高二数学 双基限时练3

双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。

双基限时练(三)基 础 强 化1．如果角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴P (1，－3)． ∴r ＝12＋ －3 2＝2，sin α＝－2cos30°2＝－32.答案 C2．设α＝－5π2，则sin α，tan α的值分别为( )A ．－1；不存在B ．1；不存在C ．－1；0D ．1；0解析 －5π2＝－2π－π2，∴－5π2的终边在y 轴的负半轴，在其终边上取点(0，－1)，由此可知sin α＝－1，tan α的值不存在．答案 A3．已知P (x,4)是角θ终边上一点，且tan θ＝－25，则x 的值为( )A ．10 B.45 C ．－10D ．－15解析 tan θ＝4x ＝－25，∴x ＝－10.答案 C4．若角α的终边上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ，－45k (k <0)，则sin α²tan α＝( )A.1615 B ．－1615C.1516D ．－1516解析 ∵k <0，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45k 2＝－k ，∴sin α＝45，tan α＝－43，∴sin α²tan α＝－1615.答案 B5．若点P 在角π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标( )A ．(3，1)B ．(－3，1)C ．(1，3)D ．(－1，3)解析 设P (x 0，y 0)，sin π3＝y 02＝32，∴y 0＝ 3.cos π3＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴P (1，3)．答案 C6．已知角θ的终边在直线y ＝3x 上，则tan θ的值( ) A ．－33B ．－ 3C. 3 D ．±33解析 角θ的终边在第一象限或第三象限，在直线y ＝3x 上取点(1，3)和(－1，－3)，则tan θ＝yx＝ 3.答案 C7．角α的终边上有一点P (m,5)，且cos α＝m13(m ≠0)，则sin α＋cos α＝____.解析 r ＝m 2＋25，∴cos α＝m m 2＋25＝m13(m ≠0)， ∴m ＝±12.当m ＝12时，cos α＝1213，sin α＝513，sin α＋cos α＝1713.当m ＝－12时，cos α＝－1213，sin α＝513，sin α＋cos α＝－713.∴sin α＋cos α＝1713或sin α＋cos α＝－713.答案1713或－7138．若y ＝tan α²cot α的定义域为M ，y ＝sec α²csc α的定义域为N ，则M 与N 的关系为________．答案 M ＝N能 力 提 升9．已知角α的终边经过点P (8a,15a )(a ≠0)，则tan α＋sec α的值是________． 解析 r ＝ 8a 2＋ 15a 2＝17|a |， 当a >0时，r ＝17a ，tan α＝158，sec α＝17a 8a ＝178， ∴tan α＋sec α＝4.当a <0时，r ＝－17a ，tan α＝158，sec α＝－17a 8a ＝－178，∴tan α＋sec α＝－14.∴tan α＋sec α＝4或tan α＋sec α＝－14.答案 －14或410．已知α的终边上一点P (2，－5)，求角α的六个三角函数值． 解析 r ＝3，sin α＝－53，cos α＝23，tan α＝－52， cot α＝－255，sec α＝32，csc α＝－355.11．已知θ的终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010，求sin θ和tan θ. 解析 cos θ＝x x 2＋9＝1010>0，∴x >0，∴x ＝1. ∴sin θ＝312＋32＝310＝31010，tan θ＝y x ＝3.12．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1＋tan xsin x ；(2)f (x )＝cos x .解析 (1)若使函数有意义， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π，k ∈Z ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z. (2)若使函数有意义，则满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .品 味 高 考13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y2＝－255， ∵sin θ<0，∴y <0解得y ＝－8. 答案 －8。

1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +- 等于 ；
2.已知向量,a b 满足条件：2,a b == ，且a 与2b a - 互相垂直，则a 与b 的夹角
为 ；
3.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++ ，
则x 与y 的值分别是 ；
高二数学课前五分钟双基练（3）
1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +- 等于 ；
2.已知向量,a b 满足条件：2,a b == ，且a 与2b a - 互相垂直，则a 与b 的夹角
为 ；
3.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为底面11AC 的中心，若1AE AA xAB yAD =++ ，
则x 与y 的值分别是 ；
1.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为
BC 中点，则MN 等于 ；（用,,a b c 表示）
2.设2,,,,36
a c a
b b
c ππ⊥== ，且1,2,3a b c === ，则a b c ++= ；
高二数学课前五分钟双基练（4）
1.空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为
BC 中点，则MN 等于 ；（用,,a b c 表示）
2.设2,,,,36
a c a
b b
c ππ⊥== ，且1,2,3a b c === ，则a b c ++= ；。

双基限时练(三)一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是( )A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点解析斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．答案 B2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析 由直观图的画法，可知原四边形ABCD 为直角 梯形． 答案 B3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，如图若O ′B ′＝1，那么原△ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2D ．2 2解析 由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2O ′A ′＝22，∴S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案 C4.如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为( )A．2 B. 2C.22D．2 2解析△ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝12×2×1×sin45°＝22.答案 C5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A．AB B．ADC．BC D．AC解析由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.答案 D6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为( )A.32B.34C.64D.62解析如图①②分别为平面图与直观图，由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝32×22＝64，S△A′B′C′＝12×64×2＝64.答案 C二、填空题7．在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．解析由图可知AB＝DC＋2AD cos45°＝4，EO＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′.sin45°＝24，∴S A ′B ′C ′D ′＝(2＋4)×242＝324.答案 3248．一个水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析 由斜二测画法，知△ABC 为直角三角形，AB ＝AC 2＋BC 2＝9＋16＝5，∴AB 边上的中线为52.答案 529．如图所示，ABCD为边长为2的正方形，其中B(2,2)，则在斜二测画法中，直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________．解析在直观图中，A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形，B′到x′轴的距离为d＝1×sin45°＝22.答案2 2三、解答题10．把下图水平放置的直观图P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P ′S′∥O′y′，试求其真实图形PQRS的面积．解由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.故PQ ∥Ox ，PS ∥Oy ，RS ∥Ox ，且PS ＝2P ′S ′，PQ ＝P ′Q ′，RS ＝R ′S ′.故真实图形如图所示．由上知PQ ＝P ′Q ′＝4，SR ＝S ′R ′＝2，SP ＝2S ′P ′＝4，且四边形PQRS 是直角梯形，其面积S ＝12(SR ＋PQ )·SP ＝12 (2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC 的边长为a ，求△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积．解 由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中，作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ， 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．解(1)画出x轴，y轴，z轴三轴相交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)在x轴上取OA＝5，OC＝2，过A作AB∥OC，过C作CB∥OA，则四边形OABC为下底面．(3)在z轴上取OO′＝5，过O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′，重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.(4)连接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到长方体OABC－O′A ′B′C′的直观图．思维探究13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为6a2，求△ABC的周长．4解 图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形，设△ABC 的边长为x ，由斜二测画法，知A ′B ′＝AB ＝x ，O ′C ′＝12OC ＝34x ，作C ′D ′⊥A′B ′，垂足为D ′，∵∠C ′O ′D ′＝45°，∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x ，∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2.∴616x 2＝64a 2，∴x ＝2a ， ∴△ABC 周长为3×2a ＝6a .。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(三)1．如图，是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．判断结构D ．以上都不对答案 B2．下列函数的求值流程图中需要用到条件结构的是( ) A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x 2－1D ．f (x )＝2x解析 对于分段函数求值需用到条件结构，故选C 项． 答案 C3．下列关于条件结构的说法正确的是( ) A ．条件结构的程序框图中有两个入口和一个出口B ．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C ．条件结构中的两条路径可以同时执行D ．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的 答案 B4．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则x 的可能值的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 该程序框图的功能是已知函数y ＝⎩⎨⎧x 2 (x ≤2)，2x －3 (2<x ≤5)，1x (x >5)，输入x 的值，输出对应的函数值．则当x ≤2时，x ＝x 2，解得x ＝0，或x ＝1； 当2<x ≤5时，x ＝2x －3，解得x ＝3； 当x >5时，x ＝1x ，解得x ＝±1(舍去)． 即x ＝0，或1，或3. 答案 C5．如图所示的程序框图，其功能是()A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值C．输出a，b中较大的一个D．输出a，b中较小的一个解析取a＝1，b＝2，知该程序框图输出2，因此是输出a，b 中较大的一个．答案 C6．已知函数y＝|x－3|，以下程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填_______，②处应填_______．解析 由f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x ≥3)，3－x (x <3)，及程序框图知，①处应填x <3？，②处应填y ＝x －3.答案 x ＜3？ y ＝x －37．指出下面程序框图的运行结果．若输入－4，则输出结果为________．解析 由程序框图知，求a 的算术平方根．当a ≥0时，输出a ；当a <0时，输出是负数．因此当a ＝－4时，输出的结果为是负数．答案 是负数8．如图所示的算法功能是________．解析 由程序框图知，当a ≥b 时，输出a －b ；当a <b 时，输出b －a .故输出|b －a |. 答案 计算|b －a |9．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理的程序框图如图所示．则3⊗2＝________.解析 由程序框图知，当a ≤b 时，输出b －1a ；当a >b 时，输出a ＋1b .∵3>2，∴输出3＋12＝2.答案 210．如图给出了一个算法的程序框图．根据该程序框图，回答以下问题：(1)若输入的四个数为5,3,7,2，则最后输出的结果是什么？ (2)该算法的程序框图是为什么问题而设计的？解 (1)由程序框图知，该运算是求a ，b ，c ，d 中的最小数．因此输入5,3,7,2，则最后输出结果为2.(2)求a ，b ，c ，d 四个数中的最小数，并输出最小数．11．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x (x >0)，0 (x ＝0)，－x －3 (x <0)，设计一个算法，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．请写出算法步骤，并画出程序框图．解算法如下：第一步，输入自变量x的值．第二步，判断x>0是否成立，若成立，计算y＝1＋x，转第四步，否则，执行下一步．第三步，判断x＝0是否成立，若成立，令y＝0，否则，计算y ＝－x－3.第四步，输出y.程序框图如图所示．12．儿童乘火车时，若身高不超过1.2米，则无需购票；若身高超过1.2米但不超过1.4米，买半票；若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画出程序框图．解本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h米，票价为a元，则旅客的购票款y为：y ＝⎩⎨⎧0 (h ≤1.2)，a2 (1.2<h ≤1.4)，a (h >1.4).设计算法如下： 第一步，输入身高h .第二步，若h ≤1.2，则不必购买车票，否则进行下一步． 第三步，若h >1.4，则购买全票，否则买半票． 框图表示如下．。

双基限时练(三)顺序结构和条件分支结构基础强化1．条件分支结构不同于顺序结构的特征是含有()A．处理框B．判断框C．输入、输出框D．起、止框解析条件分支结构必须有判断框．答案 B2．程序框图中条件分支结构的判断框有________个入口和________个出口．()A．1,2B．2,3C．1,3 D．都不确定答案 A3．阅读下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21、32、75，则输出的值是()A ．96B ．53C ．107D ．128解析 ∵21<32，∴m ＝21＋75＝96，即输出96. 答案 A4．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，1x ，4<x ≤11，log 2x ，11<x ≤14.在求f (a )(0<a <14)的算法中，需要用到条件分支结构，其中判断框的形式是()解析 因该函数f (x )的定义域被分成了三段，故在求f (a )的值的算法中要利用多分支结构，故选D.答案 D5．下列四个问题中不必用条件分支结构就能实现的是( ) A ．解方程ax ＋b ＝0(a ，b 为常数) B ．已知圆的面积，求半径rC ．比较a 、b 、c 的大小，求a 、b 、c 中最大者D ．计算函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，2x －7，x ≤0的函数值解析 解方程ax ＋b ＝0需要判断a 、b 是否为零；比较a 、b 、c 的大小需比较a 与b ，a 与c ，b 与c 的大小关系；计算f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，2x －7，x ≤0的函数值需判断自变量x >0还是x ≤0；求圆的半径只要知道圆的面积即可．所以A 、C 、D 选项中所述问题需要条件分支结构，B 选项中所述问题用顺序结构即可．故选B.答案 B6.根据下边程序框图，若输出y 的值是4，则输入的实数x 的值为( )A ．1B ．－2C ．1或2D ．1或－2解析 该程序框图表述的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜1，3x ＋1，1≤x ＜10，2x ，x ≥10.当y ＝4时x ＝－2或x ＝1.答案 D7．根据如图程序框图，若输入m 的值是3，则输出的y 的值是________．解析 若输入m 的值是3. 则p ＝8，y ＝8＋5＝13， 故输出y 的值为13. 答案 138．下面程序框图表示的算法功能是________．解析 其功能是比较a 、b 、c 的大小，输出最大值． 答案 输出a ，b ，c 中最大者9．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50千克按0.53元/千克收费，超过50千克的部分按0.85元/千克收费，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填________．解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53x ，0≤x ≤50.50×0.53＋(x －50)×0.85，x >50.①是在x >50成立时所执行的步骤，因此①处应填y ＝50×0.53＋(x －50)×0.85.答案 y ＝50×0.53＋(x －50)×0.85能力提升10．画出解方程ax＋b＝0(a，b∈R)的算法程序框图．解如下图所示．11．以下给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，求x的值．解 该程序框图描述的算法是求分段函数y ＝⎩⎨⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5.因为输入的x 值与输出的y 值相等，所以y ＝x .(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x ，x ≤2，∴x ＝0或x ＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＝x ，2<x ≤5，∴x ＝3.(3)∵⎩⎨⎧1x＝x ，x >5，∴x 无解．综上所述，x 的值为0,1,3.12．火车站对乘客退票收取一定的费用，具体办法是：按票价每10元(不足10元按10元计算)核收2元；2元以下的票不退．试写出票价为x 元的车票退掉后，返还的金额y 元的算法的程序框图．(提示：[x ]表示不大于x 的最大整数)解 如下图所示．品味高考13．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()C．[－4,3] D．[－2,5]解析 作出分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，－t 2＋4t ，t ≥1的图象(图略)，可知函数s 在[－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，∴t ∈[－1,3]时，s ∈[－3,4]．答案A。

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6 B.π3 C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22. 又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C .则cos C ＝(2a )2＋(3a )2－(4a )22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知 a ＝b sin Asin B ，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A . 答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形．解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°. ∴BC sin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B ＝3×2232＝ 2.答案28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5.答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ， ∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2. 答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝53.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22.由正弦定理，得sin A sin C ＝22. 即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ， 由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a ＝3.(3)∵a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos = ， tg = ， ctg= ， sec = ， csc = 。

双基限时练(二)1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x1处的导数C．在区间[x0，x1]上的导数D．在x处的平均变化率解析由平均变化率的定义知选A.答案A2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为()A．0B．1C．c D．不存在解析f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→0c－cΔx＝0.答案A3．y＝x2在x＝1处的导数为()A．2x B．2C．2＋Δx D．1解析∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.答案B4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足() A．Δx<0 B．Δx>0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.答案D5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是()A．物体5秒内共走过42米B．物体每5秒钟运动42米C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米解析由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒时的瞬时速度．故选D.答案D6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为________．解析∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，∴s′(3)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(18＋3Δt)＝18.答案187．设函数f(x)满足limx→0f(1)－f(1－x)x＝－1，则f′(1)＝________.解析∵limx→0f(1)－f(1－x)x＝limx→0f(1－x)－f(1)－x＝f′(1)＝－1.答案－18．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.答案 2Δx ＋(Δx )29．已知f (x )＝ax 2＋2，若f ′(1)＝4，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋2－(a ×12＋2)＝2a ·Δx ＋a (Δx )2，∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a ·Δx )＝2a ＝4.∴a ＝2.10．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝[13－8(x 0＋Δx )＋ 2 (x 0＋Δx )2]－(13－8x 0＋2x 20)＝－8Δx ＋22x 0Δx ＋2(Δx )2.f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(－8＋22x 0＋2Δx )＝－8＋22x 0，又∵f ′(x 0)＝4，∴－8＋22x 0＝4，∴x 0＝3 2.11．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在关系s (t )＝10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)．(1)求t ＝20，Δt ＝0.1时的Δs 与Δs Δt ；(2)求t ＝20时的速度．解 (1)当t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)＝1＋20＋5×0.01＝21.05.∴Δs Δt ＝21.050.1＝210.5.(2)由导数的定义知，t ＝20时的速度即为v ＝lim Δt →0Δs Δt＝lim Δt →010(t ＋Δt )＋5(t ＋Δt )2－10t －5t 2Δt ＝lim Δt →05(Δt )2＋10Δt ＋10tΔt Δt ＝lim Δt →0(5Δt ＋10＋10t )＝10＋10t＝10＋10×20＝210(m/s)．12．若一物体运动方程如下(位移：m ，时间：s)．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度为v 0，即求物体在t ＝0时瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均速度为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3(0＋Δt －3)2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18(m/s)．即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均速度变化为Δs Δt ＝29＋3(1＋Δt －3)2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.新课标第一网系列资料 。

双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →018(t ＋Δt )2－18t 2Δt＝lim Δt →014tΔt ＋18(Δt )2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t . ∴当t ＝2时，s ′＝12. 答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( )A ．h ′(a )<0B ．h ′(a )>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( ) A ．45° B ．60° C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →－9x (x ＋Δx )＝－9x 2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14. 故所求的点是(12，14)． 答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________．解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →02(2＋Δx )2－2×22Δx＝limΔx→08Δx＋2(Δx)2Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8.答案87．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________.解析limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－k.答案－k8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析由f(x)的图象及导数的几何意义知，k1>k2>k3.答案k1>k2>k39．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)， 即x ＋4y －9＝0.10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x.∴y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－x Δx＝lim Δx →01[1－(x ＋Δx )](1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－(－1)]2＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 曲线在点Q 处的切线方程为 y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－4(2＋Δx )＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0， ∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－(x 2＋1)Δx＝ lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2Δx＝2x . 设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )，即t2－2t＋a－1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a－1)>0.∴a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．。

双基限时练(三)1.A 345！＝( ) A.120B.125C.15D.110答案 C2．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )A.n ！(m －n )！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n n －m ＋1·A n －1n D ．A 1n ·A m －1n －1 解析 A 1n ·A m －1n －1＝n (n －1)！(n －m )！＝A m n . 答案 D3．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作，则分配方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析 这是一个排列问题，A 46＝6×5×4×3＝360.答案 B4．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 ∵3A n －18＝4A n －29，∴3·8！(8－n ＋1)！＝4·9！(9－n ＋2)！， 即3(9－n )！＝4·9(11－n )！∴(11－n )(10－n )＝12.即n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7，或n ＝14(舍去)．答案 C5．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 把n ＝5代入验证知，A 26－A 25＝6×5－5×4＝10.答案 B6．以下四个命题，属于排列问题的是( )①一列车途经12个车站，应准备多少张车票；②在假期间，某班同学互通一次电话；③高三·2班有50名同学，选出2名同学去校长办公室开座谈会；④从1,2,3,4这四个数字中，任取3个数字组成三位数．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 D7．若A 2n －2＋n >2，则n 的取值范围是________________________________________________________________________．解析 根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ n －2≥2，(n －2)(n －3)＋n >2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≥4，n ∈N *. 答案 {n |n ≥4，n ∈N *}8．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数是________． 解析 ∵A 11＝1，A 22＝2，A 33＝6，A 44＝24，A 55＝120，…，∴S 的个位数字是3.答案 39．求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 证明 ∵A m n ＋1－A m n ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 ＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n －m ＋1)！＝m A m －1n . ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n. 10．解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .解 由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 得，3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3，∴两边同除以x 得，3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5，或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.11．(1)求证：n (n ＋1)！＝1n ！－1(n ＋1)！； (2)求和：12！＋23！＋34！＋…＋n (n ＋1)！. 解 (1)证明：∵1n ！－1(n ＋1)！＝(n ＋1)！－n ！n ！·(n ＋1)！＝n ·n ！n ！(n ＋1)！＝n (n ＋1)！∴n (n ＋1)！＝1n ！－1(n ＋1)！. (2)由(1)知，12！＋23！＋34！＋…＋n (n ＋1)！＝(1－12！)＋(12！－13！)＋(13！－14！)＋…＋[1n ！－1(n ＋1)！] ＝1－1(n ＋1)！. 12．对于任意正整数n ，定义“n 的双阶乘n ！！”如下：当n 为偶数时，n ！！＝n ·(n －2)·(n －4)…6×4×2；当n 为奇数时，n ！！＝n (n －2)(n －4)…5×3×1.证明：(1)(2010！！)·(2009！！)＝2010！；(2)2010！！＝21005·1005！.证明 (1)由定义，得(2010！！)·(2009！！)＝(2010×2008×2006×…×6×4×2)×(2009×2007×2005×…×5×3×1)＝2010！.(2)2010！！＝2010×2008×…×6×4×2＝21005(1005×1004×…×3×2×1) ＝21005·1005！.。