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复数练习题1

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1．已知2()2aii，其中i是虚数单位，那么实数a ．

2． 22(1)i ； (2)12iii ； 11212ii的虚部是 3．在复平面内，复数21ii对应的点的坐标为 . 4．已知复数23(13)izi，z是z的共轭复数，则zz= 5．复数212ii的共轭复数是 .

6．已知函数()ln(0)fxaxxa，求函数()fx的单调区间

7．已知函数1()ln()fxaxaRx. （Ⅰ）当2a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程； （Ⅱ）如果函数()()2gxfxx在(0,)上单调递减，求a的取值范围；

8．已知函数()()exafxxx，aR． （Ⅰ）当0a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程； （Ⅱ）当1a时，求证：()fx在(0,)上为增函数； （20）（本小题满分13分） 解：函数()fx定义域为{0}xx，322()exxxaxafxx.

（Ⅰ）当0a时，()exfxx，()fx(1)exx. 所以(1)e,(1)2eff. 所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是e2e(1)yx， 即2ee=0xy. ……… 3分

（Ⅱ） 当1a时，()fx3221exxxxx. 设()gx321xxx，则2()321(31)(1)gxxxxx. 令()(31)(1)0gxxx得，13x或1x，注意到0x，所以13x. 令()(31)(1)0gxxx得，注意到0x，得103x. 所以函数()gx在1(0,)3上是减函数，在1(,)3上是增函数. 所以函数()gx在13x时取得最小值，且122()0327g. 所以()gx在(0,)上恒大于零.

于是，当(0,)x，()fx3221e0xxxxx恒成立. 所以当1a时，函数()fx在0,上为增函数. ……… 7分 （Ⅱ）问另一方法提示：当1a时，()fx3221exxxxx. 由于3210xxx在0,上成立，即可证明函数()fx在0,上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）322()e()xxxaxafxx. 设()hx32xxaxa，2()32hxxxa. (1) 当0a时，()0hx在(0,)上恒成立， 即函数()hx在(0,)上为增函数. 而(0)0ha，(1)20h，则函数()hx在区间0,1上有且只有一个零点0x，使0()0fx,且在0(0,)x上，()0fx¢<，在()0,1x上，()0fx¢>，故0x为函数()fx在

区间0,1上唯一的极小值点; （2）当0a时，当xÎ0,1时，2()320hxxx成立，函数()hx在区间0,1上为增函数，又此时(0)0h，所以函数()0hx在区间0,1恒成立，即()0fx¢>， 故函数()fx在区间0,1为单调递增函数，所以()fx在区间0,1上无极值； （3）当0a时，()hx3232(1)xxaxaxxax. 当0,1x时，总有()0hx成立，即()0fx成立，故函数()fx在区间0,1上为单调递增函数，所以()fx在区间0,1上无极值. 综上所述0a. ……… 13分

20.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）当2a时，1()2lnfxxx，(1)1f，

所以221()fxxx，(1)1f． 所以切线方程为yx． …3分 （Ⅱ）因为()()2gxfxx在(0,)上单调递减，

等价于21()20agxxx在(0,)恒成立， 变形得12axx (0)x恒成立， 而1122222xxxx （当且仅当12xx，即22x时，等号成立）． 所以22a． …………8分 （Ⅲ）21()axfxx．

令()0fx，得1xa． x 1(0,)a 1a 1(,)a

()fx  0 

()fx ↘ 极小值 ↗

所以min1()=()fxfa=1ln(1ln)aaaaa． （ⅰ）当0ae时，min()0fx，所以()fx在定义域内无零点； （ⅱ）当ae时，min()0fx，所以()fx在定义域内有唯一的零点； （ⅲ）当ae时，min()0fx， ① 因为(1)10f，所以()fx在增区间1(,)a内有唯一零点； ② 21()(2ln)faaaa， 设()2lnhaaa，则2()1haa， 因为ae，所以()0ha，即()ha在(,)e上单调递增， 所以()()0hahe，即21()0fa，所以()fx在减区间1(0,)a内有唯一的零点． 所以ae时()fx在定义域内有两个零点． 综上所述：当0ae时，()fx在定义域内无零点； 当ae时，()fx在定义域内有唯一的零点； 当ae时，()fx在定义域内有两个零点． …………13分 1．计算 （1）22ii （2）131ii （3）复数2311iiii

（4）复数z 满足iiiz2)( （5）若复数z＝－3+i2+i，求z共轭复数 2．已知1x是函数()2lnbfxxxx的一个极值点． （Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求()fx的单调递减区间；

3．已知函数1()ln(0)fxaxax. （Ⅰ）求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）若存在两条直线1yaxb，212()yaxbbb都是曲线()yfx的切线，求实数a的取值范围；

1．已知1x是函数()2lnbfxxxx的一个极值点． （Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求()fx的单调递减区间；

2．已知函数1()ln(0)fxaxax. （Ⅰ）求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）若存在两条直线1yaxb，212()yaxbbb都是曲线()yfx的切线，求实数a的取值范围；

3．设*nN，函数ln()nxfxx，函数e()xngxx，(0,)x. （Ⅰ）判断函数()fx在区间(0,)上是否为单调函数，并说明理由； （Ⅱ）若当1n时，对任意的12,(0,)xx， 都有12()()gxfxt≤≤成立，求实数t的取值范围； （Ⅲ）当2n时，若存在直线lyt：（tR），使得曲线()yfx与曲线()ygx分别位于直线l的两侧，写出n的所有可能取值. (只需写出结论) 1．已知1x是函数()2lnbfxxxx的一个极值点． （Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求()fx的单调递减区间； （Ⅲ）设函数3()()gxfxx，试问过点2（，5）可作多少条直线与曲线()ygx相切？

请说明理由． 2．已知函数1()ln(0)fxaxax. （Ⅰ）求函数()fx的单调区间； （Ⅱ）若存在两条直线1yaxb，212()yaxbbb都是曲线()yfx的切线，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若()0(0,1)xfx，求实数a的取值范围.

解：（Ⅰ）2211'()(0)aaxfxxxxx. ……………1分 当0a时，'()0fx，则函数()fx的单调递减区间是(0,). …………2分 当0a时，令'()0fx，得1xa. 当x变化时，'()fx，()fx的变化情况如下： x 1(0,)a 1a 1(,)a

'()fx  0 

()fx ↘ 极小值 ↗

所以 ()fx的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a.………4分 （Ⅱ）因为 存在两条直线1yaxb，212()yaxbbb都是曲线()yfx的切线， 所以 '()fxa至少有两个不等的正实根. ………5分

令21axax得210axax，记其两个实根分别为12,xx.

则 21240,10.aaxxa解得4a. ……7分 当4a时，曲线()yfx在点1122(,()),(,())xfxxfx处的切线分别为11()yaxfxax，22()yaxfxax.

令()()(0)Fxfxaxx. 由'()'()0Fxfxa得12,xxxx（不妨设12xx），且当12xxx时，'()0Fx，即()Fx在12[,]xx上是单调函数.

所以 12()()FxFx. 所以 11()yaxfxax，22()yaxfxax是曲线()yfx的两条不同的切线. 所以 实数a的取值范围为(4,). ………9分 （Ⅲ）当0a时，函数()fx是(0,)内的减函数. 因为 1111111(e)ln(e)1e10eeaaaaafa，

而1e(0,1)a，不符合题意. ………11分 当0a时，由（Ⅰ）知：()fx的最小值是1()ln1lnfaaaaaa. （ⅰ）若1()0fa，即0ea时，{|()0}(0,1)xfx， 所以，0ea符合题意. （ⅱ）若1()0fa，即ea时，1{|()0}{}(0,1)exfx. 所以，ea符合题意.

（ⅲ）若1()0fa，即ea时，有101a.

因为 (1)10f，函数()fx在1(,)a内是增函数， 所以 当1x时，()0fx. 又因为 函数()fx的定义域为(0,)， 所以 ()0(0,1)xfx. 所以 ea符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为{|0}aa. …… 14分

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复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)一、单选题1．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．26．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ） A ．负实数 B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)7．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ） A ．2i -B ．2iC ．2-D ．28．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12 D ．1i 29．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2C ．i -D ．1-10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．513．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+ 14．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-15．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） ABC ．12D ．216．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 517．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 20．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限二、填空题21．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________ 24．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 25．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________． 26．若()1i 1i z +=-，则z =_______27．计算：3i1i+=-___________. 28．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________.29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．计算cos 40isin 40cos10isin10________．33．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．34．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．35．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．36．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 37．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 38．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 三、解答题41．把下列复数表示成代数形式： (1)554cos33isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)77cos 44isinππ⎫+⎪⎭42．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.43．（1）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，求实数m 的值 ；（2）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，求实数m 的值. 44．已知复数()()211i z a a a R =-++∈.(1)若复数z 是虚数，求实数a 的值； (2)若复数z 是纯虚数，求实数a 的值.45．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．A 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B 13．B 14．D15．A 16．A 17．A 18．D 19．B 20．C 二、填空题21．1##1+2223．12或12##12-或122425．-2 26．i2728. 29．()34-，30．13i + 31．i -3212i33．12- 3435．2i +##i 2+ 36．12 37．22i +##2i 2+38．39．2i -+ 40．1 三、解答题41．(1)2-【解析】 【分析】根据复数的运算及三角函数诱导公式求解即可. (1) 因为51coscos 2cos 3332ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，5sinsin 2sin 333ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以5514cos 42332isinππ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为7coscos 2cos 444ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7sinsin 2sin 444ππππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以77cos 44isinππ⎫⎫+==⎪⎪⎪⎭⎭42．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y43．（1）0m =或3；（2）2m = 【解析】 【分析】（1）由虚部为0直接求解即可；（2）由实部为0，虚部不为0直接求解即可. 【详解】（1）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，可得230m m -=，解得0m =或3；（2）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，可得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =. 44．(1)1a ≠-； (2)1. 【解析】 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可；（2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可. (1)因为()()211i z a a a R =-++∈是虚数，所以10a +≠，解得1a ≠-， (2)因为()()211i z a a a R =-++∈是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =.45．2i - 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可． 【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C 则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形， 所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y -- 即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，则(2,1)D -，对应的复数为2i -， 故答案为：2i -。

复数练习题含答案

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复数练习题含答案一、单选题1．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四4．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．05．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC6．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+ D ．()cos isin a ππ-- 7．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°8．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．213．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+14．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-15．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +17．已知z1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(1,)-+∞二、填空题21．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i 1i ⎛⎫+⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 24．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.26．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 27．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．28．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.29．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.30．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.31．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________.32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 33．计算cos 40isin 40cos10isin10________．34．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数21ii z +=，则z =______． 37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．设复数z ＝log 2（m 2－3m －3）＋ilog 2（m －2）（m ∈R ），对应的向量为OZ .(1)若OZ 的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ |； (2)若OZ 的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围． 42．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 43．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ． 44．已知z 为复数，1i z -为实数，i1z-为纯虚数，求复数z . 45．数列{}n a 满足1112,1n n n a a a a +-==+，试研究数列{}n a 的周期性.【参考答案】一、单选题1．C2．A3．B4．C5．D6．C7．B8．B9．A10．C11．B12．A13．D14．C15．D16．C17．D18．D19．B20．A二、填空题21．72223．1241##1-25．12627．43i-##3i4-+ 28．352930．131．32．2 3312i 34．2312π353637．2 3839．13i +##3i 1+ 40．三、解答题41．(1)m ＝4，|1OZ =(2)4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】(1)显然是复数z 的实部为0，即可求解； (2)z 的实部为负数，虚部为正数即可. (1)因为OZ 的终点z 在虚轴上，所以复数z 的实部为0， 则有log 2（m 2－3m －3）＝0，所以m 2－3m －3＝1， 所以m ＝4或m ＝－1； 因为20m -> ，所以m ＝4， 此时z ＝i ，()0,1OZ =,1OZ = ； (2)因为OZ 的终点Z 在第二象限内，则有()()2222log 330log 2033020m m m m m m ⎧--<⎪⎪->⎨-->⎪⎪->⎩4m << ，所以4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭42．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-.43．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++，所以22+1=2=0a b a ab b -++ 解得：13,2a b =-=±，即13i 2x =-± 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+- 解得：13,2c d ==±，即13i 2x =±故：123456131313131,1,i,i,i,i 2222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ， 其中13131313(1,0),(1,0),(,),(,),(,),(,)2222A B C D E F ----- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==44．1i z =+ 【解析】 【分析】i z a b =+（,R a b ∈），代入1i z -化简由其为实数可求出a ，再代入i1z-化简由其为纯虚数可求出b ，从而可求出复数z 【详解】设i z a b =+（,R a b ∈），所以1(1)i(1)i i iz a b b a --+==--， 因为1iz -为实数，所以10a -=，得1a =， 所以()()()()i 1i i ()()i i 1i 1i 1i 1i 222a b z a b a b a b a b a b +++-++-+====+---+， 因为i1z-为纯虚数， 所以02a b -=且02a b+≠， 所以1a b ==， 所以1i z =+ 45．周期为4 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x +=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】数列{}n a 的递归函数为()11x f x x -=+，其特征方程为210x +=. 因为Δ=01440-⨯=-<，解得：i,i m k ==-()1i 36arg arg arg i 1i 24a mc a kc ππ--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 是周期4T =的周期函数.。

(完整版)复数基础练习题附答案

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(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 29．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1 B ．15 C ．3 D ．16 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 15．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1016．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．17．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C．D ．419．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-20．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 25．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 26．计算：3i1i+=-___________.27．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．28．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______. 32．已知4cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 33．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．43．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．D 10．C 11．A 12．D 13．B14．B 15．B 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B 二、填空题21．1-1- 22．12i -##2i+1- 23．22425．1i -+（答案不唯一）2627．825i 625- 28．72930．2或2- 31．i - 32．2312π3334．2i +##i 2+ 35．1 36．③ 37．12 38．039．40．13i + 三、解答题41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩ ，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+.。

英语名词变复数的练习题(1)

英语名词变复数的练习题(1)

名词复数名词在使用中的难点在于名词的数，即可数名词与不可数名词的实际应用。

所以它具有单数形式和复数形式两种。

可数名词复数形式的构成规律是：1. 一般情况加s,如：pen—pens, doctor—doctors,boy—boys,其读音规则是在清辅音后读［s］，在元音和浊辅音后读［z］。

如:map—map ， boy—boys.2. 在以s, sh, ch, x结尾的名词后面加es，如：bus—buses, class —classes,其读音为［iz］。

3. 以ce, se, ze, (d)ge结尾的名词加s，其读音为［iz］。

4. 以辅音字母加y结尾的名词，要将y变为i再加es，读作［z］，如：factory—factories, country—countries, family—families.但要注意的是以元音字母加y结尾的名词的复数形式只加s，如:boy —boys, day—days。

5. 以o结尾的名词的复数形式一般要加es，但如果o前面是元音字母或外来词，缩写词以o结尾的则只加s，有生命的要加es 没有生命的加s如：tomato—tomatoes, hero—heroes; potato- potatoes negro-negroesphoto—photos, radio—radios, piano—pianos6. 以f或fe结尾的名词的复数形式要将f或fe变为v再加es，如：knife—knives, leaf—leaves, 但有些例外的词如roof的复数形式是roofs。

7. 不规则名词的复数形式是要单个记忆的，它没有规律可循，如:man—men, woman—women, child—children, foot—feet, tooth—teeth, mouse—mice8. 单复同形的名词有：fish, sheep, deer…9. 单数形式但其意为复数的名词有:people, police, family等。