初中-数学-冀教版-28.2 过三点的圆同步练习

28．2过三点的圆1．过两点A，B的圆有________个，这些圆的圆心都在线段AB的________________上；过__________________的三点的圆有且只有一个．2．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为()A．0 B．1C．2 D．0或1知识点2三角形的外接圆与外心3．三角形的外心具有的性质是()A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．在三角形的外部D．在三角形的内部4．2017·保定二模如图28－2－1，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是()A．(2，3) B．(3，2)C．(1，3) D．(3，1)图28－2－15．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图28－2－2，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图28－2－26．教材习题A组第2题变式小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图28－2－3，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块7．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径为________．8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．(1)如图28－2－4，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段________．(2)在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以点O为圆心的同一个圆上？如果存在，请指出点O的具体位置．图28－2－49．2018·石家庄二模如图28－2－5，BC＝6，A为平面上一动点，且∠BAC＝60°，点O为△ABC的外心，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形ABD与等腰直角三角形ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是________．图28－2－5教师详解详析这可急坏了妈妈．聪明的小明劝妈妈不要着急【详解详析】1．无数 垂直平分线 不在同一条直线上2．D 3.B4．D [解析] ∵点A ，B ，C 的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴△ABC 的外接圆的圆心是斜边BC 的中点，∴△ABC 的外接圆的圆心坐标是(1＋52，－2＋42)，即(3，1)．故选D(也可作线段AB ，AC 的垂直平分线，交点(3，1)即为所求)．5．解：(1)如图所示：(2)∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径．∵AB ＝8米，AC ＝6米，∴BC ＝10米， ∴△ABC 外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π米2.6．B [解析] 经过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，在第②块玻璃的弧上任选三点就可以作出与原来大小一样的圆．7.254[解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在AD 上取点O ，设点O 为△ABC 外接圆的圆心，连接OB .设△ABC 的外接圆的半径为r ，则有OA ＝OB ＝r . ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ＝6，∴AD ＝AB 2－BD 2＝102－62＝8，∴OD ＝8－r .在Rt △ODB 中， OB 2－OD 2＝BD 2，即r 2－(8－r )2＝62，解得r ＝254，即△ABC 的外接圆的半径为254. 8．解：(1)AC(2)存在点O .O 是线段AC 的中点．9．3－3 [解析] ∵△ABD 与△ACE 是等腰直角三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAE .在△DAC 与△BAE 中，AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△DAC ≌△BAE ，∴∠ADC ＝∠ABE ，则∠PDB ＋∠PBD ＝∠PDB ＋∠ABD ＋∠ABE ＝∠PDB ＋∠ABD ＋∠ADC ＝90°，∴∠DPB ＝90°，则∠BPC ＝90°，∴点P 在以BC 为直径的圆上．∵△ABC 的外心为O ，∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝120°.如图，当PO ⊥BC 时，OP 的长最小．∵BC ＝6，∴BH ＝CH ＝3，∴OH ＝3，PH ＝3，∴OP ＝3－ 3.。

冀教版九年级数学上册《28.2过三点的圆》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（）A．(1,−1)B．(1,0)C．(2,0)D．(2,1)3．三角形的外心具有的性质是（)A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内4．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（）A．①B．②C．③D．④5．已知M(1,2)，N(3,−3)，P(x,y)三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）A．(3,5)B．(−3,5)C．(−1,7)D．(1,−3)6．设Rt△ABC的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（）A．5B．10C．2√7D．5或2√77．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（）A．外心B．垂心C．重心D．内心8．如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（）A．4B．5C．6D．79．已知Rt△ABC中∠A=90°，AB=6，AC=8，则△ABC外接圆的半径为（）A．3B．4C．5D．不确定10．如图，△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．(5，2)B．(2，3)C．(1，4）D．(0，0)二、填空题11．已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1,−1)、B(−2,5)、C(4,−6)，则A、B、C这三个点确定一个圆（填“可以”或“不可以”）．12．如图，在△ABC中，BC=3cm，△BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．13．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同⌢上，若点P是BC⌢的一个动点，则△ABP面积的最大值是．时也在AB三、解答题14．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．15．如图，在△ABC中BC=16，AB=AC=10．（1）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）（2）求（1）中所作外接圆的半径R．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，点C的坐标为(3,0)．（1）若△ABC的外接圆的圆心为M，则圆心M的坐标为______，⊙M的半径为______；（2）△ABC的外接圆与x轴的另一个交点坐标是______；⌢的长是______．（3）⊙M中AC17．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上．（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）若△ABC的外接圆为△O，判断点D与△O的位置关系，并说明理由．参考答案1．D2．C3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．C10．A11．可以12．√3．13．8√5−814．解：如图所示．连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以OA的长度为半径，O 为圆心作圆，则⊙O即为所求15．（1）解：如图所示：∴⊙O即为所求；（2）解：如图所示：∵OA⊥BC于D，且OB=OA，BC=16，AB=10∴BD=12BC=8在Rt△ABD中∠ADB=90°，则AD=√AB2−BD2=√102−82=6在Rt△BOD中∠DOB=90°，则OB2=OD2+BD2设OB=R，则OD=R−6，即R2=(R−6)2+64，解得R=253∴（1）中所作外接圆的半径R=253．16．（1）(5,5)；√29（2）(7,0)（3）√29π217．（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：由图可知：AB=AC，△BAC=90°∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：点D在△O上，理由如下：△ABC的外接圆如图∵OD=OA∴点D在△O上．则点D与△O的位置关系是：点D在△O上．。

拓展训练2020年冀教版数学九年级上册28.2 过三点的圆基础闯关全练1．如图所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，回收站要建在离三个小区都相等的某处，如果你是工程师，你将如何选址？（尺规作图，保留痕迹，不写作法）2．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在( )A．△ABC的三边高线的交点P处B．△ABC的三条角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处D．△ABC的三边中垂线的交点P处3．已知一个三角形的三边长分别为13 cm，12 cm，5cm，则此三角形的外接圆半径为___ cm. 能力提升全练1．已知一个三角形的三边长分别是6，8，10，则这个三角形的外接圆的直径是( ) A．5 B．10 C．6 D．82．当点A(1，2)，B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件是_______.三年模拟全练选择题（2019河北衡水武邑中学月考，4．★☆☆）给出下列说法：①经过三点一定可以作圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。

其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1五年中考全练一、选择题1．（2017湖南永州中考．7．★☆☆）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( )A.AB，AC边上的中线的交点B.AB，AC边上的垂直平分线的交点C.AB，AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点2．（2015河北中考，6．★☆☆）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADE二、填空题3．（2017江苏泰州中考，15，★★☆）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为____________.核心素养全练（2017宁夏中考）如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为______________.28.2 过三点的圆基础闯关全练1．解析在G处建垃圾回收站．2.D三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故选D．3．答案 6.5解析∵5²+12²= 13²．∴此三角形是直角三角形，斜边长为13 cm，∵直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，∴这个三角形的外接圆的半径是6.5 cm．故答案为6.5．能力提升全练1．B．∵6²+8²=10²，∴此三角形为直角三角形，斜边长为10，∴直角三角形的外心在其斜边上，且为斜边的中点，∴这个三角形的外接圆的直径=斜边长=10．故选B．2．答案5m+2n≠9解析设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A(1，2)，B（3，-3），∴解得，∴直线AB的解析式为，∵点A(1，2)，B（3，-3），C(m，n)三点可以确定一个圆，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9．故答案为5m+2n≠9．三年模拟全练选择题C①不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故此项中的说法错误；②根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故此项中的说法正确；③连接圆上任意三点构成的三角形都是圆的内接三角形，所以每一个圆都可以有无数个内接三角形，故此项中的说法错误；④三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项中的说法正确．故选C．五年中考全练一、选择题1.B本题实际上是确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，故选B．2．B外心即为三角形外接圆的圆心，∵△ACF的顶点F不在圆O上，∴圆O不是△ACF的外接圆，∴点O不是△ACF的外心，故选B．二、填空题3．答案(7，4)或(6，5)或(1，4)解析∵点A、B、P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)，∴．∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，∴，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4).故答案为(7，4)或(6，5)或(1，4).核心素养全练答案5解析如图，连接AB，BC，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．。

③PC＝ 26MP；④BP＝ 22AB；⑤点 F 是△ CMP 外 接圆的圆心．其中正确的个数为( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
夯实基础
【点拨】由折叠的性质得 ∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP， ∴∠EMP＋∠EMC＝12×180°＝90°. ∴△CMP 是直角三角形，故①正确． 由折叠的性质得∠MEC＝∠D＝90°， ∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°. ∴点C，E，G在同一条直线上，故②错误．
【答案】C
整合方法
11．如图，过四边形ABCD四个顶点中的任意三 个顶点画圆，一共能画出几个圆？ 你能利用画图工具画出这些圆吗？
解：一共能画出四个圆，其中，过点A，C，D的 是⊙E，过点A，B，D的是⊙F， 过点B，C，D的是⊙G，过点A， B，C的是⊙H，如图所示．
整合方法
12 ． 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AB ＝ AC ＝ 6 cm ， ∠BAC＝120°.
探究培优
13．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，
点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.
(1)求证：AD＝CE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC. 在△ ABD 和△ CAE 中，A∠BB＝＝C∠A，EAC，
BD＝AE， ∴△ABD≌△CAE(SAS)．∴AD＝CE.
夯实基础
2
∵BP＝BC－PC＝
22x，∴ABBP＝
2 x
x ＝
2 2.
∴BP＝ 22AB，故④正确． ∵CE＝CD，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG.
∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG.∴CF＝PF.
∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF.