第十一章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 M r m r i i c 或 Mr m r ic i c 2）直角坐标形式Mx m x i i c ，M y m y i i c ，M z m z i i c 其中 k z j y i x r i i i i 为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c 为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M 为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P2）投影形式ix i x v m p ，iy i y v m p ，iz i z v m p ，222z y x P P P P注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）n i (e)i F dt p d 1 )(1n i (e)i c F a M 式中 n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量， n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
（2）质点系动量定理、质心运动定理。
2．难点：质点系动量定理、质心运动定理的应用。
高中物理中质心概念的应用一、质心的定义与系统总动量一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为：i i C m r r M =∑，其中M =m 1+m 2+m 3+… 写成直角坐标系下的分量式为： i i C m x x M =∑，i iC m y y M =∑，i i C m z z M =∑上式变形，对时间求导，容易得出：d d d d d d C C i i i i i ir r Mv M m r m m v t t t ====∑∑∑ 即：一个系统的总动量可以用系统总质量M 与质心C 的速度v C 的乘积。
二、质心与重心、重力势能重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似：i i iCG ii m g r r m g =∑∑ 从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。
另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。
有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算：CG i i i i i h m g m g h ⋅=∑∑匀强重力场中，上式可以简化为：C i iMgh m gh =∑。
这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。
三、质心与动能、机械能如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有：CM 2k k 12C E E Mv =+ 其中CM CM 2k 1()2i i E m v =∑为各质点相对质心的动能之和，CM i v 是各质点相对质心的速度。
