【精校word含答案】2013年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(数学理)
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学（理）
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,0,1}A，{|11}Bxx，则AB （ ）
（A）{0} （B）{1,0} （C）{0,1} （D）{1,0,1}
（2）在复平面内，复数2(2)i对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（3）“”是“sin(2)yx过坐标原点”（ ）
（A）充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
（C）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
（A）1
（B）23
（C）1321
（D）610987
（5）函数()fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线xye关于y轴对称，则()fx（ ）
（A）1xe （B）1xe （C）1xe （D）1xe
（6）若双曲线22221xyab的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
（A）2yx （B）2yx （C）12yx （D）22yx
（7）直线l过抛物线2:4Cxy的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）
（A）43 （B）2 （C）83 （D）1623
（8）设关于,xy的不等式组210,0,0xyxmym表示的平面区域内存在点00(,)Pxy，满足0022xy，求得m的取值范围是（ ）
（A）4(,)3 （B）1(,)3 （C）2(,)3 （D）5(,)3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分。
（9）在极坐标系中，点(2,)6到直线sin2的距离等于_____。
（10）若等比数列{}na满足2420aa，3540aa，则公比q__________;前n项nS_____。
（11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若3PA，:9:16PDDB，则PD__________，AB__________
（12）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________。
（13）向量,,abc在正方形网格中的位置如图所示，若cab(,)R，则__________。
（14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为BC的中点，点P在线段1DE上，点P到直线1CC的距离的最小值为__________
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
在ABC中，3a，26b，2BA。
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值。
EB1A1C1BAD1DCP(16)(本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
（17）（本小题共14分）
如图，在三棱柱111ABCABC中，11AACC是边长为4的正方形。平面ABC平面11AACC，3AB，5BC。
（Ⅰ）求证：1AA平面ABC；
（Ⅱ）求二面角111ABCB的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段1BC上存在点D，使得1ADAB，并求1BDBC的值。
（18）（本小题共13分）
设l为曲线ln:xCyx在点(1,0)处的切线。
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方。
C1B1ABCA1（19）（本小题共14分）
已知A，B，C是椭圆22:14xWy上的三个点， O为坐标原点。
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。
（20）（本小题共13分）
已知{}na是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为nA，第n项之后各项12,,nnaa的最小值记为nB，nnndAB。
（Ⅰ）若{}na为2,1,4,3,2,1,4,3,，是一个周期为4的数列，（即对任意nN，4nnaa），写出1d，2d，3d，4d的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：ndd(1,2,3,)n的充分必要条件为{}na是公差为d的等差数列。
（Ⅲ）证明：若12a，1nd(1,2,3,)n，则{}na的项只能是1或者2，且有无穷多项为1。
参考答案
一、选择题
1-5 BDACD 6-8 BCC
二、填空题
9.1
10. 2，122n
11. 9,45
12. 96
13. 4 14. 255
三、解答题
15. 【解析】（1）由正弦定理得sinsinabAB，所以326sinsin2AA，326sin2sincosAAA，
即6cos3A。
（2）由余弦定理得2222cosabcbcA，所以22263(26)2263cc，
即28150cc，解得5c或3c（舍）。
16. 【解析】（1）某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，共有13种可能。到达当日空气重度污染有2种可能。所以概率为213。
（2）X可能取值为0，1，2.分布列如下
X
0
1
2
P 513 413
413
54412()01213131313EX
2224412116()()()(14)()131313169DXEXEX。
（3）5，6，7三天。
17. 【解析】（1）11AACC因为是正方形，1AAAC所以。
又11,ABCAACCAC因为平面平面交线，1AAABC所以平面。
（2）4,5,3ACBCAB因为，ACAB所以。
分别以1,,ACABAA为,xyz轴轴，轴建立所示的空间直线坐标系。
则111(0,0,4),(0,3,0),(4,0,4),(0,3,4)ABCB，11(4,0,0)AC，1(0,3,4)AB，111(4,3,0),(0,0,4)BCBB，
设平面11ABC的法向量为1111(,,)nxyz，平面11BBC的法向量2222(,,)nxyz，
1111100ACnABn所以，11140340xyz所以，1(0,4,3)n所以可取。
1121200BCnBBn由可得22243040xyz可取2(3,4,0)n。
1212121616cos,5525||||nnnnnn所以。
由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为1625。
（3）点D的竖轴坐标为t(0
又1ADAB因为，936(4)40,425ttt所以，11925BDDEBCCC所以。
18. 【解析】（1）21ln'xyx，于是1'|1xy，因此l的方程为1yx；
（2）只需要证明01xx且时，ln1xxx。
设()(1)ln,0fxxxxx，则1(21)(1)'()21xxfxxxx，
当(0,1)x时，'()0fx；当(1,)x时，'()0fx。
所以()fx在（0，1）上单调递减，在(1,)上单调递增。
所以()fx在1x处取得极小值，也是最小值。
所以()(1)0fxf(1)x。
因此，除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方
19. 【解析】（1）线段OB的垂直平分线为1x，33(1,),(1,)22AC所以，||3AC所以，，所以菱形面积为11||||23322OBAC。
（2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC。则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆222xyr与椭圆22:14xWy的交点。
