大连理工大学10,11,12上学期工科数学分析基础试题答案

1 2010级工科数学分析基础期中考试题

一、填空题 (每题6分，共30分)

1．函数20()10bxabxxfxexx，)(lim0xfx ，若函数)(xf在0x点连续，则ba,满足 。

（答案 bab,）

2．xxxx1lim ， nnnnnnnnn2222211lim 。

（答案21,1e）

3．曲线teytexttcos2sin在1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。

（答案022,21yx）

4．1xyeyx，dy ，)0(y 。

（答案2,dxxeeyyxyx）

5．若22lim221xxbaxxx，则a ，b 。

（答案 5,4） 2 二、单项选择题 (每题4分,共20分)

1．当0x时，1132ax与xcos1是等价无穷小，则（ ）

A．32a， B．3a， C． 23a， D．2a

2．下列结论中不正确的是（ ）

A．可导奇函数的导数一定是偶函数；

B．可导偶函数的导数一定是奇函数；

C．可导周期函数的导数一定是周期函数；

D．可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；

3．设xxxxfsin)(3，则其（ ）

A．有无穷多个第一类间断点；

B．只有一个跳跃间断点；

C．只有两个可去间断点；

D．有三个可去间断点；

4．设xxxxf3)(，则使)0()(nf存在的最高阶数n为（ ）。

A．1 B．2 C． 3 D．4

5．若0)(sinlim30xxxfxx ， 则20)(1limxxfx为（ ）。

A．0； B．61； C． 1； D．

3

三．（10分）求xxxxxarctantan211lim0

四．（10分）设0,0,sin)()(xaxxxxgxf，其中)(xg具有二阶连续导数，0)0(g，1)0(g，（1）求a的值使)(xf连续；（2）求)(xf；（3）讨论)(xf连续性。

五．（10分）函数0,4sin10,60,arcsin)1ln()(23xxxaxxexxxxaxxfax 问a为何值，)(xf在0x处（1）连续；（2）为可去间断点；（3）为跳跃间断点；（4）为第二类间断点；

六．（10分）设141x， 21nnxx ),2,1(n，

（1）求极限nnxlim ； （2）求极限2112)2(4limnxnnnxx

七．（10分）设函数)(xf在ba,连续，ba,可导，证明：至少存在一点ba,，使bafff)()()(

4

2011级工科数学分析基础期中考试题

一、填空题 (每题6分，共30分)

1．nnnn11lim

；xxxxxtan)1sin1(2sinlim0 。

解 21221121lim11limennnnnnnnn，

2)01(2sinlimtan)1sin1(2sinlim00xxxxxxxx

2．设函数)(xyy由方程exyey确定，则dxdy ，曲线)(xyy在)1,0(点处切线方程为 。

解 0yyxyey，xeydxdyy，edxdyx10，切线方程为xey11

3．设函数)(xy由参数方程131333ttyttx确立，则函数)(xy单调增加的x的取值范围

是 ，曲线)(xyy下凸的x取值范围是 。

解 （1）2222331331dyttdxtt，当1t时，0dydx；当1t时，0dydx。

()xt单调增加，所以当1t时，3()5xt；当1t时，()3xt或()5xt。

从而函数)(xy单调增加的x的取值范围是(,3]和[5,)。

（2）22222234()4(1)3(1)(1)tddydyttdtdxdxdxttdt，显然，0t对应的点是拐点，曲线)(xyy下凸的x取值范围是[1,)。

4．设当0x时，)1(2bxaxex是比2x高阶的无穷小，则a ，b 。 5 解 )()21()1()1())(21()1(222222xoxaxbbxaxxoxxbxaxex，

所以21a，1b。

5．设xxxfsin)(3，则)0(f ，)0()2011(f 。

解 0)0(f， 0)0()2011(f。

二、单项选择题 (每题4分,共20分)

1．下列结论正确的是（ D ）

A．如果)(xf连续，则)(xf可导。

B．如果)(xf可导，则)(xf连续.

C．如果)(xf不存在，则)(xf不连续

D．如果)(xf可导，则)(xf连续.

2．数列nx极限是a的充要条件是（ C ）

A．对任意＞0，存在正整数N，当n＞N时有无穷多个nx落在),(aa中

B．对任意＞0，存在正整数N，当n＞N时有无穷多个nx落在),(aa外

C．对任意＞0，至多有有限多个nx落在),(aa外

D．以上结论均不对.

3．设xxxfsin1)(2，则其（ D ）

A有无穷多个第一类间断点； B 只有一个可去间断点；

C.有两个跳跃间断点； D 有两个可去间断点.

4．曲线21xxey的渐进线有（ B ）条。

A．1条； B．2条； C．3条； D．4条。

5．设)(xf在ax可导，则函数)(xf在ax不可导的充分条件是（ C ）

A．)(af＞0且)(af＞0； B．)(af＜0且)(af＜0；

C．)(af=0且)(af0； D．)(af=0且)(af=0. 6 三．（10分）求13cos221arctan1lim20xxxxx

解 原式=xexxx1lim3cos2ln0 （6分）

03cos2lnlim0xx （10分）

四．（10分）设0,0,sin)()(xaxxxxgxf，其中)(xg具有二阶连续导数，0)0(g，1)0(g，2)0(g，（1）求a的值使)(xf连续；（2）求)(xf；（3）讨论)(xf连续性。

解 (1) 0)cos)((lim00sin)(lim00xxgxxxgaxx （4分）

(2) 200sin)(lim)0()(lim)0(xxxgxfxffxx

=12)0(2sin)(lim2cos)(lim00gxxgxxxgxx

∴ 2(()cos)(()sin),0()10xgxxgxxxfxxx （8分）

(3) 200)sin)(()cos)((lim)(limxxxgxxgxxfxx

=xxxgxxgxxxgx2)cos)(()sin)((cos)(lim0

=)0(12)0(fg，因此)(xf在(-∞，+∞)连续。 （10分）

五．（10分）比较20122011和20112012的大小，并叙述理由。

解 设xxxfln)(，由2ln1)('xxxf，可知,当ex时)(xf单调减少 （5分）

若eab，则有bbaalnln，推出abbalnln，即有abba 7 2011201220122011 （10分） 所以六．（10分）)(xf＞0，0)0(f，证明函数xxf)(在)0,(和),0(内

单调增加。

证 2)()()(xxfxfxxxf （4分）

令)()()(xfxfxxg，)()(xfxxg，令0)(xg，得0x（唯一驻点），当0x时，0)(xg，当0x时，0)(xg，故)0(g为最小值，故0)0()0()(fgxg，∴0)(xxf，

即xxf)(单调增加。 （10分）

七．（10分）设)(xf在1,0连续，1,0可导，0)1(f，证：存在)1,0(0x使0)()(000xfxxnf，n为正整数。

证 令)()(xfxxFn （4分）

则)(xF在[0，1]连续，（0，1）可导，0)1()0(FF，由罗尔定理，至少存在)1,0(0x使0)(0xF，即 0))()(()()(0001000010xfxxnfxxfxxfnxnnn

又010nx，故0)()(000xfxxnf （10分）