经典课件：空间几何体的结构及其三视图和直观图复习课

1．多面体的结构特征

2．旋转体的形成

几何体 旋转图形 旋转轴

圆柱

矩形 任一边所在的直线

圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线

圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线

球 半圆 直径所在的直线

3.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

【知识拓展】

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变” 坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.

“三不变” 平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × )

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × )

§8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

2014高考会这样考 1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用．

复习备考要这样做 1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．

1． 多面体的结构特征

(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．

2． 旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．

3． 空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

4． 空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴． (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

[难点正本 疑点清源]

第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[学生用书P136]

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体 结构特征

棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行

棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

(2)旋转体的形成

几何体 旋转图形 旋转轴

圆柱 矩形 矩形一边所在的直线

或对边中点连线所在直线

圆锥 直角三角形或等腰三角形 一直角边所在的直线或等腰

三角形底边上的高所在直线 圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或

等腰梯形上下底中点

连线所在直线

球

半圆或圆 直径所在的直线

2.三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在的平面垂直；

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

常用结论

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形．

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形．

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形．

2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”坐标轴的夹角改变与y轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变 “三不变”平行性不改变与x，z轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变

空间几何体的结构、三视图和直观图

一、空间几何体的结构特征

例1（见书本P103）

二、三视图

1.图形还原

例2（1）如果一个几何体三视图如图所示，则几何体的表面积是 ；

222侧视图俯视图正视图

（2）如果一个几何体三视图如图所示，其中虚线互相垂直，则几何体的体积是 ；

222侧视图俯视图正视图

（3）一个正方体截去两个角后所得的正视图与侧视图如图所示，则侧视图为 ；

侧视图正视图

DCBA

(4)某几何体三视图如图所示，其中侧视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则几何体的体积是 ；

2224侧视图俯视图正视图

(5)若干个单位正方体搭成的几何体，其正视图与侧视图都如图所示，则几何体的最小体积是 ；

2.投影分析

例3(1)已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的面积是 ；

333

(2)已知一个正四面体的俯视图为如图所示的正三角形，其边长为1，则其侧视图的面积是 ，正视图的面积是 ；

(3)有一个棱长为1的正方体，按任意方向作正投影，其投影面积的最大值为 。

三、直观图

原图面积S与直观图面积'S关系:'24SS

例4（见书本P103例3）