高中数学第一章导数及其应用1.5.3微积分基本定理课件苏教版选修2-2

1dx+x2
(x2-112 )dx,根据定积分的几
何意义,可知 1 1
1dx是x2 以原点为圆心,1为半径的圆的面积的
,1
2
∴ 1 1dx=x2 ,
1
2
∴
2 f(x)dx=
1
2
+(
1 3
x3=
x
+|12
,故4选A.
23
(2)∵y=xcos
x为奇函数,∴
1 xcos 1
知识清单
考点一 定积分的计算
1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b,将区
间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),
n
作和式 i 1
f
(ξi
)x
=
n

i 1
b
n
积分值的相反数.
2.定积分的物理意义
(1)变速直线运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)
b
在时间区间[a,b]上的定积分,即s=② av(t)dt .
(2)变力做功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的
b
方向从x=a移动到x=b(a<b),则变力F(x)所做的功W=③ aF(x)dx .
b
a
f(x)dx=
F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
为了方便,我们常常把F(b)-F(a)记成F(x)

[Cf(x)]′＝C·f′(x)(C为常数)
[f(x)·g(x)]′＝__f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)g__′(_x_) _____
商的导数
f′xgx－fxg′x
gfxx′＝
g2x
(g(x)≠0)
判断正误： (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( ) (2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( ) (3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( )
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公 式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求 导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
求简单复合函数的导数
求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．
阶
阶
段段Biblioteka 一三1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
1.2.3 简单复合函数的导数
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点) 3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)
[基础·初探] 教材整理1 导数的四则运算法则 阅读教材P21，完成下列问题．
1．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数 差的导数

1.5.3 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝__________，即ʃb a F′(x)d x＝__________.一、填空题1．22(1cos)x dxππ-+⎰＝________.2．若ʃ10(2x＋k)d x＝2，则k＝________.3．ʃb a x sin αd x＝________.4．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围图形的面积为________．5．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的是________．(填序号)S＝ʃa b[f(x)－g(x)]d x S＝ʃ80(22x－2x＋8)d x①②4714()()f x dx f x dx-⎰⎰[][]()()()()abag x f x dxf xg x dx-+-⎰⎰③④6．若ʃ10(2x k＋1)d x＝2，则k＝________.7．定积分ʃ10x1＋x2d x的值为________．8．定积分21sin2xdxπ-的值为__________．二、解答题9．求下列定积分：(1)ʃ10(x2－x)d x；(2)20(3sin) x x dxπ+⎰.10.计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．能力提升11．ʃ421x d x＝________.12．求c的值，使ʃ10(x2＋cx＋c)2d x最小．1．f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．2．求定积分一定要结合几何意义．利用图形的面积可以求一些定积分的值．答案知识梳理F(b)－F(a)F(b)－F(a)作业设计1．π＋2解析取F(x)＝x＋sin x，则F′(x)＝1＋cos x.∴22(1cos )x dx ππ-+⎰＝F ⎝⎛⎭⎫π2－F ⎝⎛⎭⎫－π2 ＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．1解析 取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ，∴ʃ10(2x ＋k )d x ＝ʃ10F ′(x )d x ＝F (1)－F (0)＝k ＋1＝2，∴k ＝1.3.12(b 2－a 2)sin α 4．2ln 2解析 如图，由图可知 S ＝2121dx x⎰， 取F (x )＝ln x ，则F ′(x )＝1x .∴S ＝2121dx x ⎰＝212()F x dx '⎰ ＝F (2)－F ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2－ln 12＝2ln 2. 5．③④解析 ①应是S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ84(2x －8)d x ， ③和④正确． 6．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋ʃ10d x ＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 7.12ln 2 解析 ∵⎣⎡⎦⎤12ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2，∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln 2. 8．2(2－1)解析20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰(sin x －cos x )2d x ＝20π⎰|cos x －sin x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰ (sin x －cos x )d x＝2(2－1)．9．解 (1)取F (x )＝13x 3－12x 2，则F ′(x )＝x 2－x ，从而ʃ10(x 2－x )d x ＝ʃ10F ′(x )d x ＝F (1)－F (0) ＝⎝⎛⎭⎫13×13－12×12－⎝⎛⎭⎫13×03－12×02＝－16. (2)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x ，从而20π⎰(3x ＋sin x )d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π2－F (0)＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×02－cos 0 ＝38π2＋1. 10．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图所示从而所求图形的面积S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x . 取F 1(x )＝12x 2＋3x ，F 2(x )＝13x 3－x 2＋3x ，则F 1′ (x )＝x ＋3，F 2′(x )＝x 2－2x ＋3，∴S ＝ʃ30F 1′(x )d x －ʃ30F 2′(x )d x ＝[F 1(3)－F 1(0)]－[F 2(3)－F 2(0)] ＝[(12×32＋3×3)－(12×02＋3×0)]－[(13×33－32＋3×3)－0]＝92.∴所求图形的面积为92.11．ln 212．解 令y ＝ʃ10(x 2＋cx ＋c )2d x ＝ʃ10(x 4＋2cx 3＋c 2x 2＋2cx 2＋2c 2x ＋c 2)d x .取F (x )＝15x 5＋12cx 4＋13c 2x 3＋23cx 3＋c 2x 2＋c 2x ，则F ′(x )＝x 4＋2cx 3＋c 2x 2＋2cx 2＋2c 2x ＋c 2， ∴y ＝ʃ10F ′(x )d x ＝F (1)－F (0) ＝73c 2＋76c ＋15， 令y ′＝143c ＋76＝0，得c ＝－14，所以当c ＝－14时，y 最小．。

f′(x0)是函数 f(x)的导函数 f′(x)当 x 取 x0 时的函数值.
1.1.2(二)
1.导数：设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，
本 课 时
当 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔxy＝
fx0＋Δx－fx0
Δx
无限趋近
栏 目
于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称常数 A 为函
1.1.2(二)
1.1.2 瞬时变化率——导数(二)
【学习要求】
本 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的
课 时
意义，并掌握导数的几何意义.
栏 2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.
目
开 【学法指导】
关
导数就是瞬时变化率，理解导数概念可以结合曲线切线的斜
率，结合瞬时速度，瞬时加速度；函数 f(x)在一点处的导数
目 开
线的斜率.
关
1.1.2(二)
例 1 利用定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数.
解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2
本 课
＝－(Δx)2－Δx.
时
栏 目 开
∴ΔΔyx＝－Δx－1，
关
当 Δx→0 时，ΔΔyx→－1，
∴f′(2)＝－1.
目 开
处的函数值.
关 3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线为 y－y0＝f′(x0)(x－x0).
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。