单摆
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单 摆
编 稿：唐 挈 审 稿：唐 挈 责 编: 郭金娟
一、本节重点内容：单摆
1、构造：
如图（1）：
在物理学里，单摆是理想化模型，即：一根不能伸长，又没有质量的线的下端系一质点。实际应用时，为符合单摆的条件，则做如下处理：
摆线：细长而质量小，并且要用弹性系数大即不易形变的线。
摆球：采用密度大而体积小的摆球。
2、摆球振动的回复力分析：
如图（2）所示为一单摆，摆线的长为l，摆球的质量为m，摆球在AOB范围内振动，下面我们来分析摆球运动到任意一点D时的受力情况，设此时摆线与竖直方向的夹角为θ，摆球受重力、拉力，如图，将重力沿半径方向与切线方向分解，则：
G1=mg·sinθ G2=mg·cosθ
因为摆球做圆周运动，所以：
径向：TD-G2=m
TD-mg·cosθ= m
因为D点vD≠0，所以TD=mgcosθ+ m >mg·cosθ
切向：重力的切向分力是使摆球振动的回复力。所以，摆球振动的回复力为重力的切向分力。
3、θ<5°的单摆的振动的是简谐振动。
如图（2）设θ角很小，（θ<5°），此时圆弧OD近似可以看成直线x，分力G1可以近似看作沿这条直线作用，在θ角很小时，有sinθ=tanθ=θ(弧度制)= ，
所以： =G1=mg·sinθ=mg· = ·x 因为：m、g、l为定值，所以，设 =k，则 =kx
若OD为摆球偏离平衡位置的位移x，方向O→D，则(1)式可写为 =-kx。
所以，在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐振动。
附表：
θ（度） sinθ tanθ θ(弧度)
0° 0 0 0
1° 0.017452 0.017455 0.017444
2° 0.034899 0.034921 0.034889
3° 0.052336 0.052408 0.052333
4° 0.069756 0.069927 0.069778
5° 0.087156 0.087489 0.087222
4、单摆的振动周期公式：
简谐振动的周期：T=2π
单摆：k= ，所以T=2π
由周期公式可知，单摆的振动周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆球的质量和振幅无关。
5、利用单摆测重力加速度。
因为：单摆的振动周期为T=2π
则：T2=4π2 ，g=
由上式可以看出，只要能测定出单摆的摆长和对应的振动周期，就很容易计算出当地的重力加速度的数值了。
二、例题：
例1、在单摆摆角小于5°的条件下，为了增大振动周期，可采用的方法是（ ）
A、增大摆球的质量
B、增大振动的振幅 C、增加单摆的摆长
D、将单摆从平地移至高山
解：
根据单摆振动周期公式：T=2π 可知T∝ ，T∝
∴要使T增加，可采用两种方法，即增加摆长和减少重力加速度，
又
∵离地面越高重力加速度越小，
∴正确答案为CD。
例2、单摆振动中，摆球经过最低点时，（ ）
A、摆线张力与摆长无关
B、摆球加速度与摆长无关
C、摆球重力的瞬时功率与摆长无关
D、摆球的动量与摆长无关
解：
摆球在最低点受力如图，因为最低点为平衡位置，所以速度最大vmax，
设振幅处绳与竖直方向的夹角为θ，摆球由A→0，
根据动能定理mg (1-cosθ)= mVmax2vmax= ,
最低点：T-mg=m
T=mg+ m =mg(3-2cosθ)…… (1)
加速度：a= =2g(1- cosθ)…… (2)
瞬时功率：Pt=mg·vmax·cos90°=0…… (3)
动量：P=mvmax=m…… (4) 由(1)(2)(3)(4)可知，正确答案为ABC。
例3、有一周期为2S的秒摆从地球表面移到某一行星的表面上，周期变为4S，已知该星球质量为地球质量的2倍，则该星球表面处的重力加速度为地球表面处重力加速度的__________倍，该行星半径是地球半径的________倍。
解：
（1）
由单摆振动周期T=2πT∝
∴ ∴g星= g地=（）2g地=g地
（2）
又∵mg=Gr∝
∴
答案：
，2
练习：
1、有一单摆摆长是90cm，当地的重力加速度是9.8m/s2，则此摆的周期和频率是___________。
2、将秒摆（振动周期为2秒）的周期变为1秒，下列哪些措施是可行的（ ）
A、将摆球的质量减少一半 B、将摆球的质量减少到原来的1/4
C、将摆球的振幅减少一半 D、将摆球的振幅减少到原来的1/4
E、将摆的摆长减少一半 F、将摆的摆长减少到原来的1/4
3、关于单摆做简谐振动时受的回复力，下面说法中正确的是（ ）
A、是重力与绳拉力的合力 B、是重力
C、绳的拉力、重力、向心力的合力 D、是重力的切向分力
4、有两只单摆，甲摆每分钟摆80次，乙摆每分钟摆120次，求甲乙两摆的摆长之比（ ）
5、对单摆的运动有以下的说法，其中正确的是（ ） A、单摆运动时，摆球所受的向心力处处相等
B、单摆运动时的回复力是摆球所受的合力
C、单摆摆球经过平衡位置时所受到的回复力为0
D、单摆摆球经过平衡位置时所受到的合力为0
6、如图，AB是一半径为R的一段光滑圆槽，A、B两点在同一水平面上，且AB弧长远小于R，小球在A点到B点所用时间等于（ ）
A、 B、 C、 D、
7、一单摆的摆长为L，振动过程中在距悬点O的正下方L/2处钉一颗钉子，问单摆的周期变为多大？
8、如图，两个摆长相等的单摆，甲的振幅大于乙的振幅，（都满足做简谐振动的条件）从各自的最大位移处同时开始释放，两个摆球相遇的位置（ ）
A、在O点的右侧
B、在O点的左侧
C、在O点
D、以上都不对
9、一个单摆在地面上的周期为T，当将单摆放到离地面某一高度时，周期变为4T，则此高度为地球半径的（ ）
A、3倍 B、4倍 C、15倍 D、16倍
答案：
1、
2、F 3、D 4、9：4 5、C 6、C
7、（1+ ）
8、C 9、A
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选择题
1．机械振动在下列哪一种运动的范围内？（ ）
A．匀加速运动
B．匀速直线运动
C．非匀变速运动
D．匀变速运动
2．一质点作简谐运动，先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时 ，质点通过B点后再经过
又第二次通过B点，在这 内，通过的总路程为 ，则质点的振动周期和振幅分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．一平台在竖直方向上做简谐运动，一物体于其上一起振动，当平台振动到什么位置时，物体对平台的正压力最大？（ ）
A．当平台振动到最低点时
B．当平台振动到最高点时
C．当平台向上振动经过平衡位置时
D．当平台向下振动经过平衡位置时
4．做简谐振动的物体，当物体的位移为负值时，下面说法中正确的是（ ）
A．速度一定为正值，加速度一定为负值
B．速度一定为负值，加速度一定为正值 C．速度不一定为正值，加速度一定为负值
D．速度不一定为负值，加速度一定为正值
5．一个弹簧振子的振动周期是 ，当振子从平衡位置开始向右运动，经过 时，振子的运动情况是（ ）
A．正在向右作减速运动
B．正在向右作加速运动
C．正在向左作减速运动
D．正在向左作加速运动
6．如右图所示，弧BOC是半径为 的光滑弧形槽， 点是弧形槽的最低点，半径 远大于弧BOC的长度，一小球由静止从B点开始释放，小球就在弧形槽内 来回运动，欲增大小球的运动周期，可采取的方法是（ ）
A．使小球开始释放处靠近 点一些
B．换一个密度大一些的小球
C．换一个半径 大一些的弧形槽
D．换一个半径 小一些的弧形槽
7． 如右图所示，竖直放置的光滑圆弧槽内，放有两个弹性小球， ，将 从 点无初速释放，使其在 点与 正碰（已知 ），则 与 第二次碰撞地点一定在（ ）
A． 点
B． 点偏右
C． 点偏左
D．无法确定
8．单摆在竖直平面内作小角度振动，摆球质量为 ，最大摆角为 ，摆长为 ，且 ，那么在摆球从最大偏角位置运动到平衡位置的过程中，下列叙述中正确的是（ ）
A．重力的冲量为 B．重力的冲量为
C．合力的冲量为
D．合力的冲量为零
9．单摆的摆角小于 ，下列说法正确的是（ ）
A．单摆的振动周期与摆球质量的平方根成正比
B．单摆的振幅越小，周期越短
C．把在海平面调准的摆钟移到高山上，周期变长
D．把在地面上调准的摆钟放入正在竖直向上发射的火箭内，周期变短。
答案与解析
1．
答案：选C。
解析：
振动物体所受到的回复力是变力，所产生的加速度也是变量，故振动一定是非匀变速运动。
2．
答案：选B。
解析：
注意A、B两点关于平衡的对称性，利用周期与振幅的概念作出判断。
3．
答案：选A。
解析：
当物体具有竖直向上的加速度，且加速度取最大值时，物体对平台的正压力最大（即发生超重现象）。注意加速度与位移大小成正比，方向相反的关系。
4．
答案：选D。
解析：
由 可知， ，则 。速度既可与正向相同，也可与正向相反。
5．
