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2003-2004《微积分》(上)试卷

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第 1 页 共 2 页 杭州商学院2003－2004学年《微积分》（上）试卷

班级：_________学号：_________姓名：_________成绩_________

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、已知()fx的定义域为1,4，则(1)(3)fxfx的定义域为_______________。

2、设()2arcsin3xfx，则其反函数1()fx_______________。

3、若21,1()1,1xxfxxx　　　，则((0))ff_______________。

4、2211lim(sinsin)1xxxxxxx_______________。

5、要使函数sin(sin)()xfxx在0x处连续，须补充定义(0)f_______________。

6、设23(1)(1)34()5()fxfxxx，则(1)f_______________。

7、设1()1xfxx，则dy_______________。

8、2()ln(1)fxx在0,1上满足拉格朗日中值定理的点_______________。

9、曲线21yxx的垂直渐近线是_______________。

10、2sinxdx_______________。

二、选择题（每小题2分，共10分）

1、若0lim()xxfx，0lim()xxgxk，k为常数，则必有（ ）。

（A）0lim()()xxfxgx （B）0()lim()gxxxfx

（C）0()lim()xxfxgx （D）0()lim()xxgxfx

2、下列函数在1,1内可微的有（ ）。

（A）23sinyxx （B）22sinyxx

（C）2cotyxx （D）sinyxx

3、若1()yx与2()yx的弹性分别是,ab，则12()()yyxyx弹性是（ ）。 第 2 页 共 2 页 （A）ab （B）ab （C）ab （D）(0)abb　

4、曲线13(2)yx在2,内（ ）。

（A）下降下凹 （B）上升上凹 （C）下降上凹 （D）上升下凹

5、设()Fx是()fx的一个原函数，则下式中正确的是（ ）。

（A）()ln()()fxdxFxCfx （B）()ln()()fxdxFxCfx

（C）()ln()()fxdxFxCFx （D）()ln()()FxdxFxCfx

三、计算题（每小题6分，共48分）

1、42lim(1)(34)nnnnn。

2、10lim()xxxxe。

3、设2()arctanln1fxxxx，求(1)f。

4、已知方程xyeexy确定了函数()yyx，求dy。

5、设函数f可微，且22(sin)(cos)yfxfx，求y。

6、22(tan3)xxxedx　。

7、92010420xdxxx。

8、2arcsinxxdx。

四、应用题（每小题2分，共18分）

1、当某商品以每件500元价格出售x件时，所获利润为2()2001000036xLxx（元），求平均成本最小时的产量及利润。

2、已知曲线2yax与lnyx相切，求：

（1）常数a；（2）切点处的切线方程；（3）该切线与两坐标轴所围图形的面积。

五、证明题（4分）

设函数()fx在,ab上连续，在,ab内可导，试证：存在点,ab，使得()()ffab。

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2003年IMO中国国家集训队选拔考试试题

2003年IMO中国国家集训队选拔考试试题

图

6

BC=(2

+3)

x,AC

=3

BC

=3(2

+3)

x.

应用勾股定理

,

得

3

x2

+3

(3+2)2

x2

=1

,求出

x2

.

9.48%.

设甲进价为

a元

,则售出价为

11

4

a元

;

乙进价为

b元

,则售出价为

11

6

b元

.

再设甲售出

x件

,则乙售出3

2x件

.列方程

01

4

ax+01

6

b×3

2x

ax+3

2bx=01

5

.

解得

a=3

2b.

因此

,当售出甲、乙两件数都等于

y件时

,总利润为

01

4

ay+01

6

by

ay+

by=01

4

a+01

6

b

a+

b=48%.

10.505.

AB=10

,BC=100

.

记

OA=

OD=

r.

当

D与

C重合时

,如图

6

,半

径

r为最大

,就是标出的最大刻

度

,此时

,

OH=

r-10

,AH=

BC=100

,

所以

,1002

+(

r-10)2

=

r2

.

解得

r=505

.

(华中师范大学数学系　陈传理　提供)2003年

IMO中国国家集训队选拔考试试题

(

2003-03-31　

8:00～

12:30)

一、在锐角△

ABC中

,AD是∠

A的内角平分线

,

点

D在边

BC上

,过点

D分别作

DE⊥

AC、

DF⊥

AB,

垂足分别为

E、

F,连结

BE、

CF,它们相交于点

H,

△

AFH的外接圆交

BE于点

G.求证

:以线段

BG、

GE、

BF组成的三角形是直角三角形

.

(熊　斌　命题)

二、设

AΑ

{0

,1

,2

,…

,29

},满足

:对任何整数

k

及

A中任意数

a、

b(

a、

b可以相同)

,a+

b+30

k均

不是两个相邻整数之积

.试定出所有元素个数最多

的

A.(陈永高　命题)

三、设

A<

{(

a

1,a

2,…

,a

n)|

a

i∈

R,

i=1

,2

,…

,

n},A是有限集

.对任意的α

=(

a

1,a

2,…

,a

n)∈

A,β

=(

b

1,b

2,…

,b

n)∈

A,定义

:

γ

(α

,β

)=(|

a

1-

b

1|

,|

a

2-

b

2|

,…

,|

a

n-

b

n|)

,

D(

A)=

{γ

(α

,β

)|α

∈

A,β

∈

A}.

试证

:|

D(

A)|≥

|

A|

.(冷岗松　命题)(2003-04-01　

8

:00～

12

:30)

四、求所有正整数集上到实数集的函数

f,使得

(1)对任意

n≥

1

,f(

n+1)≥

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析)

考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编17 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (2008年)已知f(x，y)=则( )

A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在。

B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在

C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在。

D．fx’(0，0)，fy’(0，0)都不存在。

正确答案：B

解析：故fx’(0，0)不存在。所以fy’(0，0)存在。故选B。 知识模块：微积分

2． (2016年)已知函数f(x，y)=则( )

A．fx’-fy’=0。

B．fx’+fy’=0。

C．fx’-fy’=f。

D．fx’+fy’=f。

正确答案：D

解析：由复合函数求导法则故fx’+fy’=f。 知识模块：微积分

3． (2003年)设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( )

A．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。

B．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。

C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。

D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。

正确答案：A

解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy’(x0，y0)=0，即f(x0，y)在y=y0处的导数等于零，故应选A。 本题也可用排除法分析，取f(x，y)=x2+y2，在(0，0)处可微且取得极小值，并且有f(0，y)=y2，可排除B，C，D，故正确选项为A。 知识模块：微积分

4． (2017年)二元函数z=xy(3一x—y)的极值点是( )

A．(0，0)。

B．(0，3)。

C．(3，0)。

D．(1，1)。

正确答案：D

解析：根据二元函数极值点的条件 zx’=y(3一x—y)一xy=y(3—2x—y)，

考研资料数学高数部分试卷与解答2003(1).doc

考研资料数学高数部分试卷与解答2003(1).doc

考研 《考研数学试卷》2003高数部分

一、填空题

[2003.一.1.4]21ln10limcosxxx1e

[2003.四.1.4]20lim1ln1xxx2e

[2003.二.1.4]若0x时，12411ax与sinxx是等价无穷小，则a4

[2003.三.1.4]设1cos,00,0xxfxxx，其导数在0x处连续，则的取值范围是2

[2003.二.2.4]设函数fx由方程42lnxyxy所确定，则曲线yfx在点1,1处的切线方程是0xy

[2003.三.2.4]已知曲线323yxaxb与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b64a

[2003.四.2.4]11xxxedx1212e

[2003.二.4.4]设曲线的极坐标方程为0aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的面积为4114aea

[2003.一.2.4]曲面22zxy与平面240xyz平行的切平面的方程为245xyz

[2003.三.3.4][2003.四.3.4]设,010,0,axafxgxothers，而D表示全平面，则

DIfxgyxdxdy2a

[2003.二.3.4]2xy的麦克劳林公式中nx项的系数是ln2!nn

[2003.一.3.4]设20cosnnxanxx，则2a1

二、单项选择题

考研 [2003.一.2.4][2003.二.1.4]设,,nnnabc均为非负数列，且lim0,lim1nnnnab，lim0nnc, 则必有（D）

A. nnab对任意n成立 B. nnbc对任意n成立

C. 极限limnnnac不存在 D. 极限limnnnbc不存在

2003高考试题——数学理(全国卷)

2003高考试题——数学理(全国卷)

1

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知xtgxx2,54cos),0,2(则 （ ）

A．247 B．247 C．724 D．724

2．圆锥曲线的准线方程是2cossin8 （ ）

A．2cos B．2cos C．2sin D．2sin

3．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(xxfxxxxfx （ ）

A．（－1，1） B．（－1，+）

C．),0()2,( D．),1()1,(

4．函数)cos(sinsin2xxxy的最大值为 （ ）

A．21 B．12 C．2 D．2

5．已知圆截得被当直线及直线ClyxlaxaxC.03:)0(4)2()(:22的弦长为32时，则a=

A．2 B．22 C．12 D．12

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A．22R B．249R C．238R D．223r

7．已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成的一个首项为41的等差数列，则||nm（ ）

A．1 B．43 C．21 D．83

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(xyFM、N两点，MN中点的横坐标为,32则此双曲线的方程是 （ ）

A．14322yx B．13422yx C．12522yx D．15222yx

9．函数)(]23,2[,sin)(1xfxxxf的反函数 （ ）

A．]1,1[,arcsinxx B．]1,1[,arcsinxx 2