉冲传递函数及输 出量的Z变换，再用Z反变换的方法可求得采样
零阶保持器是采用恒值外推的 工作方法，它把前一个时刻nT的 采样信号e(nT)不增不减地一直 保持到下一个采样时刻（n+1）T， 从而使采样信号变成阶梯信号， 如图8—6所示。 由图可见，再现出的信号与原连续信号是 有较大差别的，它包含着高次谐波。若将梯形输出信号各中 点连接起来，可得到一条比原连续信号迟后T/2的曲线，据此 可以直观地看出零阶保持器的迟后特性。
式中 c1、c2为待定系数，由于典型函数的Z变换的分子上均 有一个z（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的z。查 表8-1，并由线性定理得Z反变换为