精品教育人教版高中物理选修3-5学案：第十六章习题课：动量和能量的综合应用

小学+初中+高中

小学+初中+高中 习题课：动量和能量的综合应用

[学习目标] 1.熟练掌握动量守恒定律的运用.2.利用动量守恒定律结合能量守恒解决相关功能关系问题．

一、滑块—木板模型

1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．

2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．

3．滑块若未滑离木板时最后二者有共同速度，机械能损失最多．

例1 如图1所示，在光滑的水平面上有一质量为M的长木板，以速度v0向右做匀速直线运动，将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：

图1

(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？

(2)它们相对静止时，小铁块与木板上的A点距离多远？

(3)在全过程中有多少机械能转化为内能？

解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒．以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得，

Mv0＝(M＋m)v′，则v′＝Mv0M＋m.

(2)由功能关系可得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx相＝12Mv 20小学+初中+高中

小学+初中+高中 －12(M＋m)v′2.

解得x相＝Mv 202μgM＋m.

(3)方法一：由能量守恒定律可得，

Q＝12Mv20－12(M＋m)v′2

＝Mmv 202M＋m

方法二：根据功能关系，转化成的内能等于系统克服摩擦力做的功，

即ΔE＝Q＝μmg·x相＝Mmv 202M＋m.

答案 (1)Mv0M＋m (2)Mv 202μgM＋m (3)Mmv 202M＋m

例2 如图2所示，光滑水平桌面上有长L＝2 m的挡板C，质量mC＝5 kg，在其正中央并排放着两个小滑块A和B，mA＝1 kg，mB＝3 kg，开始时三个物体都静止．在A、B间放有少量塑胶炸药，爆炸后A以6 m/s的速度水平向左运动，A、B中任意一块与挡板C碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：

图2

(1)当两滑块A、B都与挡板C碰撞后，C的速度是多大；

(2)A、C碰撞过程中损失的机械能．

解析 (1)A、B、C系统动量守恒，有

0＝(mA＋mB＋mC)vC，

解得vC＝0.

(2)炸药爆炸时A、B系统动量守恒，有

mAvA＝mBvB 小学+初中+高中

小学+初中+高中 解得：vB＝2 m/s

所以A先与C碰撞，

A、C碰撞前后系统动量守恒，有

mAvA＝(mA＋mC)v

解得v＝1 m/s

A、C碰撞过程中损失的机械能ΔE＝12mAv 2A－12(mA＋mC)v2＝15 J.

答案 (1)0 (2)15 J

二、子弹打木块模型

1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．

2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．

3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．

例3 如图3所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：

图3

(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离；

(2)射入的过程中，系统损失的机械能；

(3)子弹在木块中打入的深度．

解析 因子弹未射出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．

(1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得：mv＝(M＋m)v′ ①

二者一起沿地面滑动，前进的距离为x，由动能定理得： 小学+初中+高中

小学+初中+高中 －μ(M＋m)gx＝0－12(M＋m)v′2 ②

由①②两式解得：x＝m2v22M＋m2μg

(2)射入过程中损失的机械能

ΔE＝12mv2－12(M＋m)v′2 ③

解得：ΔE＝Mmv22M＋m.

(3)设子弹在木块中打入的深度，即子弹相对于木块的位移为x相对，

则ΔE＝μmgx相对

得：x相对＝ΔEμmg＝Mv22μgM＋m.

答案 (1)m2v22M＋m2μg (2)Mmv22M＋m

(3)Mv22μgM＋m

三、弹簧类模型

1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒．

2．整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．

3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大．

例4 两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图4所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中：

图4

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？ 小学+初中+高中

小学+初中+高中 (2)系统中弹性势能的最大值是多少？

解析 (1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A、B、C三者组成的系统动量守恒得，(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC，

解得vABC＝2＋2×62＋2＋4 m/s＝3 m/s.

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，

则mBv＝(mB＋mC)vBC得：

vBC＝2×62＋4 m/s＝2 m/s，

设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，

根据能量守恒Ep＝12(mB＋mC)v 2BC＋12mAv2－12(mA＋mB＋mC)v 2ABC

＝12×(2＋4)×22 J＋12×2×62 J－12×(2＋2＋4)×32 J＝12 J.

答案 (1)3 m/s

(2)12 J

总结提升

1．含有弹簧类的碰撞问题，要特别注意物块碰撞中机械能可能转化为内能，所以全过程看系统机械能往往不守恒．

2．处理动量和能量结合问题时应注意的问题

(1)守恒条件：动量守恒条件是系统所受合外力为零，而机械能守恒条件是合外力做的功为零．

(2)分析重点：判断动量是否守恒研究系统的受力情况，而判断机械能是否守恒及能量的转化情况研究系统的做功情况．

(3)表达式：动量为矢量式，能量为标量式．

(4)注意：某一过程中系统动量守恒，但机械能不一定守恒，反之，机械能守恒的过程动量不一定守恒． 小学+初中+高中

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1．(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图5所示，上述两种情况相比较(

)

图5

A．子弹对滑块做功一样多

B．子弹对滑块做的功不一样多

C．系统产生的热量一样多

D．系统产生的热量不一定多

答案 AC

解析 两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v共，由动量守恒定律可得mv＝(M＋m)v共，得v共＝mM＋mv；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A正确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C正确．

2．(多选)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ.初始时小物块停在箱子正中间，如图6所示．现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性碰撞，则整个过程中，系统损失的动能为(

)

图6

A.12mv2 B.12·mMm＋M v2 小学+初中+高中

小学+初中+高中 C.12NμmgL D．NμmgL

答案 BD

解析 根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v′＝mvM＋m，损失的动能ΔEk＝12mv2－12(M＋m)v′2＝12·mMm＋M v2，所以B正确；根据能量守恒，系统损失的动能等于因摩擦产生的热量，而计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移，所以ΔEk＝NFfL＝NμmgL，可见D正确．

3．如图7所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3 kg的薄板，板上有质量m＝1 kg的物块，两者以v0＝4 m/s的初速度朝相反方向运动．它们之间有摩擦，薄板足够长，求：

图7

(1)最后二者的速度多大？方向如何？

(2)求全过程机械能转化的内能为多少．

答案 (1)2 m/s，方向水平向右 (2)24 J

解析 (1)由于水平面光滑，则物块与长薄板组成的系统动量守恒．由于板足够长，故最后二者将达到共同速度．根据动量守恒定律

Mv0－mv0＝(M＋m)v

得：v＝2 m/s

方向与薄板方向相同(水平向右)

(2)根据能量守恒定律

ΔE＝12Mv 20＋12mv 20－12(M＋m)v2

代入数据得：

ΔE＝24 J.

4．两块质量都是m的木块A和B在光滑水平面上均以速度v02向左匀速运动，中间用一根劲小学+初中+高中

小学+初中+高中 度系数为k的轻弹簧连接，如图8所示．现从水平方向迎面射来一颗子弹，质量为m4，速度为v0，子弹射入木块A并留在其中．求：

图8

(1)在子弹击中木块后的瞬间木块A、B的速度vA和vB的大小．

(2)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势能．

答案 (1)v05 v02 (2)140mv 20

解析 (1)在子弹打入木块A的瞬间，由于相互作用时间极短，弹簧来不及发生形变，A、B都不受弹力的作用，故vB＝v02；

由于此时A不受弹力，木块A和子弹构成的系统在这极短过程中不受外力作用，选向左为正方向，系统动量守恒：

mv02－mv04＝(m4＋m)vA

解得vA＝v05

(2)由于木块A、木块B运动方向相同且vA

设弹簧压缩量最大时共同速度为v，弹簧的最大弹性势能为Epm，

由动量守恒定律得

54mvA＋mvB＝(54m＋m)v

由机械能守恒定律得12×54mv 2A＋12mv 2B＝12(54m＋m)v2＋Epm