长沙市南雅中学新高一入学考试数学模拟试卷

高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A. √13B. 4C. 4−√13D. 3√13−62. 如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A. 6B. 8C. 9D. 103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个 5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ） A.2021 B.4042 C.3640 D.4842 6.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（ ）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx ++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m −−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =， 所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ， 所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =− 设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上， 所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMNS OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ），∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m −−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=， 设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n =−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。

长沙市南雅中学2024级高一阶段训练（三）数学时长：120分钟 总分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4【答案】C【解析】【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f （x ）=ln x +x -3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f （1）、f （2）、f （3）的值，发现f （2）•f （3）＜0，即可得到零点所在区间．【详解】解：∵f （x ）=ln x +x -3在（0，+∞）上是增函数f （1）=-2＜0，f （2）=ln2-1＜0，f （3）=ln3＞0∴f （2）•f （3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f （x ）=ln x +x -3的零点所在区间为（2，3）故选C ．【点睛】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．2. 下列函数中为奇函数且在(0,)+¥上单调递增的是（ ）A. ()f x x＝ B. ()1f x x x =+ C. ()3f x x =- D. ()f x x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇函数及在(0,)+¥上单调递增，逐项判断即得.【详解】对于A ，()||f x x =定义域为R ，()||()f x x f x -=-=，()f x 偶函数，A 不是；对于B ，1()f x x x=+定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，而15()(2)22f f ==，即函数()f x 在(0,)+¥上不单调，B 不是；对于C ，3()f x x =-定义域为R ，(1)18(2)f f =->-=，()f x 在(0,)+¥上不递增，C 不是；对于D ，()||f x x x =定义域为R ，()||()f x x x f x -=--=-，()f x 是奇函数，是当0x >时，2()f x x =在(0,)+¥上单调递增，D 是.故选：D 3. 32log 232lg 42lg 5log 883++++=（ ）A. 10B. 11C. 12D. 3【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可.【详解】因为2lg 42lg 5lg 4lg 5lg 4lg 25lg1002+=+=+==，322log 8log 23==，()2232338224===，3log 232=，所以32log 232lg 42lg 5log 883234211++++=+++=.故选：B .4. 已知集合{}21log ,1,,12x A y y x x B y y x ìü====>íýîþ则A B =I （ ）A. 1{|0}2y y << B. {}|01y y <<C. 1{|1}2y y << D. Æ【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数性质化简集合A ，结合交集的概念即可得解.【详解】{{}2|log ,1}0A y y x x y y ==>=>，11,1|022x B y y x y y ìüìü==>=<<íýíýîþîþ，所以1{|0}2A y yB <<Ç=.故选：A.5. 命题“x "ÎR ，()()0f x g x ¹”的否定是（ ）A. x "ÎR ，()0f x =且()0g x = B. x "ÎR ，()0f x =或()0g x =C. 0x $ÎR ，()00f x =且()00g x = D. 0x $ÎR ，()00f x =或()00g x =【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断.【详解】全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是：0x $ÎR ，00()()0f x g x =，即()00f x =或()00g x =，故选：D ．6. 若a ＝24080.01，b ＝log 0.52402，c ＝log 0.030.02，则（ ）A. c a b>> B. b a c >> C. a b c >> D. a c b>>【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质比较即可.【详解】因为函数0.01x y =,0.5log y x =,0.03log y x =都是减函数，所以2048000.010.011a <=<=，0.50.5log 2402log 10b =<=，0.030.03log 0.02log 0.031c =>=，所以c a b >>.故选：A.7. 已知0,0x y >>，3193log 2log 8log 4x y -=，则113y x +的最小值是（ ）A 2B.C. D. 4【答案】D【解析】【分析】首先利用对数的运算性质得到31x y +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】因为33319333333log 2log 8log 4log 2log 2log 2log 2log 2x y x y x y +-=Þ+=Þ=，所以31x y +=.因为0,0x y >>，所以()111133224333y x x y x y x y x y æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当132x y ==时取等号．故选：D.8. 已知0.1log 2a =，5log b = ）A. 0ab a b<<+ B. 0ab a b <+<C. 0a b ab+<< D. 0a b ab +<<【答案】D【解析】【分析】根据对数函数单调性及对数的运算法则，判断、计算,ab a b +的符号，作商比较,ab a b +的大小即可得解.【详解】因为0.15log 20,log 0a b =<=>，所以0ab <，又因为0.15lg 2lg 2lg 2(1lg 25)log 2log lg 20lg 0.12lg5lg 25a b -+=+=+=-+=<，所以0a b +<，又因222211log 0.15log 0.1log 25log 2.51a b ab a b+=+=+=+=>，所以1a b ab +>且0ab <，所以a b ab +<，所以0a b ab +<<，故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有错误的得0分.9. (多选)下列说法不正确的是（ ）A. 函数()()22log 2f x x x =-的单调递减区间为(),1-¥B. (122--éù=êúëûC. “58x -<<”是“5x <”的充分不必要条件D. 函数()4f x x x=+没有最小值【答案】AC【解析】【分析】根据定义域即可判断A ；根据指数幂的运算可判断B ；根据必要条件的定义可判断C ；使用反证法即可判断D.的【详解】对于A ，当x =0时，有220x x -=，所以()()22log 2f x x x =-的定义域不包含0，从而(),1-¥不可能是单调递减区间，故A 错误；对于B，有(121112222122----æöéù====ç÷êúëûèøB 正确；对于C ，因为当5x <时，一定有55x -<<，从而58x -<<.所以“58x -<<”是“5x <”的必要条件，故C 错误；对于D ，假设f (x )有最小值m ，则()f x m ³恒成立，但()()()()41111f m m m m m m -+=-+-<-+<-£+，矛盾，所以函数()f x 没有最小值，故D 正确.故选：AC.10. 已知函数())2log 3f x x =-+.则下列说法正确的是（ ）A. ()()116f f +-=B. 函数()f x 的图象关于点()0,3对称C. 函数()f x 在定义域上单调递增D. 若实数a ，b 满足()()6f a f b +>，则0a b +<【答案】ABD【解析】【分析】利用函数解析式，求解可得()()116f f +-=，即可判断A ，利用()()6f x f x -+=可判断B ，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C ，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A 选项，()()))2211log 13log 136f f +-=-++++=故A 正确；对于B 选项，对任意的xÎR 0x x x >-³，所以函数())ln 3f x x =-+的定义域为R，()())3)3f x f x x x -+=+++-+22ln(1)66x x =+-+=，所以函数()f x 的图象关于点()0,3对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =-，该函数的定义域为R ，()()))()22ln ln ln 10h x h x x x x x -+=++-=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ³时，内层函数u x ==为减函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,+¥上为减函数，故函数()h x 在(],0-¥上也为减函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为减函数，又因为函数3y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为减函数，故C 不正确；对于D 选项，因为实数a ，b 满足()()6f a f b +>，则()()()6f a f b f b >-=-，因为()f x 在定义域上单调递减，可得a b <-，即0a b +<，故D 正确.故选：ABD.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2f x y f x f y xy +=-++，则下列选项正确的是（ ）A. ()00f = B. ()39f =C. ()2y f x x x =-+是奇函数 D. ()2y f x x =-是偶函数【答案】ABC【解析】【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可.【详解】对于A 选项，令0x y ==，则()()020f f =，即()00f =，A 正确；对于B 选项，令0y =，则()()f x f x =-，令y x =-，则()()220f x f x x -+--=，则()2f x x =，故()39f =.B 正确；对于C 选项，()2y f x x x x =-+=是奇函数，C 正确；对于D 选项，()222y f x x x x =-=-是非奇非偶函数，D 不正确.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，则()f x =_____【答案】3x 【解析】【分析】先根据幂函数的定义求m 的值，在根据点在幂函数的图象上求n 的值.【详解】由于()()1n f x m x =-为幂函数，所以11m -=，则2m =，所以()nf x x =．又点()2,8在函数()n f x x =的图象上，所以82n =Þ3n =，故()3f x x =.故答案为：3x 13. 已知函数()1133x f x m æö=--ç÷èø，若函数()f x 有两个零点，则m 的范围是_____【答案】1,03æö-ç÷èø【解析】【分析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求解即可.【详解】若函数()f x 有两个零点，则()11303x f x m æö=--=ç÷èø ，即1133xm æö=+ç÷èø有两个实数解，则函数13x y æö=ç÷èø与函数13y m =+的图象有两个交点，作出13x y æö=ç÷èø图象如下：由图象知，当0131m <+<，即103m -<<时，函数13x y æö=ç÷èø与函数13y m =+的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点，所以m 范围是1,03æö-ç÷èø.的故答案为：1,03æö-ç÷èø.14. 已知函数()()2210f x x x x =-¹，若实数a 满足()()313log log 22f a f a f æö+=ç÷èø，则实数a 的值是________．【答案】9或19【解析】【分析】先判断函数为偶函数，利用对数的运算法则进行化简求解即可．【详解】∵()()2210f x x x x =-¹，且()()()()222211f x x x f x x x -=--=-=-∴()()2210f x x x x=-¹为偶函数，∵2y x =在(0,+∞)是单调增函数， 21y x =在(0,+∞)是单调减函数，故()221f x x x =-在(0,+∞)是单调递增.∵()()313log log 22f a f a f æö+=ç÷èø∴()()()33log log 22f a f a f +-=∴()()3log 2f a f =，即3log 2a =3log 2a Û=±，∴9a =或19故答案为：9a =或19四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2．()g x 与e x y =互为反函数.（1）求a 的值及()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）求关于x 的不等式()()f x g x £的解集．【答案】（1）1a =，定义域为()1,+¥，()f x 为非奇非偶函数（2）1x x ìï<£íïî}【解析】【分析】（1）将点()3,3ln 2代入解析式中计算即可得a ，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶；（2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得.【小问1详解】由题意可得()ln 31ln 23ln 2a ++=，即()ln 312ln 2ln 4a +==，所以314a +=，即1a =，则()()()ln 1ln 1f x x x =++-，则有1010x x +>ìí->î，解得1x >，故()f x 的定义域为()1,+¥，()f x 为非奇非偶函数；【小问2详解】由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1f x x x x =++-=-，1x >，由()g x 与e x y =互为反函数，可得()ln g x x =，不等式()()f x g x £可化为()2ln 1ln x x -£，因为ln y x =在()0,¥+上是增函数，所以2011x x x ì<-£í>î，即2210101x x x x ì--£ï-³íï>î，解得1x <£，故该不等式解集为1x x ìï<£íïî.16. 已知函数223y ax ax =--（1）若1a =，求不等式2230ax ax --³的解集；（2）若关于x 方程2230ax ax --=有两个不等的正实数根1x 与2x ，求a 的取值范围和2212x x +的取值范围.【答案】（1）{1x x £-或}3x ³ 的（2）(),3-¥-，()2,4【解析】【分析】（1）由题意得2230x x --³，求解即可；（2）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可求解.【小问1详解】当1a =时，不等式为2230x x --³，解得1x £-或3x ³，所以不等式的解集为{1x x £-或}3x ³；【小问2详解】因为关于x 的方程2230ax ax --=有两个不等的正实数根1x 与2x ，所以212120Δ41202030a a a x x x x a ¹ìï=+>ïï+=>íïï×=->ïî，解得3a <-，所以a 的取值范围为(),3-¥-；因为()222121212624x x x x x x a+=+-=+，因为3a <-，所以1103a -<<，所以6244a <+<，所以2212x x +的取值范围为()2,4.17. 某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：/L mg ）与时间t （单位：h ）间的关系为0e kt P P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，请解决下列问题：（1）10h 后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h ）？（参考数据：lg 20.301»，lg 30.477»）【答案】（1）10h 后还剩下81%的污染物（2）33h【解析】【分析】（1）根据0t =时0P P =得到5t =时()0110%P P =-，然后将5t =代入0e ktP P -=中得到()500110%k P P --=e ，解得1ln 0.95k =-，即可得到500.9t P P =，然后将10t =代入求P 即可；（2）令050%P P =，然后列方程求t 即可.【小问1详解】由0ektP P -=可知，当0t =时，0P P =；当5t =时，()0110%P P =-，于是有()500110%kP P --=e，解得1ln 0.95k =-，那么500.9tP P =.所以，当10t =时，00.81P P =，即10h 后还剩下81%的污染物.【小问2详解】当050%P P =时，有5000.50.9tP P =，解得0.90.9lg 2lg 25log 0.55log 25533lg 0.92lg 3lg10t ==-=-´=-´»-，即污染减少50%大约需要花33h.18. 已知函数()231x f x a =-+，()()2g x f x a =- （1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值；（2）设()()()2h x g x a g x a =-×-.（i ）函数()h x 在[]1,2-上恒有()0h x ³，求a 的取值范围；（ii ）若4a =，则是否存在实数,m n ,使得函数()h x 的定义域为[],m n ，值域为3,3m néùëû.若存在，求出3m和3n 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =（2）（i ）829a ³；（ii）333m n ì=ïíï=î3233m nì=í=î【解析】【分析】（1）由奇函数定义可得答案；（2）（i ）令3x t =，可将问题转化为求二次函数最小值的问题，解不等式计算可得结果；（ii ）可将()h x 转化为()214H t t t +--=，通过讨论3m ，3n 与2的大小关系，结合题意可得答案.【小问1详解】()f x 定义域为R ，且为奇函数，所以()00f =，可得1a =，经检验当1a =时，()f x 为奇函数，所以1a =.【小问2详解】（i ）易知()()()2231231x x g x f x a a a ===-+---+，()()2231xg x =-+，则()()()23131xx h x a a =-+++-，即()2331x x h x a =-+×-，令3x t =，由[]1,2x Î-，则1213,3,93t -éùéùÎ=ëûêúëû，即()210P t t at =-+-³，即21at t ³+，可得1a t t³+恒成立，令()1t t tj =+，根据对勾函数的性质可知()t j 在1,13éö÷êëø单调递减，在[]1,9上单调递增，()111011821,3339992,39j j j æöæö==+=+ç÷ç÷èø=ø=è，可得829a ³.法二：易知()21P t t at =-+-为开口朝下的二次函数，当1,93t éùÎêúëû时，需满足11111110,103939819P P a a æöæö=-+=³-+ç÷ç÷èøø--³è，解得829a ³.（ii ）令,333,mnxt t =Îéùëû，令,33nm q p ==，则[],t p q Î，()214H t t t +--=，对称轴为2t =，故()H t 在[],p q 上的值域为[],p q .①当02p q <<£时，()H t 单调递增，此时()()H p pH q q ì=ïí=ïî，即方程变为241t t t -+-=在(]0,2有两个不同根，解得t =，其中2t =>，故舍去②当2p q <<时，()H t 先增后减，所以()23H q ==，因此()()32H q H p ==>，故()2H p p =<，可得p =，故3m p ==，33n q ==，③2p q £<时，()H t 单调递减，此时()()H q pH p q ì=ïí=ïî，即224141p p qq q pì-+-=í-+-=î，两式相减可得()()50p q p q -+-=因为p q ¹，所以50p q +-=，即5p q +=，代入可解得32m p ==，32n q ==；综上所述，333m n ì=ïíï=î3233m nì=í=î.19. 已知函数()y f x =，若对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有()11f x f x æö+=ç÷èø，就称函数()y f x =满足性质Q .（1）若函数()()()()22,00,1x f x x x ¥¥=Î-È++是否满足性质Q ？请说明理由.（2）若()y f x =满足性质Q ，()f x 在定义域()0,¥+上单调，且()12f x >对()0,1x "Î都成立，解关于x 的不等式()2102f ax x ax +--<（a 0<）；（3）在（2）的条件下，已知()120,x x "Î+¥，，12x x ¹，若()()121f x f x +=，证明：122x x +>.【答案】（1）满足性质Q ，理由见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）通过验证函数()f x 在定义域上是否满足()11f x f x æö+=ç÷èø，即可判断；（2）由函数()f x 满足性质Q ，求得()1f 的值，由函数在()0,1x Î的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集；（3）由（2）得到函数()f x 满足()1111f x f x æö+=ç÷èø且()()121f x f x +=，从而得到211x x =，再由基本不等式求得122x x +>，得证.【小问1详解】当()221x f x x =+时，222111111x f x x x æöç÷æöèø==ç÷+èøæö+ç÷èø()11f x f x æö+=ç÷èø，所以()221x f x x =+满足性质Q .【小问2详解】若()y f x =满足性质Q ，1x =时，()1111f f æö+=ç÷èø得到()112f =，()f x 在()0,¥+上单调，()y f x =在()0,1x Î时恒有()()112f x f >=， 所以()f x 在()0,¥+上是单调减函数，()2102f ax x ax +--<得到()212f ax x ax +-<，即()()21f ax x ax f +-<，所以21ax x ax +->，即()2110ax a x +-->，即()()110x ax -+>，①当11a-=时，即1a =-时，不等式为2(10)x -<，不等式解集为Æ；②当10a -<<时，11a ->，不等式解集为11,a æö-ç÷èø；③当1a <-时，11a -<，不等式解集为1,1a æö-ç÷èø；【小问3详解】）已知()12,0,x x "Î+¥，12x x ¹，若()()121f x f x +=，()1111f x f x æö+=ç÷èøQ ，()211f x f x æö\=ç÷èø，∵()f x 在()0,¥+上是单调函数，211x x \=，121x x =，∵122x x +³=，当且仅当1211x x x ==，即11x =时，取等号，又∵12x x ¹，∴122x x +>.【点睛】方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用.。

南雅中学高一入学考试参考答案一、基础填空题（每小题5分，共计60分）1、下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是________．A ．B ．C ．D ．答案：D2()201222021π82cos 45tan 452⎛⎫--+-+︒+︒ ⎪⎝⎭=________．答案：1543、将抛物线22y x =向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为________．答案：()2241y x =+-（或221633y x x =++）4、若关于x 的一元二次方程()222340m x x m -++-=有一个根为0，则实数m =________．答案：2-5、在半径为40cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，点P 为圆上一动点，则P 到AB 的距离的最大值为cm ．答案：40203+6、如图，在ABC ∆中AC BC =，点D 和E 分别在线段AB 和线段AC 上，且AD AE =，连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若46C ∠=︒，则GAD ∠的度数为______________答案：56.5︒7、设()f n ＝－3n 2＋8n －1，其中n 为整数，则(n)f 的最大值是________．答案：48、设实数,a b 满足：223,4a b a b +=+=，则2222a b b a +=--________．答案：79、估计1e e ππ⋅+ 2.718e ≈）的值应在________．A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间答案：C 10、锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则B ∠的大小范围是________．答案：3045B ︒<<︒11、若方程()2100x px p ++=>的两根之差为1，则p =________．答案：512、已知2x =-，则()()2311x x x x +-+-=________．答案：15-二、提升填空题（每小题3分，共计24分）13、写出一个满足方程116218821x x x x +-++-+的解，x =________．答案：714x ≤≤范围内任何一个数都行14、,x y 均为正整数，且x y <，则满足方程5x y xy ++=的有序实数对(),x y 有________个？答案：215、设152a -+=，则543221a a a a a +++-+=________．答案：152a =16、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b 为实数)且f (1)＝2，则(3)(5)(2019)(2021)=(4)(6)(2020)(2022)f f f f f f f f ++++ ________．答案：50517、如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A （-1,0）、B （-3,1）、C （-2,3）现将△ABC 绕点A 顺时针．．．旋转90°后得到△11AB C ，然后将△11AB C 绕点1B 逆时针．．．旋转90°后得到△112A B C ，然后将△112A B C 绕点2C 顺时针．．．旋转90°后得到△222A B C ，则此时点2A 的坐标为________．答案：()23-，第17题图第18题图18、图中由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成标号分别为1,2,3,4,5的五个封闭区域，如果区域1的面积等于上下两块区域2和3的面积之和，则这两圆的圆心距为________．答案：219、张阿姨家里有两个小孩，已知其中有一个女孩，那另一个也是女孩的概率是________．答案：1320、m 位九年级的同学一起参加围棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此比赛一场。

湖南2023-2024学年度高一第二学期入学考试数学（答案在最后）命题：（考试范围：必修1）时量：120分钟满分：150分得分：______.一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知全集()U {010},{1,3,5,7}U M N x x M N =⋃=∈≤≤⋂=N ∣ð，则集合N =（）A.{}010x x ≤≤∣ B.{}010x x ∈≤≤N∣C.{}0,2,4,6,8,9,10 D.{}0,2,4,6,8,10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合集合的运算，即可得到结果.【详解】{}{010}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U M N x x =⋃=∈≤≤=N∣，且()U {1,3,5,7}M N ⋂=ð，则集合N 中不包含元素1,3,5,7，即{}0,2,4,6,8,9,10N =.故选：C2.已知R 上的函数()f x ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】取()()1f x x x =-，x ∈R ，则()00f =，但()()10,12f f =-=，即()()11f f -≠-，所以函数()f x 不是奇函数，故充分性不满足；若函数()f x 为奇函数，则()()00f f =--，即()00f =，故必要性满足；所以“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件.故选：B3.为了得到函数cos5xy =的图象，只需把余弦曲线cos y x =上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的15，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的15，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数cos y x =图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数1cos 5y x =的图象．故选：A ．4.函数()()1ln f x x x =-的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】通过函数的定义域排除D 选项；通过函数的零点、在1x <-，10x -<<，01x <<，1x >四段范围内函数值的正负可排除AB 选项，确定C 选项.【详解】函数()()1ln f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，故排除D 选项；令()()1ln 0f x x x =-=，即1x =或=1x -，所以函数有两个零点1，1-，当1x <-时，1x ->，则10x -<，()ln ln 0x x =->，则()()1ln 0f x x x =-<，故排除AB 选项；当10x -<<时，1x -<，则10x -<，()ln ln 0x x =-<，则()()1ln 0=->f x x x ；当01x <<时，10x -<，ln ln 0x x =<，则()()1ln 0=->f x x x ；当1x >时，10x ->，ln ln 0x x =>，则()()1ln 0=->f x x x .所以函数()()1ln f x x x =-的图象可能是C 选项.故选：C.5.已知实数a ，b ，满足33(1)(1)2a b a b -+-≥--恒成立，则a b +的最小值为（）A.2B.0C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】化简可得33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，再根据函数3y x x =+单调递增判断即可.【详解】33(1)(1)2a b a b -+-≥--，所以33(1)(1)(1)1a a b b -+-≥-+-，因为函数3y x x =+单调递增，所以11a b -≥-，即2a b +≥.故选：A ．6.已知4cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πα<，则sin21cos2αα=+（）A.43 B.34C.34-D.43-【答案】D 【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求sin α的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos α的值，进而根据二倍角公式化简所求即可得解.【详解】解：∵4cos sin 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭且2πα<，所以4sin 5α=-，3cos 5α==所以2sin22sin cos sin 41cos22cos cos 3ααααααα===-+故选：D .7.已知函数())lg f x x =，正实数a ，b 满足()()220f a f b -+=，则2aba b +的最大值为（）A.49B.29C.15D.14【答案】B 【解析】【分析】先判定函数的奇偶性及单调性，可由条件得出22a b +=，再结合基本不等式计算即可.【详解】易知函数()f x 定义域为R，且)()lg ()lgf x x x⎤-=+-=-⎦)()lgx f x ==-=-，所以)()lgf x x =+为R 上的奇函数，有()()0f x f x -+=，由复合函数的单调性可知()f x 单调递增，由()()220f a f b -+=，得220a b -+=，即22a b +=，因为,a b 为正实数，则有1122ab a b b a=++，而()12222559a b a b b a b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =即23a b ==时等号成立，所以1292b a +≥，则2ab a b +的最大值为29.故选：B.8.已知495ln ,log 3log 17,72425bb c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（）A.b c a >>B.a c b>> C.b a c>> D.a b c>>【答案】D 【解析】【分析】根据零点存在性定理可求解23b <<，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解c b <的范围，即可比较大小．【详解】由ln 50a a +-=，令()ln 5f a a a =+-，则()f a 在定义域内单调性递增，且()()33ln35ln320,44ln 45ln 410f f =+-=-<=+-=->，由零点存在性定理可得34a <<，49lg3lg17log 3log 1722lg22lg3b =+=+≥==>=，又494917log 3log lo 4813g log b =+<=+，因此23b <<，2272425724625b b c >+=+=，可得2>c ，72425bbc+=，72425252525b b cb b b +=，22724724()()()()125252525b b +<+=，∴25125cb <，2525c b <，c b ∴<，c b a ∴<<．故选：D【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：（1）结合函数性质进行比较；（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则（）A.2c cd <B.a c b d -<-C.ac bd >D.c d a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断BC ，利用作差法，结合不等式的性质判断D .【详解】由0c d >>可得，2c cd <，A 正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，a c b d ->-，B 不正确；3,1,2,3a b c d ===-=-时，ac bd <，C 不正确；因为0a b c d >>>>，所以0,,0ab bc ac c d >>->，所以0,c d bc ad ac ad c d a b ab ab b----=>=>所以c da b>，D 正确；故选：AD.10.已知函数()23xf x a kx =---，给出下列四个结论，其中正确的有（）A.若1a =，则函数()f x 至少有一个零点B.存在实数,a k ，使得函数()f x 无零点C.若0a >，则不存在实数k ，使得函数()f x 有三个零点D.对任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点【答案】ABD 【解析】【分析】同一坐标系中，作出函数2,3xy a y kx =-=+的图象，结合图象，利用数形结合法求解.【详解】A 中，当1a =时，函数()213x f x kx =---，令()0f x =，可得213xkx -=+，在同一坐标系中作出21,3xy y kx =-=+的图象，如图所示，由图象及直线3y kx =+过定点(0,3)，可得函数()f x 至少一个零点，故A 正确；B 中，当4a =-，0k =时，作出函数24,3xy y =+=的图象，由图象知，函数()f x 没有零点，所以B 正确；C 中，当16,2==-a k 时，在同一坐标系中，作出函数126,32xy y x =-=-+的图象，如图所示，由图象可得，此时函数()f x 有3个零点，所以C 错误；D 中，分别作出当0,0,0a a a =><时，函数2,3xy a y kx =-=+的图象，由图象知，对于任意实数a ，总存在实数k 使得函数()f x 有两个零点，所以D 正确.故选：ABD.11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深()f t （单位：m ）与时间t （单位：h ）从0~24时的关系可近似地用函数π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来表示，函数()f t 的图象如图所示，则（）A.π()3sin5(024)6f t t t =+≤≤B.函数()f t 的图象关于点(12,0)对称C.当5t =时，水深度达到6.5mD.已知函数()g t 的定义域为[0,6]，(2)(2)g t f t n =-有2个零点12,t t ，则12πtan 3t t =+【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象的最值求出,A b ，再根据图象得到其周期则得到ω，代入最高点求出ϕ，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知()max 8f t =，()min 2f t =，()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==，()f t 的最小正周期12T =，2ππ6T ω∴==，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ，()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()2πk k ϕ=∈Z ，又π2ϕ<，0ϕ∴=，π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤，故A 正确；对B ，令ππ6t k =，()k ∈Z ，解得6t k =，()k ∈Z ，当2k =时，12t =，则(12)3sin 2π55f =+=，则函数()f t 的图象关于点(12,5)对称，故B 错误；对C ，()π3sin55 6.565f ⨯+==，故C 正确；对D ，[]20,6t ∈，则[]0,3t ∈，令(2)(2)0g t f t n =-=，则(2)f t n =，令2t m =，则根据图象知两零点12,m m 关于直线3t =，则126m m +=，即12226t t +=，则123t t +=，则12ππtantan 3t t ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.【答案】65【解析】【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】设圆心角的弧度数为α，则120144α=，解得65α=.故答案为：65.13.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】5-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.14.如图，正方形ABCD 的边长为1,,P Q 分别为边,AB DA 上的点.当APQ △的周长为2时，则PCQ ∠的大小为______.【答案】π4【解析】【分析】设出角,PCB QCD αβ∠=∠=，然后求得,AP AQ ，再根据APQ △的周长求得αβ+，即可得解.【详解】设,PCB QCD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==，则1tan ,1tan AP AQ αβ=-=-，PQ =，21tan 1tan αβ∴=-+-即tan tan αβ+=，将上式两边平方，整理得tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅，即tan()1αβ+=，因为π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4αβ+=，所以π4PCQ ∠=.故答案为：π4.【点睛】关键点点睛：解决该试题的关键是能根据边表示出,PCB QCD αβ∠=∠=，的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论．四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合2{|1327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>.（1）求()R B A ⋃ð；（2）已知集合{|11}C x a x a =-<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}3x x ≤；（2）1a ≤.【解析】【分析】（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合,A B ，然后由集合的运算法则计算．（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．【详解】解：（1）{}03A x x =≤≤，{}2B x x =>，{}2R B x x =≤ð，(){}3RB A x x ⋃=≤ð.（2）当C =∅时，11a a -≥+，即0a ≤成立；当C ≠∅时，11100113a aa a a -<+⎧⎪-≥⇔<≤⎨⎪+≤⎩成立.综上所述，1a ≤．【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在A B ⊆中，要注意A =∅的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．16.已知函数()πsin cos 44f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若5π122414f θ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.【答案】（1）π（2）1314【解析】【分析】（1）利用恒等变换得到()1πsin 224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解；（2）由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由ππcos cos 66θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解.【小问1详解】解：()π2222sin cos sin cos sin 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222221πsin cos sin2cos2sin 22244424x x x x x x ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期2π2T π==；【小问2详解】由5π1π1sin 2242614f θθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π1sin 67θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ,663θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 67θ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1113727214⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭.17.如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？【答案】（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【解析】【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可；（3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==，当0=t 时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=，所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 2666342428t t ππππ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后32172142082d --=⨯+=>，所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.18.若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）已知函数()24()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t ∈R ，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.【答案】18.不是“依赖函数”，理由见解析；19.4112.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义举例子判断即可；（2）分类讨论解决函数不等式()()24h x t s t x ≥-+-+恒成立的问题，分离参数265324339s x x⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值问题即可.【小问1详解】对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在1π6x =，而()22g x =无解，故()sin g x x =不是“依赖函数”.【小问2详解】①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为0，此时不存在2x ，舍去；②若4a >，故()2()h x x a =-’在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413h h ⎛⎫=⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =.从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得对任意的t ∈R ，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭对R t ∈恒成立，则2226133Δ4039x x s x ⎡⎤⎛⎫=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，由存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使265324339s x x ⎛⎫+≤+⎪⎝⎭能成立，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤，综上，故实数s 的最大值为4112.19.已知e 是自然对数的底数，()e e1xx f x =+．（1）判断函数()f x 在[)0+∞，上的单调性并证明你的判断是正确的；（2）记()(){}ln 3()e1ln 32xg x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明见解析（2）[1,3]【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，可证()()()1212121e e 10e ex x x x f x f x ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <，则可判断函数单调性；（2）将()0g x ≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，转化为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，证明如下：任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()12121211e e e e xx x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21e e 1x x >≥，所以12e e 0x x -<，12e e 1x x >，12110e e x x ->，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增.【小问2详解】()ln (3)e 1ln 32xg x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)e 10x a -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即13,e 0,xa a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为[0,)x ∈+∞，则1334ex <+≤，所以03a <≤.其次，ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为2(3)e 13e x xa a -+≤,即23e (3)e 10x x a a +--≥成立，亦即()()3e 1e 10xxa +-≥成立,因为3e 10x +>，所以e 10x a -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1e x a ⎛⎫≥⎪⎝⎭，所以1a ≥.。