双基限时练25
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0.
双基限时练（二十五）
基础强化
1 .已知 0<r<
2 + 1,则两圆 x 2 + y 2 = r 2与（x — 1）2+ （y + 1）2= 2 的
位置关系是（）
A .外切 C .外离
解析 设圆（x — 1）2
+ （y + 1）2
= 2的圆心为0’，则0’（1,—
1）.两 圆的圆心距离 d （0, 0 ’）=「12
+ — 1 2
= .2•显然有 |r — _ 2|< 2< 2 + r.「.两圆相交.
答案 B
2 .圆 x 2
+ y 2
— 2x — 8 = 0 和圆 x 2
+ y 2
+ 2x — 4y —4= 0 的公
共弦所 在直线方程是（）
A . x +y +1 = 0
B . x + y —3=0
C . x — y + 1 = 0
D . x — y — 3= 0
解析 令两个圆的方程相减可得x —y + 1 = 0,故两圆公共弦所在 直线方程为x — y + 1 = 0.
答案 C
3.
已知圆 O 仁 x 2+ y 2
—
4x — 6y = 0 与圆 O 2： x 2
+ y 2
— 6x = 0 交于 A 、B 两点，则AB 的垂直平
分线方程为（
）
A . x +y + 3= 0
B . 2x —y — 5= 0
C . 3x + y — 9= 0
D . 4x — 3y + 7 = 0
解析 两圆公共弦的垂直平分线即为两圆圆心的连心线，
B .相交 D .内含
y 一0 x 一 3
•••。
1（2,3）,。
2（3,0）,二直线O1O2：3Z0 =厂，即3x + y—9 =
答案 C
4.两圆x2+ y2= r2与圆（x—3）2+（y+ 1）2=r2外切，则正实数r的值是（）
A. 10
B.弓0
C. 5
D. 5
解析2r =寸32+（一1）2=JT0,「. r =普0.
答案 B
5 .若圆x2+ y2= 4和圆x2+? + 4x —4y+4= 0关于直线I对称，则I的方程为（）
A . x+y=0 B. x + y—2=0
C. x—y—2=0
D. x —y+2=0
解析两圆的圆心分别为(0,0)和(一2,2)，它们的中点为(一1,1),
直线I的斜率为k=—1,
二直线I的方程为x—y + 2= 0.
答案 D
6.和x轴相切，并和圆x2+ y2= 1外切的动圆的圆心轨迹方程是( )
A . x2= 2y+ 1 B. x2= —2y+ 1
C. x2= 2M+ 1
D. x2= 2y— 1
解析设动圆圆心的坐标为(x, y),
由题意可知，".x2+ y2= 1 + |y|,即x2= 2|y|+ 1.
答案 C
7.若圆x2+ y2= 4 与x2+ y2—2ax + a2— 1 = 0 相内切，则
a =
解析 圆 X 2+ y 2 = 4 与(x — a)2+ y 2= 1 相内切，故(a — 0)2 + (0— 0)2
=(2 — 1)2
, 即卩 a 2
= 1,二 a = ±1.
答案 ±
c
8. 已知两圆相交于(1,3)和(m,1),两圆圆心都在直线x —y +空=0
上，贝卩m + c 的值为 _______ .
解析 两圆连心线过公共弦的中点，
答案 3
9. 圆(x — 3)2
+ (y — 1)2
= 4 与圆(x — 1)2
+ (y — 2)2
= 1 的公切线的条
数为 ________ .
解析 两圆圆心分别为(3,1)和(1,2),圆心距为 5,
r 1 + r 2= 3, 「1 — a = 1 ,T 1 v 5v 3,.••两圆相
父,
答案 2条
能力提升
10. 已知集合 M = {(x , y)|x 2
+ y 2
= 16}，集合 N = {(x , y)|W + (y
—2)2
= a — 1}，若M A N = ?，求a 的取值范围.
解 因为M A N = ?由题意可分为三种情况讨论:
(1) 当 a — 1v 0, 即卩 av 1 时，N = ?，满足 M A N = ?;
(2)当a — 1 = 0,即a = 1时，N = {(0,2)},即集合N 仅表示一个点，
由02+ 22v 16知这个点不在圆x 2+ y 2
= 16上，所以MA N = ?;
(3) 当 a — 1> 0,即 a > 1 时，MA N = ?，圆 x 2+ y 2 = 16 与圆 x 2 +
—3+1
+c =o
2 2 +
2 ， 二 m + c = 3.
来源：]
•••它们只有2条公切线.
[来源：]
(y—2)2= a—1外离或内含.外离时，圆心距大于两圆半径之和，即2 > 4+ ,a—1,此式显然无解.
内含时应有|；a - 1— 4|>2,解得a >37,或 Kav5. 综上，当 av5,或 a >37 时，MQ N = ?.
11. 求与已知圆x 2
+ y 2
— 7y + 10= 0相交，所得公共弦平行于已
知直线2x — 3y — 1 = 0,且过点(一2,3), (1,4)的圆的方程.
2
(7
、
解 公共弦所在直线的斜率为2,已知圆的圆心坐标为0, 2J ，故
7 3
两圆圆心所在直线的方程为y — 2= — qx ,即3x + 2y — 7 = 0.
设所求圆的方程为x 2+ y 2
+ Dx +Ey + F = 0,
—2 2
+ 32
— 2D + 3E + F = 0,
12+ 42 + D + 4E + F = 0, (m 〔 E) 〔3 - 2 丿+ 2 - E 丿—7=0
所以所求圆的方程为x 2
+ y 2
+ 2x — 10y + 21 = 0.
1
12. 已知点 P(t , t), t € R ，点 M 是圆 01： x 2 + (y — 1)2 = 4上一动
1
点，点N 是圆02： (x — 2)2 + y 2
= 4上一动点，求|PN|— |PM|的最大值.
1
解 T M 是。
01上的点，N 是。
02上的点，半径都为1
又P(t , t), t € R 在直线y = x 上，
则求|PN|— |PM|的最大值就是求 加。
2| + 2)- JPO 1I — 1 j 的最大值,
即求|PO 2| — |PO 11+ 1的最大值，
而|PO 2|— |PO 1|的最大值是点01关于直线y = x 的对称点(1,0)到
[来源:][来源:www ]
D = 2,
解得E =— 10,
F = 21.
02(2,0)的距离, [来源:www ]
••• |P02—|P01|+ 1 的最大值是 2.
品味咼考
13 .两圆C仁x2 + y2= a 与C2: x2+ y2 + 6x —8y —11 = 0 内切，则
a的值为_________ .
解析由x2+ y2+ 6x—8y—11 = 0,
得(x+3)2+ (y—4)2= 36,
从而C i(0,0), r i = , a, C2( —3,4),「2= 6, •••圆C i与C2内切，
|C i C2=『2—r i|,
即5= |6—a|,
••• a= 1 或121.
答案1或121。
