鲁教版2019七年级数学第一章三角形自主学习基础达标检测题1（含答案）1．下列说法正确的是（）A．三角形的三条高至少有一条在三角形内B．直角三角形只有一条高C．三角形的角平分线其实就是角的平分线D．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部2．如图所示，OD=OB,AD∥BC,则全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对3．下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC中BC边上的高（）A．B．C．D．4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB 于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于（）A．30°B．40°C．35°D．50°5．如图，已知AC∥BD，要使△ABC≌△BAD需再补充一个条件，下列条件中,不能．．选择的是（）A．BC∥AD B．AC=BD C．BC=AD D．∠C=∠D6．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD 和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（）A．①②B．③⑤C．①③④D．①④⑤7．如图所示的图形是全等图形的是（）A．B．C．D．8．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是( )A．AO平分∠EAF B．AO垂直EF C．GH垂直平分EF D．AO=OF9．△ABC中，∠A=45°，∠B=63°，则∠C=（）A．72°B．92°C．108°D．180°10．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．现有下列结论：①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③AD上任意一点到AB、AC的距离相等；④AD上任意一点到BC两端点的距离相等．其中正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是________（填SAS，ASA，AAS，SSS）．12．如图，∠A＝12°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG，则∠F＝_____°．13．如图，△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∠A1BC与∠A1CD 的平分线交于A2，继续作∠A2BC与∠A2CD的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠A n，当∠A＝64°时，∠A2的度数为_____．14．如图，在△ABC中，∠C=40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于_______.15．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F 分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝_____．16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD．若∠ACP＝15°，则∠BAD的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB＝BC，在BC上分别取点M、N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=_________°.18．从3cm、5cm、7cm、9cm的四根小棒中任取三根，能围成_____个三角形．19．如图所示,公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,则下列说法中:①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远;②小明从家到书店与从家到学校一样远;③小颖从家到书店与从家到学校一样远;④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远.正确的是__.(填写序号)20．如图，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_____cm，∠DPE＝_____°．三、解答题21．如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA＝BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P．（1）试判断△PCE的形状，并请说明理由；（2）若∠HAE＝120°，AB＝3，求EF的长．22．如图，点，，，在同一条直线上，，，.（1）求证：；（2）当，时，求的度数.23．如图所示,以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC、BE 相交于点O.(1)求证:DC=BE；(2)求∠BOC的度数；(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数是否变化?若不变化,请求出∠BOC的度数;若发生变化,请说明理由.24．如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点，请按下列要求完成作图尺规作图，不写作法，保留作图痕迹作直线DE，使直线；在直线DE上确定一点P，使点P到B，D两点的距离相等．25．已知，在平面直角坐标系中，点A(o,m),点B(n,0)，m, n满足.(1)求A,B的坐标.(2)如图1, E为第二象限内直线AB上的一点，且满足，求点E的横坐标.(3)如图2,平移线段BA至OC, B与O是对应点，A与C是对应点，连接AC, E为BA 的延长线上一点，连接EO, OF平分∠COE, AF平分∠EAC, OF交AF于点F,若∠ABO+∠OEB=α,请在图2中将图形补充完整，并求∠F (用含α的式子表示)26．如图所示，已知△ABD，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠BAC，BD=BE，连接DE，求证：∠BDE=∠C．27．如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD.BE平分∠ABC，点H是BC边的中点.连接DH，交BE于点G.连接CG.（1）求证：△ADC≌△FDB；（2）求证：（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论.28．如图，已知AD∥BC，AD＝BC，AE＝CF，点E，F在直线AC上．求证：DE∥BF.参考答案1．A【解析】【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；故选A．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据已知条件证明四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形对角线互相平分找到相等的边,利用SSS即可证明全等.【详解】解：由OD=OB,AD∥BC,可知四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形对角线互相平分可得：△ABO≌△CDO（SSS）, △ADO≌△CBO（SSS）, △ADC≌△CBA（SSS）, △ABD≌△CDB（SSS）,一共4对,故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定,属于简单题,熟悉平行四边形的性质是解题关键.3．D【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线．【详解】过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高AD，所以画法正确的是D．故选D．【点睛】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．4．A【解析】【分析】根据垂直平分线的性质与等腰三角形的性质即可求解.【详解】∵AB＝AC，∠A＝40°∴∠C=∠ABC=70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于点D，∴∠ABE=∠A＝40°∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.5．C【解析】【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC∥BD，即∠CAB=∠DBA，AB为公共边，故添加AC=BD或∠DAB=∠CBA或∠C=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS判定△ABC≌△BAD．【详解】∵AC∥BD，∴∠CAB=∠DBA，∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD，∴添加AC=BD或∠C=∠D后可分别根据SAS、AAS判定△ABC≌△BAD，故B、D选项不符合题意；A、∵BC∥AD，∴∠CBA=∠DAB，∴添加BC//AD后可根据ASA判定△ABC≌△BAD，故A选项不符合题意；而添加C选项会出现SSA，SSA不能证明三角形全等，故选C.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．C【解析】【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．【详解】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；∴∠F=∠DEC，∴BF∥CE，故④正确；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，故⑤错误，正确的结论为：①③④，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：如图所示的图形是全等图形的是B，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的定义．8．C【解析】【分析】通过垂直平分线的做法即可解答.【详解】解：通过垂直平分线的做法可知，GH垂直平分线段EF，故选：C.【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的定理，熟练掌握是解题的关键.9．A【解析】【分析】根据三角形内角和等于180°即可解答.【详解】解：因为△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，且三角形内角和等于180°，即∠C＝180°－45°－63°＝72°.故选A.【点睛】本题掌握三角形内角和等于180°是解题关键.10．D【解析】【分析】根据角平分线的性质可知①正确，利用等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线三线合一，可得②④正确；利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得③．【详解】解：①∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC，故①正确；②∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．故②正确；③∵AD是△ABC的角平分线，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴AD上任意一点到边AB、AC的距离相等．故③正确；④∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，即AD是BC的垂直平分线，∴AD上任意一点到BC两端点的距离相等；故④正确．所以①、②、③、④均正确，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质等知识．根据相关知识对各选项进行逐个验证是正确解答本题的关键．11．SSS【解析】【分析】根据作图过程以及全等三角形的判定方法进行判断解答．【详解】解：根据作图过程可知，OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，∴利用的是三边对应相等，两三角形全等，即作图原理是SSS．故答案为：SSS．【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角的理论依据，数学问题不仅要知道是什么，还有知道为什么，追根朔源方可学好．12．42【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据平角的定义、三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：∵∠A＝12°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣12°＝78°，∴∠DCE＝∠ACB＝78°，∴∠BCD＝180°﹣78°﹣78°＝24°，∴∠BDC＝90°﹣24°＝66°，∴∠EDF＝∠ADC＝66°，∴∠CDE＝180°﹣66°﹣66°＝48°，∴∠FEG＝∠CED＝180°﹣78°﹣48°＝54°，∴∠F＝∠FEG﹣∠A＝42°，故答案为：42【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．13．16°【解析】【分析】根据∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据∠A1CD是△A1BC的外角，可得∠A1=∠A1CD-∠A1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A，同理可得∠A2=∠A1．【详解】∵△ABC中，∠B内角平分线和∠C外角平分线交于一点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∵∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=32°，同理可得，∠A2=∠A1=×32°=16°，故答案为：16°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的运用，解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．220º【解析】【分析】根据平角的性质与三角形外角的性质即可求解.【详解】如图，∠2=∠3+∠C，又∠1=180°-∠3，∴∠1+∠2=180°-∠3+∠3+∠C=180°+40°=220º【点睛】此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知外角的性质.15．30°【解析】【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝4，求出α的度数即可．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝4，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，∴OC＝OD＝CD＝4，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故答案为：30°【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．16．30°或120°【解析】【分析】根据题意可作图，分情况进行讨论：①CP在三角形外，②CP在三角形内部，利用等腰直角三角形与对称性即可求解.【详解】如图①CP在三角形外，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB=45°，∵点A关于直线CP的对称点为D，连接AD．∠ACP＝15°，∴∠CAP=90°-∠ACP=75°，∴∠BAD=∠CAB+∠CAP=120°；②CP在三角形内部时，∠BAD=∠CAB-∠CAP=30°.【点睛】此题主要考查等腰直角三角形与对称点的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解. 17．60【解析】【分析】先根据AB=BC，∠BAM=∠NAC可知∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．再由MN=NA可得∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，故∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM，由三角形内角和定理可知∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°，再根据∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°可知∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN，由此可得出结论．【详解】BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN.∵MN=NA，∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM∴∠B+2(∠B+3∠BAM)=180°,即∠B+2∠BAM=60°又∵∠B+2(∠MAN+2∠BAM)=180°,即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°,即2(∠BAM+∠MAN)=180°−60°=120°∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°.故答案为：60.【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质. 18．3【分析】三角形三条边的特性：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边．根据此特性，进行判断．【详解】①3+5＞7，所以3厘米、5厘米、7厘米的3根小棒能围成一个三角形；②3+5＜9，所以3厘米、5厘米、9厘米的3根小棒不能围成一个三角形；③3+7＞9，所以3厘米、7厘米、9厘米的3根小棒能围成一个三角形；④5+7＞9，所以5厘米、7厘米、9厘米的3根小棒能围成一个三角形；有4根小棒，它们的长度分别是3cm，5cm，7cm，9cm，从中任取3根小棒围成一个三角形，可以有3种不同的取法．故答案为：3【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，掌握：任意两边的长度和大于第三边，任意两边的长度差小于第三边是解题的关键．19．②③【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质由公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线得到CA=CD,BA=BD ,然后分别进行判断.【详解】解:∵公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线,∴CA=CD,BA=BD,即小明从家到书店与从家到学校一样远;小颖从家到书店与从家到学校一样远.故答案为②③.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,属于简单题,熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键.20．8 56．【解析】（1）分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．（2）根据三角形内角和定理即可求得．【详解】（1）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，∴∠DPC＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，∴∠DPC＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．故答案是：8，56．【点睛】考查了平行线的判定，内角和定理，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．21．（1）△PCE是等腰直角三角形（2）6【解析】【分析】（1）根据∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°，求证∠CPE＝90°，然后即可判断三角形的形状．（2）根据∠HEB＝∠H＝45°得HB＝BE，再根据BA＝BC和∠HAE＝120°，利用ASA 求证△HAE≌△CEF，得AE＝EF，又因为AE＝2AB．然后即可求得EF．【详解】（1）△PCE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°∠PEC＝45°∴∠PCE＝∠PEC∠CPE＝90°∴△PCE是等腰直角三角形（2）∵∠HEB＝∠H＝45°∴HB＝BE∵BA＝BC∴AH＝CE而∠HAE＝120°∴∠BAE＝60°，∠AEB＝30°又∵∠AEF＝90°∴∠CEF＝120°＝∠HAE而∠H＝∠FCE＝45°∴△HAE≌△CEF（ASA）∴AE＝EF又∵AE＝2AB＝2×3＝6∴EF＝6【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，解答（2）的关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF．22．（1）见解析；（2）67°.【解析】【分析】(1) 由SAS证明△ABC≌△DFE即可；(2)根据三角形全等的性质即可求解.【详解】（1）证明：，即，，，，（2）解：，，，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．23．(1)证明见解析；(2)∠BOC=120°；(3)当∠BAC的度数发生变化时,∠BOC的度数不变.∠BOC=120°.【解析】【分析】（1）易证∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，即可求得∠DAC=∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE；（2）根据（1）中结论可得∠ADC=∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题；（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关．【详解】（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS）；∴DC=BE（2）解：∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°，∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°，（3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，∴∠BOC和∠BAC大小无关．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△DAC≌△BAE是解题的关键．24．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)由同位角相等两直线平行可作出.（2）由中垂线的性质可作出BD的中垂线，与直线DE的交点即所求.【详解】如图，以D为顶点，DC为边作一个角等于，作出BD中垂线；两直线交点为P，点P即为所求．【点睛】本题考查了几何基本作图，熟练掌握相关作图方法是解题关键.25．（1）A(0,3),B(4,0);（2）;（3）【解析】【分析】（1）根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后写出点A、B的坐标即可；（2）设点E的横坐标为a，然后利用三角形的面积列式求出a的值，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求解即可；（3）根据平移的性质可得AB∥OC，AC∥OB，根据平行线的性质可得∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，然后根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）由非负数的性质得，m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，所以，A（0，3）B（4，0）；（2）设点E的横坐标为a，，，解得a=，设直线AB的解析式为y=kx+b，则解得所以，直线AB的解析式为，当时，，所以，点E的坐标为；（3）由平移的性质，AB∥OC，AC∥OB，∴∠OEB=∠COE，∠CAE=∠ABO，∵OF平分∠COE，AF平分∠EAC，，由三角形的内角和定理，∠OEB+∠EAF=∠F+∠EOF，，，∵∠ABO+∠OEB=α，.【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，难点在于（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理列出方程．26．见解析【解析】【分析】由于AD是∠BAC的角平分线，因此∠EAD=∠CAD，再加上两个条件AE=AC，AD=AD，可利用SAS可证△ADE≌△ADC，再利用全等三角形的性质∠C=∠E，由BD=BE，得∠BDE=∠E，由等量代换可得结论．【详解】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，在△ADE和△ADC中，∵，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠E=∠C，∵BE=BD，∴∠E=∠BDE，∴∠BDE=∠C．【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定和性质、等边对等角，熟练掌握全等三角形的性质和判定是关键．27．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状. 【详解】（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC∵CD⊥AB∴∠ACD=∠ABE（同角的余角相等）又∵CD=BD∴△ADC≌△FDB（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC∴AE=CE则CE=AC由（1）知：△ADC≌△FDB∴AC=BF∴CE=BF（3）△ECG为等腰直角三角形，理由如下：由点H是BC的中点，得GH垂直平分BC，从而有CG=BG，则∠EGC=2∠CBG=∠ABC=45°，又∵BE⊥AC，故△ECG为等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，此题难度不是很大．28．证明见解析【解析】【分析】先判定∠DAE=∠BCF，再根据SAS判定△DAE≌△BCF，得出∠E=∠F，进而得到DE∥BF．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠1=∠2，∴∠DAE=∠BCF，在△DAE和△BCF，∴△DAE≌△BCF（SAS），∴∠E=∠F，∴DE∥BF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解决问题的关键是找出全等三角形．全等三角形的性质是证明线段、角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．。
