北京十一学校2013级四年制高中第2学段教与学质量诊断

x 2 2 x 3, 0 x 1 2．已知函数 f ( x ) ，则此函数的值域为 2 x 4, 3 x 0
3．对任意的函数 f ( x) ，定义函数 f ( x) 的正部 f ( x) 如下：
f ( x), f ( x) 0 ； f ( x) max{ f ( x), 0} f ( x) 0 0,
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第 II 卷（共 40 分）
15． （本题 8 分）数学课上老师讲解了下面这个例题，并与几位同学进行了讨论， 请阅读下面分析和解答过程，回答后面的 3 个问题： 例：已知函数 f ( x 2 3x) x 4 6 x3 11x 2 6 x 3 ，求 f (2) ． 分析 1：要求函数值 f (2) ，一般容易想到先求出对应法则 y f ( x) ． 解法 1：由于 f ( x 2 3x) x 4 6 x3 11x 2 6 x 3
( x 2 3x)2 2( x 2 3x) 3 ，
再把解析式两边的 x 2 3x 用 x 代替，所以可得 f ( x) x 2 2 x 3 ． 令 x 2 ，因此可得 f (2) 22 2 2 3 3 ． 分析 2：要求函数值 f (2) ，只需找到适当的 x ，使得 x 2 3x 2 即可． 解法 2：容易看出，当 x 1 时， x 2 3x 2 ． 于是，在 f ( x 2 3x) x 4 6 x3 11x 2 6 x 3 中，令 x 1 ，于是就有
11 ． （本题 8 分）设函数 f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数，且对任意的 x ，
y (0, ) ，都有 f ( xy ) 1 f ( x) f ( y) ．
（1）证明：当 x (1, ) 时， f ( x) 1 ； （2 分）
x （2）证明：对任意 x ， y (0, ) ，有 f f ( x ) f ( y ) 1 ； （3 分） y
（2）C 同学为了计算 f (3) ，令 x 2 3x 3 ，但此方程却无解，请解释其中的原 因． （3 分）
（3）D 同学分别讨论了 x 1 和 x 2 两种情况，都得到了 f (2) 3 ，这是一种巧 合还是必然？请说明原因． （3 分）
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16． （本题 12 分） （1）已知定义在 R 上的偶函数 y f ( x) ，其图象关于直线 x 1 对称，且 x [1,2] 时， f ( x) x 2 2 x ． ① 求 f ( x) 在区间 [1,1] 上的解析式； （2 分）
f ( x 2 3x) x 4 6 x3 11x 2 6 x 3 中，令 x 2 ，得到 f (2) 24 6 23 11 22 6 2 3 3 ．
而这两种情况下 f (2) 的值是一致的，故 f (2) 3 ． 回答下列问题： （1）A 同学计算 f (3) 的过程和结果是否正确？（2 分）
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17． （本题 20 分）对勾函数是一种类似于反比例函数的函数，又被称为“双勾函 b 数”、 “勾函数” ，它是指形如 f ( x ) ax ( a 0 , b 0 )的函数． x 1 (1) 求函数 f ( x ) x 的单调区间． （写出结果即可） （2 分） x
(2) 求函数 f ( x ) x
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1 的值域． （2 分） x
(3) 求 f ( x )
1 x 当 x 1 时的最小值． （3 分） x 1
(4) 对于 m R ，讨论方程 x
1 m 的解的个数． （3 分） x
(5) 对于正实数 a, b ，求 f ( x ) ax
b ( x 0 )的最小值． （2 分） x
④ 求 f ( x) 在区间 [2012,2014] 上的解析式； （2 分）
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（2）若偶函数 y f ( x) 定义域是 R ，其图象关于直线 x c 对称，其中 c R 且 （2 分） c 0 ．试证明： f ( x ) 是一个周期函数．
（3）若函数 y f ( x) 定义域是 R ，且其图象关于直线 x a 、 x b 都对称，这里 （2 分） a b ，请问 f ( x ) 是否也一定是周期函数？请说明理由．
（4） y x 0.6 ； （6） y x 2.4 ； ．（填写函数对应的序号）
10 ． 已知 f ( x) 是偶函数，g ( x) 是奇函数， 且满足 f ( x ) g ( x ) 的解析式是 ．
1 ， 则函数 f ( x) x 1
二 、解答题（本大题共 4 小题，共 30 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
3x ， 3x 3
（1）证明： f ( x ) 的图象是中心对称图形．并给出对称中心的坐标． （3 分）
1 （2）求 f 2014 2 f 2014 2013 （4 分） f 的值． 2014
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1 14． （本题 8 分）已知函数 f ( x ) lg ax 2 (a 2) x ． 4
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x 2 3x 3 ．于是，他想，既然看不出来，我就动手去算．于是，他就开始解
一元二次方程 x 2 3x 3 ．结果，让他意想不到的是，该一元二次方程竟然无 解． 难道是计算错误吗？他又重算了一遍， 结果还是无解． 难道是出错题了？…… D 同学对计算 f (2) 的值时使用的解法 2 提出了质疑，他认为解法 2 只考虑 了当 x 1 时， x 2 3x 2 ，此时 f (2) 14 6 13 11 12 6 1 3 3 ．另外还 必 须 要 考 虑 x 2 时 ， 也 有 x 2 3x 2 这 种 情 况 ， 此 时 在
______________________． 4 ． 已 知 函 数 f ( 2x 1 ) 的 定 义 域 为 [ 1, 1， ] 则 函 数 f ( x 2 3 )的 定 义 域 为 ___________________． 5 ． 若 函 数 f ( x) 围 ． 的单调递增区间有 ，
P( x, y) 向 y 轴、直线 y 2 x 分别作平行线 PM 、 PN ，与直线 y 2 x 、 y 轴分别
交于点 M 、 N ，延长 PM ，交 x 轴于点 Q ，平行线 PM 、 PN 与直线 y 2 x 、 y 轴围成了平行四边形 PMON ，求平行四边形 PMON 的面积 S ． （3 分）
ax 3a 在 区 间 ( , 2 )上 单 调 递 增 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 xa
6． 设函数 f ( x) 2 x ，g ( x) x 2 2 x 1 ， 则 f( g( x)
g ( f ( x)) 的单调递减区间有
． ，最小的数
7 ． 0.20.3 , 0.20.2 , 0.30.2 , log0.3 0.2 , ( 0.3)0.2 中最大的数是 是 ．
定义函数 f ( x) 的负部 f ( x) 如下：
f ( x), f ( x) 0 ； f ( x) max{ f ( x), 0} f ( x) 0 0,
设
f ( x) x 2 1 ， g ( x) 2 f ( x) f ( x) ， 则 g ( x ) 的 解 析 式 是
f (2) 14 6 13 11 12 6 1 3 3 ．
老师在讲完例 9 之后，随后又补充了一问： f (3) ？ A、B、C 三位同学看了之后，都憋不住问老师：这不就是照葫芦画瓢吗？ 老师笑着说： “那你们就照着画吧？！ A 同学选择了解法 1（他觉得虽然一般情况下解法 2 比解法 1 更简单，但此 时解法 1 中不需要再去求 y f ( x) ，可以直接用 f ( x) x 2 2 x 3 ） ，于是，他把
9(6) 求ຫໍສະໝຸດ 数 f ( x ) x2 4 x 2 的值域． （2 分） x
(7) 求函数 f ( x)
x2 x 1 的值域． （3 分） x2 2 x 2
(8) 如下图所示，在对勾函数 f ( x ) 2 x
3 的图像上任取一点 P( x, y) ，过点 x
北京十一学校 2013 级四年制高中第 2 学段教与学质量诊断（2014.1） 数学 V
总分：100 分 时间：120 分钟 诊断设计者：潘国双 龚 泽 杨文学 于凤军 第 I 卷（共 60 分） 一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．已知映射 f : A B ，其中 A {a, b, c} ， B {1,2,3} ,则满足 f (a) f (b) f (c) 的满射 f 有 个． ．
1 ② 求 f 、 2
5 f 、 2
9 （2 分） f ； 2
③ 对于函数 y g ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域 内的每一个值时，g ( x T ) g ( x) 都成立， 那么就把函数 y g ( x ) 叫做周期函数， 常数 T 称为这个函数的一个周期． 请证明 f ( x ) 是一个周期函数． （2 分）
1
8 ．已知函数 f ( x )
x3 2 2 ，则 f 1 = 3 x 1 3
．
9 ．考虑下列函数： （1） y
2x 1 ； 2x 1
（2） y log a
2 x ， （ a 0 且 a 1） ； 2 x
（3） y log2 ( x 2 1 x) ； （ 5） y x 0.75 ； 其中是奇函数的是
（1）若函数 f ( x) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； （3 分） （2）若函数 f ( x) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围； （3 分） （3）是否存在二次函数 t ax2 bx c ，使得函数 f ( x) lg(ax 2 bx c) 的定义域 和值域均为 R ？请说明原因． （2 分）