黑龙江省大庆铁人中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题

黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题2．（5分）设θ∈（，π），则关于x、y的方程﹣=1所表示的曲线是（）A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆3．（5分）已知A={1，2，4，5}，a，b∈A则方程=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）若点P（a，1）在椭圆=1的外部，则a的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）抛物线y=2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1•x2=﹣，则m等于（）A．B．2C．D．36．（5分）用秦九韶算法求多项式：f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4的值时，v4的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．347．（5分）阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜68．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2B．3C．6D．810．（5分）已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．e12+e22=2 B．e12+e22=4C．D．11．（5分）△ABC中，是|的（）A．充要条件B．充分条件C．必要条件D．必要不充分条件12．（5分）给出下列命题：（1）等比数列{a n}的公比为q，则“q＞1”是“”的既不充分也不必要条件；（2）“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；（3）函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则实数﹣2＜a＜2；（4）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的充要条件．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．（5分）如图程序输出sum的值是．14．（5分）如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是．15．（5分）已知椭圆的焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．若点P在第三象限，且∠PF1F2=120°，则sin∠F1PF2=．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）用辗转相除法求228，1995的最大公约数；（2）把11102（3）化成6进制数．18．（12分）△ABC中，|BC|=24，AC，BA边上的两条中线之和为39．若以BC边为x轴，BC中点为坐标原点建立平面直角坐标系．求：△ABC重心的轨迹方程．19．（12分）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．21．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N 直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．22．（12分）已知抛物线y2=x的弦AB与直线y=1公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R均有x2+x+1≥0D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：A，写出命题“若p，则q”的逆否命题“若￢q，则￢p”，判定命题是否正确；B，x=1时，x2﹣3x+2=0是否成立；x2﹣3x+2=0时，x=1是否成立，判定命题是否正确；C，写出命题p的否定￢p，判定命题是否正确；D，当p∧q为假命题时，p与q的真假关系，判定命题是否正确．解答：解：对于A，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题是：“若方程x2+x﹣m=0无实数根，则m≤0”，命题正确；对于B，x=1时，x2﹣3x+2=0；x2﹣3x+2=0时，x=1或2，∴x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，命题正确；对于C，命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，的否定是￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，∴命题正确；对于D，若p∧q为假命题，则p为假命题，q为真命题，或p为真命题，q为假命题，或p，q均为假命题，∴命题错误．故选：D．点评：本题通过命题真假的判定，考查了简易逻辑的应用问题，解题时应对每一个命题进行认真分析，从而得出正确的答案，是基础题．2．（5分）设θ∈（，π），则关于x、y的方程﹣=1所表示的曲线是（）A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用θ∈（，π），可定﹣cosθ＞sinθ＞0，即可得出结论．解答：解：∵θ∈（，π），∴﹣cosθ＞sinθ＞0，∴关于x、y的方程﹣=1所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆．故选：C．点评：本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，比较基础．（x2+x1）2﹣2x2x1nn﹣1n﹣210，.（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N 直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．解答：（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b．又a+b=3，得a=2，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为．联立，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．所以，．则．所以P（）．又直线AD的方程为．联立，解得M（）．由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）．所以MN的斜率为=．则．所以2m﹣k为定值．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．22．（12分）已知抛物线y2=x的弦AB与直线y=1公共点，且弦AB的中点N到y轴的距离为1，求弦AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由抛物线y2=x知p=，F（，0），根据抛物线的定义，三角形的边角关系，判断得出最值，及相应直线的位置，（2）联立方程组，借助韦达定理，弦长公式求解直线方程．解答：解：（1）由抛物线y2=x知p=，F（，0），准线方程为x=﹣，N到准线的距离为d=1+=，AF+BF=2×d=，在△ABF中，AF+BF≥AB，所以AB=取最大，此时直线AB过焦点F，（2）设AB的方程：y=k（x﹣），A（x1，y1）B（x2，y2）与y2=x联立方程组化简得：k2x2﹣（+1）x+=0，x1+x2=，x1x2=，|AB|2=（1+k2）|x1﹣x2|2=（1+k2）=，求解得出：k=，∴直线AB的方程：y=（x﹣），即：直线的方程为：4x﹣2y﹣1=0点评：本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，焦点弦的性质，求解方法，属于中档题．。

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.函数y=（2x+1）2的导数为（）A. B. C. D.2.已知曲线y=2x3+3x上一点A（1,5）,则A处的切线斜率等于（）A. 9B. 1C. 3D. 23.命题“∀x＞0,都有x2-x≤0”的否定是（）A. ,使得B. ,使得C. ,都有D. ,都有4.双曲线-y2=1的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.设函数f（x）在x=1处存在导数,则=（）A. B. C. D.6.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为（）A. B. C. D.7.f（x）=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是（）A. B. 0 C. 2 D. 48.函数f（x）=（x3-1）2+2的极值点是（）A. B. C. 或1 D. 或09.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点（-5,2）在抛物线上,则抛物线的方程为（）A. B.C. D. 或10.若函数f（x）=kx-ln x在区间（1,+∞）上单调递增,则k的取值范围是（）A. B. C. D.11.下列说法错误的是（）A. 命题“若,则”的逆否命题为：“若,则”B. “”是“”的充分而不必要条件C. 若p且q为假命题,则p、q均为假命题D. 命题p：“存在,使得”,则非p：“任意,均有”12.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且（O为坐标原点）,若,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知双曲线的焦距为4,则a的值为______．14.已知p：-4＜x-a＜4,q：2＜x＜3．若q是p的充分条件,则实数a的取值范围为______．15.函数f（x）=ln x-x2的递减区间为______．16.函数f（x）=e x-1-x3的图象在x=1处的切线方程是______．三、解答题（本大题共6小题）17.求下列函数的导数．（1）f（x）=2x2+ln x+cos x；（2）f（x）=x3e x．18.（Ⅰ）已知某椭圆过点（,1）,（-1,）,求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求与双曲线-=1有共同的渐近线,经过点M（3,-2）的双曲线的标准方程．19.命题p：函数y=lg（-x2+4ax-3a2）（a＞0）有意义,命题q：实数x满足＜0．（1）若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围．20.已知函数f（x）=x lnx+ax+b在（1,f（1））处的切线为2x-2y-1=0．（1）求实数a,b的值；（2）求f（x）的单调区间．21.己知椭圆的一个顶点坐标为（2,0）,离心率为,直线y=x+m交椭圆于不同的两点A,B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1,1）,当△ABC的面积为1时,求实数m的值．22.已知函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时,在定义域内恒成立,求实数a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意,y=（2x+1）2=4x2+4x+1,则y′=8x+4=4（2x+1）,故选：D．根据题意,由导数的计算公式分析可得答案．本题考查导数的计算,关键是掌握导数的计算公式,属于基础题．2.【答案】A【解析】解：曲线y=2x3+3x,f′（x）=6x2+3,f′（1）=6+3=9,故选：A．求出函数的导数,计算f′（1）的值,即可得到A处的切线斜率．本题考查了导数的应用,考查切线方程问题,是一道基础题．3.【答案】B【解析】解：命题“∀x＞0,都有x2-x≤0”的否定是“∃x＞0,使得x2-x＞0”故选：B．全称命题“∀x∈M,p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M,￢p（x）”．所以全称命题“∀x＞0,都有x2-x≤0”的否定是特称命题“∃x＞0,使得x2-x＞0”．本题考查全称命题“∀x∈M,p（x）”的否定形式．4.【答案】B【解析】解：双曲线-y2=1的渐近线方程为：x±2y=0．故选：B．通过双曲线的标准方程求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查．5.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）在x=1处存在导数,∴==f′（1）．故选：A．利用极限概念直接求解．本题考查函数的极限的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极限定义的合理运用．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4,且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=,∴a=,∵离心率为,∴,解得c=1,∴b==,∴椭圆C的方程为+=1．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值,解题的关键是求导要精确．【解答】解：f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）,令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去）,当-1＜x＜0时,f'（x）＞0,当0＜x＜1时,f'（x）＜0,∴当x=0时,f（x）取得最大值为f（0）=2．故选C.8.【答案】B【解析】解：f（x）=（x3-1）2+2=x6-2x3+1+2=x6-2x3+3,∴f′（x）=6x5-6x2=6x2（x3-1）=6x2（x-1）（x2+x+1）,∵x2+x+1=（x+）2+＞0,∴f′（x）=0得x=0或x=1,如下表知：故选：B．用导数值等于零的解求极值点,但注意在解的左右区间符合必须不同才是极值点．本题考查极值点的定义,属于简单题．9.【答案】B【解析】解：根据题意,抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,设其方程为y2=mx,又由抛物线经过点（-5,2）,则有（2）2=m×（-5）,解可得m=-4,则抛物线的方程为y2=-4x；故选：B．根据题意,设要求抛物线的方程为y2=mx,将点点（-5,2）代入方程,计算可得m的值,即可得答案．本题考查抛物线的标准方程,注意分析抛物线的开口方向,基础题．10.【答案】C【解析】解：f′（x）=k-,∵函数f（x）=kx-ln x在区间（1,+∞）单调递增,∴f′（x）≥0在区间（1,+∞）上恒成立．∴k≥,而y=在区间（1,+∞）上单调递减,∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞）．故选：C．求出导函数f′（x）,由于函数f（x）=kx-ln x在区间（1,+∞）单调递增,可得f′（x）≥0在区间（1,+∞）上恒成立．解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,属于中档题．11.【答案】C【解析】解：A、命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,命题正确；B、当x＞1时,|x|＞1成立,当|x|＞1时,有x＞1或x＜-1,∴原命题正确；C、当p且q为假命题时,有p或q为假命题,或P、Q都是假命题,∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R,使得x2+x+1＜0”,则非p：“任意x∈R,均有x2+x+1≥0”,命题正确．故选：C．A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立,必要性不成立；C中p且q为假命题时,则p或q为假命题,或P、Q都是假命题,即一假则假；D中非p是特称命题的否定．本题考查了四种命题之间的关系,以及命题的否定,命题真假的判定等知识,是基础题．12.【答案】A【解析】解：如图,取PF1的中点A,连接OA,∴2=+,=,∴+=,∵,∴•=0,∴⊥,∵,不妨设|PF2|=m,则|PF1|=m,∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,∴m=a=2（-1）a,∵|F1F2|=2c,∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3-2）,∴=9-6=（-）2,∴e=-,故选：A．如图,取PF1的中点A,连接OA,根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（O为坐标原点,可得⊥,再根据椭圆的几何性质和勾股定理可得4c2=3×4a2（3-2）,根据离心率公式计算即可．本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直,考查了椭圆的简单性质,属于中档题．13.【答案】【解析】解：由双曲线,得c2=a2+1,即c=,又焦距为4,∴,得a=,又a＞0,∴a=．故答案为：．由双曲线方程求得c,再由焦距为4列式求得a值．本题考查双曲线的简单性质,是基础的计算题．14.【答案】[-1,6]【解析】解：∵p：-4＜x-a＜4,即a-4＜x＜a+4,q：2＜x＜3．若q是p的充分条件,则（2,3）⊆（a-4,a+4）,则,即-1≤a≤6．∴实数a的取值范围为[-1,6]．故答案为：[-1,6]．求解一元一次不等式化简p,再由q是p的充分条件得（2,3）⊆（a-4,a+4）,转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．本题考查充分必要条件的判定及其应用,考查集合间的关系,是基础题．15.【答案】（1,+∞）【解析】解：∵定义域为（0,∞）,∴f'（x）===；令f'（x）＜0,∴x＞1；∴f（x）的减区间为（1,+∞）．故答案为：（1,+∞）．根据利用导数判断函数单调性方法,首先求定义域,求导函数,f'（x）＜0即可得f（x）的单调减区间．本题考查了利用导数求函数单调性的方法,注意先求定义域,属于基础题．16.【答案】2x+y-2=0【解析】解：函数f（x）=e x-1-x3,可得f′（x）=e x-1-3x2,f′（1）=-2,f（1）=0,故切线方程是：y-0=-2（x-1）,即2x+y-2=0,故答案为：2x+y-2=0．求出函数的导数,计算f（1）,f′（1）的值,求出切线方程即可．本题考查了导数的应用,考查切线方程问题,是一道基础题．17.【答案】解：（1）根据题意,f（x）=2x2+ln x+cos x,则f′（x）=（2x2）′+（ln x）′+（cos x）′=4x+-sin x,（2）f（x）=x3e x,则f′（x）=（x3）′e x+x3（e x）′=（3x2+x3）e x【解析】（1）由导数的计算公式可得f′（x）=（2x2）′+（ln x）′+（cos x）′,进而计算可得答案；（2）由导数的乘法法则可得f′（x）=（x3）′e x+x3（e x）′,变形可得答案．本题考查导数的计算,关键是掌握导数的计算公式,属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx2+ny2=1,（m＞0,n＞0,m≠n）∴,解得m=,n=,∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）设双曲线方程为=λ,代入点M（3,-2）,解得λ=-2,∴=-2,故双曲线方程为=1．【解析】本题考查椭圆方程、双曲线方程的求法,考查待定系数法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题．（Ⅰ）设椭圆方程为mx2+ny2=1,（m＞0,n＞0,m≠n）,利用待定系数法能求出椭圆方程．（Ⅱ）设双曲线方程为=λ,代入点M（3,-2）,能求出双曲线方程．19.【答案】解：（1）由-x2+4ax-3a2＞0,得x2-4ax+3a2＜0,即（x-a）（x-3a）＜0,其中a＞0,得a＜x＜3a,a＞0,则p：a＜x＜3a,a＞0．若a=1,则p：1＜x＜3,由＜0,解得2＜x＜3．即q：2＜x＜3．若p∧q为真,则p,q同时为真,即,解得2＜x＜3,∴实数x的取值范围是（2,3）．（2）若q是p的充分不必要条件,∴即（2,3）⫋（a,3a）．∴,且3a=3,a=2不能同时成立,解得1≤a≤2．∴实数a的取值范围为[1,2]．【解析】（1）由函数y=lg（-x2+4ax-3a2）（a＞0）有意义化简p,求解分式不等式化简q,再由p∧q为真,得p,q同时为真,取交集得答案；（2）由q是p的充分不必要条件,得（2,3）⫋（a,3a）,再由两角和端点值间的关系列不等式组求解．本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法,考查充分必要条件的判定及其应用,考查逻辑思维能力与推理运算能力,是中档题．20.【答案】（1）依题意可得：2-2f（1）-1=0,即f（1）=,∵f（x）=x lnx+ax+b,∴f′（x）=ln x+a+1,又∵函数f（x）在（1,f（1））处的切线为2x-2y-1=0,f（1）=,∴,解得：．（2）由（1）可得：f'（x）=1+ln x,当x时,f'（x）≤0,f（x）单调递减；当x时,f'（x）＞0,f（x）单调递增,∴f（x）的单调减区间为（0,）,f（x）的单调增区间为（,+∞）．【解析】（1）首先对f（x）求导,求出（1,f（1））点处的切线方程与2x-2y-1=0相等即可；（2）结合（1）然后利用导数求解函数的单调区间即可．题考查函数的导数的应用,切线方程以及函数的单调性的求法,以及计算能力21.【答案】解：（I）∵a=2,=,b2=a2-c2,联立解得：a=2,c=,b2=1．∴椭圆M的方程为：+y2=1．（II）设A（x1,y1）,B（x2,y2）．联立,化为：5x2+8mx+4m2-4=0,△=644m2-20（4m2-4）＞0,解得＜m．∴x1+x2=-,x1x2=．|AB|==,点C到直线AB的距离d=．∴S△ABC=|AB|•d=××=1．解得m=∈（,）．∴m=．【解析】（I）由a=2,=,b2=a2-c2,联立解得：a,c,b2．可得椭圆M的方程．（II）设A（x1,y1）,B（x2,y2）．联立直线与椭圆方程化为：5x2+8mx+4m2-4=0,△＞0,把根与系数的关系代入|AB|==,点C到直线AB的距离d=．利用S△ABC=|AB|•d=1．解得m．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意,x＞0,f′（x）=,①当a≤0时,f′（x）＞0在（0,+∞）恒成立,f（x）单调递增区间为（0,+∞）,无单调递减区间；②当a＞0时,x∈,f′（x）＞0,x∈f′（x）＜0,f（x）单调递增区间为,单调递减区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时,f（x）min=f（）=-a ln即a-a lna-1≥0,令f（a）=a-a lna-1,f′（a）=1-（a×+ln a）=-ln a,当a∈（0,1）时,f′（a）＞0,当a∈（1,+∞）时,f′（a）＜0,∴当a=1时f（a）在a=1处取极大值,f（a）max=f（1）=0,∴f（a）≤f（1）,若使a-a lna-1≥0,只能取a=1,故,a=1【解析】（Ⅰ）先求导,利用导函数确定函数的单调区间；（Ⅱ）利用转化思想,当a＞0时,在定义域内恒成立,即a-a lna-1≥0进而求解；（Ⅰ）考查函数求导,分类讨论思想,利用导函数确定函数的单调区间；（Ⅱ）考查转化思想,将恒成立转化成函数的最值,进而利用导函数求解；。

S=0 i =1 DOINPUT x S=S+x i =i +1LOOP UNTIL a =S/20 PRINT a END时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是( ) A ．0 B ．0.1 C ．1 D ．－13．如果向量＝ a (1，0，1)，＝ b (0，1，1)分别平行 于平面 ，且都与这两个平面的交线l 垂直， 则二面角－l －的大小可能是( )． A ．90º B．30º C ．45º D．60º 4.如图为一个求20个数的平均数的程序， 在横线上应填充的语句为( ) A ．i<＝20 B ．i<20 C ．i>＝20 D ．i>205．F1，F2是椭圆C ：1 ＝4＋822y x 的焦点，在C 上满足PF1⊥PF2的点P 的个数为A ．0B ．1C ．2D ．46.给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这 30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图, 那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入 A ．i≤30？和p ＝p ＋i －1 B ．i≤31？和p ＝p ＋i ＋1 C ．i≤31？和p ＝p ＋i D ．i≤30？和p ＝p ＋i7．若椭圆92x ＋y2＝1上一点A 到焦点F1的距离为2，B 为AF1的中点，O 是坐标原点，则|OB|的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．48．把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的中线AD 折成90º的二面角B —AD —C 后，点D 到平面ABC 的距离为( )．A ．23B ．721C ．515D ．19．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N(均在第一象限内)，若FM →＝4MN →，则双曲线的离心率为( ) A.54 B.53 C.35 D.4510．如果点P 在以F 为焦点的抛物线x2＝2y 上，且∠POF ＝60º(O 为原点)，那么△POF 的面积是( )．A ．3B．2C．6D ．2311.过点(4, 0)的直线与双曲线112422=-y x 的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k的取值范围是（ ） A ．| k |≥1B ．| k | >3C ．| k |≤3D ．| k | < 112.设抛物线y2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|＝2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 A.45 B.23 C.47 D.12 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.把“五进制”数(5)1234转化为“八进制”数14.用秦九韶算法计算f(x)＝3x4＋2x2＋x ＋4当x ＝10时的值的过程中， v1的值为________．15.椭圆＝1＋422y x 和双曲线＝1－222y x 有相同的左、右焦点F1，F2，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 ．16.已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A 、B 两点，若AF →＝3FB →，则k 等于三、解答题：（共70分）17.(10分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．18.(12分)在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°的角，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD.(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ； (2)设E 是棱PD 上一点，且PE ＝13PD ，求异面直线AE 与PB 所成角的余弦值．19.(12分)双曲线C 的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为21,l l ,经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交21,l l 于B A ,两点.FAOA =,且与同向（I ）求双曲线C 的离心率；（II ）设AB 被双曲线C 所截得的线段的长为4，求双曲线C 的方程．20.(12分) 已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=，2AB PB PD ===，PC =，AC 与BD 交于O 点，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．（1）求证：PH ⊥平面ABCD ；（2）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．21.(12分) 已知椭圆1＝＋2222by ax (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝34，|PF2|＝314．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 过圆x2＋y2＋4x －2y ＝0的圆心M 且交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．22.(12分)如图,在三棱锥A —BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边,且AD ＝3,BD ＝CD ＝1,另一个侧面ABC 是正三角形． （1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B —AC —D 的余弦值； （3）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30º角？若存在，确定CE 大小； 若不存在，说明理由．参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分） AADDC DBBBC BA 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.302 14.30 15.2 16. 2 三、解答题：（共70分） 17,1817. (10分)已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x<1－a 5或x>1＋a5. ……3分 已知条件q 即2x2－3x ＋1>0，∴x<12或x>1. ……6分令a ＝4，则p 即x<－35或x>1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题的假命题． 注意：a 的值满足a≥4的都可以18. (12分)[解析]因为AB,AD,AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A －xyz. ……1分 ∵PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°， ∴∠PBA ＝60°.取AB ＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0，3)，D(0,2,0)．……3分 (1)∵AC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0，3)，CD →＝(－1,1,0)， ∴AC →·CD →＝－1＋1＋0＝0，AP →·CD →＝0.∴AC ⊥CD ，AP ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAC.CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC. ……6分(2)∵PE →＝13PD →，∴E(0，23，233)，∴AE →＝(0，23，233)．又PB →＝(1,0，－3)，∴AE →·PB →＝－2.∴cos 〈AE →·PB →〉＝AE →·PB →|AE →|·|PB →|＝－243×2＝－34.∴异面直线AE 与PB 所成角的余弦值34. ……12分19. (12分)25=e , ……6分193622=-y x ……12分20. (12分)（1）证明：连结OP ，因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥， 又因为OPAC O =，所以BD ⊥平面PAC ． 又PH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥PH ．在直角三角形POB 中，1OB =，2PB =，OECDB A PH所以OP =PC =，H 为OC 的中点， 所以PH OC ⊥．又因为BDOC O =所以PH ⊥平面ABCD ． ……6分（2）解：过点O 作OZ ∥PH ，所以OZ ⊥平面ABCD ．如图，以O 为原点，OA ，OB ，OZ 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．……7分可得，A ，(0,1,0)B，(C ，3()22P -，3)44E ．所以(AB =-，3(,0,)22AP =-，53()44CE =．设(,,)x y z =n 是平面PAB 的一个法向量，则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0302y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则=n ． 设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，可得4sin cos ,7n CE ==θ〈〉．所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为47． ……12分21，2221. (12分) (1)：由|PF1|＋|PF2|＝2a ，知a ＝3．又PF1⊥F1F2，在Rt △PF1F2中，有(2c)2＋|PF1|2＝|PF2|2，有c ＝5． ∴b ＝22c －a ＝2．所以 1 ＝4＋922y x ． ……4分(2)已知直线l 过(－2，1)，当k 存在时，设直线y ＝kx ＋2k ＋1代入椭圆方程.整理有：(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x ＋36k2＋36k －27＝0.由韦达定理可知x1＋x2＝－229＋ 418＋36kkk ＝2×(－2)＝－4.∴k ＝98.即8x －9y ＋25＝0.当k 不存在时，直线l 为x ＝－2，不合题意舍去. 即l 的方程为8x －9y ＋25＝0. ……12分22. (12分)(1)坐标法，以D 为原点，直线DB ，DC 为x ，y 轴，……1分 可得0 ＝ •． AD ⊥BC …… 4分(2) 平面ABC 、ACD 的法向量取n1＝(1，1，－1)、n2＝(1，0，－1)，可得 cos<n1，n2>＝36. …… 8分(3)存在，CE ＝1．设E(x ，y ，z)可得＝(x ，1，x)，又面BCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 由cos<DE ，n>＝cos 60º，得x ＝22. CE ＝(22，0，22) CE ＝1……12分。

黑龙江省大庆铁人中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题第I卷（选择题）1. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单随机抽 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样D．系统抽样【答案】C【解析】试题分析：该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,所以应选择分层抽样.故C正确. 考点：统计抽样.2. 有40件产品，编号从1到40，先从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为（）A．5,10,15,20 B．2,12,22,32 C．2,14,26,38 D．5,8,31,36【答案】B【解析】试题分析：从40件中抽取4件,采用系统抽样时应分成4段,每段间隔为10.故B正确.考点：系统抽样.3、关于频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是（）A．频率分布折线图与总体密度曲线无关 B. 频率分布折线图就是总体密度曲线C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限的接近总体密度曲线, 【答案】D【解析】试题分析：因为如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是总体密度曲线.故D正确.考点：频率分布折线图,总体密度曲线.4. 某射击小组有20个人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.7，7B.8,7.5C.7，7.5D.8，6【答案】C【解析】试题分析：最高矩形的数据为7,所以众数为7.20人中数据由小到大排列第10个的数据为7,第11个的数据为8,所以中位数为787.52+=.故C正确.考点：1条形图;2众数,中位数.5. 用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A . 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次【答案】B【解析】试题分析：986335,633528,35287,28721,21714,1477-=-=-=-=-=-=.所以98和63的最大公约数为7.所做减法次数为6.故D正确.考点：更相减损术求最大公约数.6. 算法如果执行下面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p于（）A . 720 B. 360 C. 240 D. 120【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次为:()1,16413k p ==⨯-+=;()112,364212k p =+==⨯-+=;()213,1264360k p =+==⨯-+=;()314,60644360k p =+==⨯-+=,跳出循环,输出360p =.故B 正确.考点：算法.7. 如图所示的程序框图运行的结果是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：根据框图的循环结构可知当跳出循环时应输出:111112233420122013A =++++⨯⨯⨯⨯ 1111111112233420122013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12012120132013=-=.故C 正确. 考点：1算法;2裂项相消法求数列的和.8. 如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为（）A ．n≤2？B ．n≤3？C ．n≤4？D ．n≤5？【答案】C【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次为: 1022,112S n =+==+=; 2226,213S n =+==+=; 36214,314S n =+==+=; 414230,415S n =+==+=,此时跳出循环, 所以①应为4?n ≤.故C 正确.考点：算法.9. 下列程序执行后输出的结果是（ ）A ．－1B ．0C ．2D ．1【答案】D【解析】试题分析：根据程序可知依次: 055,514S n =+==-=;549,413S n =+==-=;9312,312S n =+==-=;12214,211S n =+==-=,此时跳出循环,输出1n =.故D 正确. 考点：算法.10. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】C考点：互斥事件,对立事件.11．已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．相B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】试题分析：将226890x y x y +--+=变形为()()223416x y -+-=,可知其圆心为()3,4,半径为4R =.圆221x y +=的圆心为()0,0,半径为1r =.5R r ==+,所以两圆外切.故C 正确. 考点：两圆的位置关系.12．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，512D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫512，34 【答案】A【解析】()23k x =-+有两个不等实根等价于函数y =的图像与直线()23y k x =-+有两个不同的交点.函数y =的图像是以()0,0为圆心2为半径的半圆,(位于x 轴及x 轴上方的部分).直线()23y k x =-+斜率为k 且恒过定点()2,3M .如图所示,当直线与半圆相切时圆心到直线的距离2d ,解得512k =. 当直线过点()2,0A -时, ()303224MA k k -===--.由数形结合可知函数y =的图像与直线()23y k x =-+有两个不同的交点即方程()23k x =-+有两个不等实根时53124k <≤.故A 正确. 考点：1方程的根;2转化思想;3数形结合思想.第II 卷（非选择题）二．填空题（共4小题，每题5分）13. 某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是 .【答案】0.2【解析】试题分析：所求概率10.30.30.20.2P =---=.考点：概率的性质.14. 用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6的值，当x ＝－4时，v 4的值为【答案】220【解析】试题分析：根据秦九韶算法将多项式改写成如下形式: ()()()()()()1235879653f x x x x x x x =++-++++,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当4x =-时的值:()()0123;3457;74634v v v ==⨯-+=-=-⨯-+=;()()343447957;5748220v v =⨯-+=-=-⨯--=.考点：秦九韶算法.15. 将二进制数)2(11010化为八进制数为 (8)；【答案】32【解析】试题分析：将二进制数)2(11010化为十进制数为43210121202120226⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,26832;3803=⨯+=⨯+.所以26化为八进制为()832.考点：进位制.16. 如果执行下面的程序框图，输入n=251，m=15，那么输出的结果是【答案】1【解析】试题分析：当输入251,15n m ==时m n >不成立,则有251,15m n ==, 1611m n =+, 110r ∴=≠. 所以进入循环体得15,11m n ==,此时4m n =+, 40r ∴=≠,再次进入循环体得11,4m n ==,此时23,30m n r =+∴=≠,仍进入循环体得4,3m n ==,此时1m n =+, 10r ∴=≠.接着进入循环体得3,1m n ==,此时30m n =+, 0r ∴=,输出1n =.考点：程序框图.三．解答题：（共5小题，每题14分）17. 某移动公司对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否愿意使用4G 网络的社会调查，若愿意使用的称为“4G 族”，否则称为“非4G 族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组 频数 4G 族在本组所占比例 第一组[25，30） 200 0.6 第二组[30，35） 300 0.65 第三组[35，40） 200 0.5 第四组[40，45） 150 0.4 第五组[45，50） a 0.3 第六组 [50，55] 50 0.3（1）补全频率分布直方图并求n 、a 的值；（2）用频率分布直方图估计“4G 族”年龄的中位数，和平均数（不用写过程只写数据）（3）从年龄段在[40，50）的“4G 族”中采用分层抽样法抽取6人参加4G 网络体验活动，求年龄段分别在[40，45）、[45，50）中抽取的人数．【答案】（1）1000,100n a ==;（2）中位数：35 平均数：36.5; （3）[)40,45岁中应抽取4人, [)45,50岁中应抽取2人.【解析】试题分析：（1）根据公式=频数频率总数及频率和为1.可得第二组的频率.从而可得第二组的小矩形的高.再根据=频数频率总数可分别求得,n a .（2）根据中位数使频率分布直方图左右两侧的面积相等可求得中位数,平均数为每组中点的横坐标乘以本组的频率之和. （3）[)40,45岁中“4G 族”人数为1500.460⨯=.[)45,50岁中“4G 族”人数1000.330⨯=.根据分层抽样是按比例抽取从而可得各组抽取的人数.试题解析：解：（1）根据题意，第二组的频率()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=， ∴对应小矩形的高为0.30.065=， 补全频率分布直方图如图所示；第一组的频率为0.0450.2⨯=，20010000.2n ∴==， 第五组的频率为0.0250.1⨯=，10000.1100a ∴=⨯=；(2)中位数：35 平均数：36.5（3）[)40,45岁中应抽取4人(60646030⨯=+)， [)45,50岁中应抽取2人(30626030⨯=+)． 考点：1频率分布直方图;2分层抽样.18. 甲，乙两台机床在相同的技术条件下同时生产一种零件，现在从中抽测6个，尺寸（单位：mm ）如下 甲机床：10.2 10.1 9.8 10.3 9.7 9.9乙机床：11.0 10.4 9.6 10.1 8.9 10.0（1）用茎叶图表示甲，乙两台机床的尺寸（2）分别计算上面两个样本的平均数和方差。