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二倍角的正弦余弦正切公式Word版

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二倍角的正弦余弦正切公式
教学目标
1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)
2．掌握二倍角公式及其变形公式的应用．(难点)
3．二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与
联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式
阅读教材P132～P133例5以上内容，完成下列问题．
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 公式
S2α sin 2α＝2sin αcos α
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α

T2α
tan 2α＝2tan α1－tan2α

2.余弦的二倍角公式的变形

3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α．
(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
解:(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍

角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说
法错误．
(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.

(3)×.当cos α＝
1－3
2
时，cos 2α＝2cos α.

【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．已知cos α＝13，则cos 2α等于________．

解:由cos α＝13，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×132－1＝－79.
【答案】 －79
化简求值.
(1)cos4 α2－sin4 α2；
(2)sin π24·cos π24·cos π12；
(3)1－2sin2 750°；
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(4)tan 150°＋1－3tan2 150°2tan 150°.
灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.

解:(1)cos4 α2－sin4
α
2

＝cos2 α2－sin2 α2cos2 α2＋sin2 α2
＝cos α.
(2)原式＝
1
22sin π24cos π24·cosπ12

＝12sin π12·cos π12＝142sin π12·cos π12

＝14sin π6＝
1
8
.

∴原式＝
1
8
.

(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝
1
2
.

∴原式＝
1
2
.

(4)原式＝
2tan2150°＋1－3tan2 150°
2tan 150°

＝1－tan2 150°2tan 150°＝
1
tan（2×150°）
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＝1tan 300°＝1tan（360°－60°）

＝－1tan 60°＝－
3
3
.

∴原式＝－
3
3
.

二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识
的体现．主要形式有：

2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，

cos α＝sin 2α2sin α，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，
2tan
α
1－tan2
α
＝tan 2α.

(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会
贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)
2
，1＋

cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝1＋cos 2α2，sin2 α＝1－cos 2α2.
[再练一题]
1.求下列各式的值：

(1)sin π12cos π12；
(2)2tan 150°1－tan2150°；
(3)1sin 10°－3cos 10°；
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(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
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解:(1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－3.

(3)原式＝
cos 10°－3sin 10°
sin 10°cos 10°＝212cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°

＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°

＝4sin 20°sin 20°＝4.
(4)原式＝
2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
2sin 20°

＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°

＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝
1
8
.

利用二倍角公式解决求值问题
(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2

C．34 D．－34
(2)已知sinπ6＋α＝13，则cos2π3－2α的值等于( )

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6.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

6.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式


C.2
B. −

C.−

D.
）
A.
B.
C.
D.


例：在△ABC中， = ， = ，求( + )的值.




解法一：在△ABC中， 由 = ， < < ，得 = − = .

∴ = ( + ) = −
综上：二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
正弦
公式
公式的逆用
简记
=
① =

② =

③ =

∴ ( + ) = [( + )] = −(+) =
课后作业：
1.求下列各式的值:


（1）




（2） −


（3）


−




2.求下列各式的值：
（1）







3.已知( − ) =
（1）若 = 求x的值




.
（2）设函数() = ∙ ，求()的最大值.








11.已知( − ) = ，且是锐角，则( − ) 、 ( − ) 、 ( − )分别等于多少？






12.若( + ) = ( < < )，则 等于多少？
3.升幂和降幂公式：

两倍角的正弦余弦正切公式

两倍角的正弦余弦正切公式

两倍角的正弦余弦正切公式正弦、余弦和正切是三角函数中最基本的函数之一，它们在数学和物理中有着广泛的应用。

而两倍角的正弦、余弦和正切公式则是在解决复杂问题时经常用到的重要工具。

本文将详细介绍两倍角的正弦、余弦和正切公式及其应用。

一、两倍角的正弦公式在解决一些三角函数的复杂问题时，经常会遇到求两倍角正弦值的情况。

根据两倍角的正弦公式，我们可以用已知的角的正弦值来求解两倍角的正弦值。

两倍角的正弦公式如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的正弦值为0.6，我们可以利用两倍角的正弦公式求解sin(2θ)。

根据公式，sin(2θ) = 2sinθcosθ，代入已知值，则有sin(2θ) = 2 × 0.6 × cosθ。

二、两倍角的余弦公式与两倍角的正弦公式类似，两倍角的余弦公式也是求解复杂问题中常用的工具。

根据两倍角的余弦公式，我们可以用已知角的余弦值来求解两倍角的余弦值。

两倍角的余弦公式如下：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ同样，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的余弦值为0.8，我们可以利用两倍角的余弦公式求解cos(2θ)。

根据公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，代入已知值，则有cos(2θ) = 0.8^2 - (1 - 0.8^2)。

三、两倍角的正切公式两倍角的正切公式在解决复杂问题时也非常有用。

根据两倍角的正切公式，我们可以用已知角的正切值来求解两倍角的正切值。

两倍角的正切公式如下：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)同样，θ为已知角的角度。

例如，已知角θ的正切值为1.5，我们可以利用两倍角的正切公式求解tan(2θ)。

根据公式，tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)，代入已知值，则有tan(2θ) = (2 × 1.5) / (1 - 1.5^2)。

二倍角正弦余弦正切的公式

二倍角正弦余弦正切的公式

二倍角正弦余弦正切的公式二倍角公式是指将一个角的两倍角的正弦、余弦和正切表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。

二倍角公式在三角函数的计算和证明中非常有用。

下面将详细介绍二倍角公式的推导和应用。

首先，我们先来看二倍角的定义。

对于一个角θ，它的两倍角是2θ。

也就是说，如果我们将角θ扩大2倍，得到的角度就是2θ。

接下来，我们来推导二倍角公式。

我们先从三角函数的角和公式开始。

三角函数的角和公式是指，当两个角的正弦、余弦和正切已知时，可以通过这个公式计算出这两个角的和的正弦、余弦和正切。

设角α和角β的正弦、余弦和正切分别为sinα、sinβ、cosα、cosβ、tanα和tanβ，则有以下关系式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβtan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)我们将角α和角β分别设为相同角θ，即α = β = θ，则上述公式可以简化为：sin(2θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθcos(2θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1tan(2θ) = (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这就是二倍角公式的三种形式。

其中，sin(2θ) = 2sinθcosθ是二倍角正弦的公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 -2sin^2θ = 2cos^2θ - 1是二倍角余弦的公式，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)是二倍角正切的公式。

二倍角公式的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 角的加倍：通过二倍角公式可以将一个角的两倍角表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。

正弦、余弦、正切的二倍角公式

正弦、余弦、正切的二倍角公式


12 12
62
2 cos4 sin4
22
原式＝ ( cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 ) cos 2 222
小结 二倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2
cos2=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
例1.已知sin= 3， ,求sin 2,cos 2, tan 2的值
52
例2.已知sin 2 5 , ＜＜ ，求sin 4,cos 4,
13 4
2
tan 4的值.
例3.ABC中, cos A 4 , tan B 2,求 tan 2A 2B
5 的值.
练习1求值：
1. sin 22.5o cos 22.5o
2. 2cos2 1
8
3. 8sin cos cos cos
48 48 24 12
练习2化简：
1 (sin 5 cos5 )(sin 5 cos5 )
12 12 12 12
原式＝sin 2 5 cos2 5 cos 5 3
二倍角的 正弦、余弦、正切公式
复习
( S(+) ) ( S(-) ) ( C(-) ) ( C(+) ) ( T(+) )
( T(-) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
cos coscos sinsin 令：βαcos2α= cos2α- sin2α