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小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解

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实用标准文案 精彩文档 模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S4

S3

S2

S1

O

D

CBA

①1243::SSSS或者1324SSSS

②1243::AOOCSSSS

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积

是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

OD

CB

A 【分析】 根据蝴蝶定理求得3121.5AODS

△

平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？

任意四边形、梯形与相似模型 实用标准文案 精彩文档 A

BC

DG321

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGCSV，那么6BGCS

V

；

⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC． (？？？)

【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO，3DO，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。

ABCDO HGA

BCD

O

【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSSVV，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3

ABDBDCAOOCSS，

∴236OC， ∴:6:32:1OCOD． 解法二：作AHBD于H，CGBD于G．

∵13ABDBCDSS，

∴13AHCG，

∴13AODDOCSS，

∴13AOCO，

∴236OC， ∴:6:32:1OCOD．

【例 3】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积。 实用标准文案 精彩文档 OGF

E

D

CBA

【解析】 ⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616，那么BCO△和CDO的面积都是1628，所以OCF△的面积为844； ⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862， 根据蝴蝶定理，::2:41:2

COECOFEGFGSS，所以::1:2GCEGCFSSEGFG，

那么11221233GCECEFSS．

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

767

6

E

DC

BA

【解析】 在ABEV，CDEV中有AEBCED，所以ABEV，CDEV 的面积比为()AEEB:()CEDE。同理有ADEV，BCEV的面积比为():()AEDEBEEC。所以有ABESV×CDESV=ADESV×BCESV，也就是

说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6

ABESV=7ADESV，所以有ABEV与ADEV的面积

比为7:6，ABESV=7392167公顷，ADESV=6391867公顷。

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。

CA

BD O

C

ABD

【解析】 连接AD、CD、BC。 则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：41122，ACD的面积为：3313.52，

ABD的面积为：42132． 实用标准文案 精彩文档 所以::2:3.54:7ABCACDBOODSS，所以44123471111ABOABDSS．

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。

ABC

DE

【解析】 因为:2:5BDCE，且BD∥CE，所以:2:5DAAC，525ABCS，510277DBCS． 【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG

的面积．

ABCDEFG A

BCD

EFG

【解析】 连接EF． 因为2BEEC，CFFD，所以1111()23212DEFABCDABCDSSSWW．

因为12AEDABCDSSW，根据蝴蝶定理，11::6:1212AGGF，

所以6613677414AGDGDFADFABCDABCDSSSSSWW． 所以1322 21477AGEAEDAGDABCDABCDABCDSSSSSSWWW， 即三角形AEG的面积是27．

【例 7】 如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

ABCDEFG A

BC

DEFG

【解析】 连接AE，FE． 因为:2:3BEEC，:1:2DFFC，所以3111()53210DEFABCDABCDSSSV长方形长方形．

因为12AEDABCDSSV长方形，11::5:1210AGGF，所以510AGDGDFSSVV平方厘米，所以12AFDSV平实用标准文案 精彩文档 方厘米．因为16AFDABCDSSV长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．

【例 8】 如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．

ABCDEFG OA

BCD

E

FG

【解析】 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF． 由蝴蝶定理可知::BEDBCDEOOCSSVV，而14BEDABCDSSVW，12BCDABCDSSVW，

所以::1:2BEDBCDEOOCSSVV，故13EOEC．

由于F为CE中点，所以12EFEC，故:2:3EOEF，:1:2FOEO．

由蝴蝶定理可知::1:2BFDBEDSSFOEOVV，所以1128BFDBEDABCDSSSVVW， 那么11110106.2521616BGDBFDABCDSSSVVW（平方厘米）．

【例 9】 如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是 ．

NMOCB

A

【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解． 根据蝴蝶定理得 31322AOMBONMONAOBSSSS

设MONSx，根据共边定理我们可以得

ANMABMMNCMBCSSSS

，

33322312xx

，解得22.5x．

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小学奥数几何五大模型.pdf

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（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。

二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A。

四年级奥数详解蝴蝶模型

四年级奥数详解蝴蝶模型

详解蝴蝶模型同学们大家好，今天我们来讲一下十分重要的蝴蝶模型的知识总结，推导过程就不写啦，上课老师都讲过的哟。

首先，蝴蝶模型是四边形中的模型哦！同学们可不要在三角形或者其他边形中去考虑使用蝴蝶模型呀。

一、任意四边形蝴蝶模型如图，在任意四边形ABCD中连接四边形的两条对角线，会出现S1S3和S2S4两只蝴蝶。

我们有两个结论：（1）S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等，不是相加！)。

想想特殊的四边形有哪些，这个结论在它们身上同样成立吗？（2）S△ABD:S△BDC=AO：OC，和S△ADC:S△ABC=DO:OB(大三角形的面积比等于它们内部线段之比，或者叫它们的伤口之比：△ABD 的伤口是AO，△BCD的伤口是OC，所以它们俩的面积之比就是AO:OC 啦！)二、梯形蝴蝶模型如图，仍然是把梯形的对角线相连，仍然有两只蝴蝶，我们的结论是（1）因为梯形也是四边形，所以任意四边形蝴蝶模型的结论当然还成立啦：S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等）；（2）S2=S4（不平行的蝴蝶翅膀一样大）；（3）若梯形上底与下底之比为a:b，则图中四块小三角形的面积之比为(注意：平行的蝴蝶的两个翅膀的面积份数是a的平方份和b的平方份！而且切记切记：该结论只能通过上下底的比求出四个小三角形的面积份数，而不能直接求面积)；其实知识点就这么多，关键是怎么运用。

蝴蝶模型到底应该在什么时候用，又该怎么用呢？首先，交叉！蝴蝶模型一定是在有两条线段交叉的时候使用，所以我们看到交叉一定要连接这两条交叉的线段的四个顶点去构造四边形呀！其次，蝴蝶找到了，就看该蝴蝶是任意四边形还是梯形。

有平行那肯定是梯形啦！再次，如果是梯形蝴蝶，那我们还要考虑到底是使用不平行蝴蝶翅膀一样大的结论，还是使用已知上下底之比标份数的结论。

若图中有边长之比，那往往应该找出梯形上下底之比去求每一块儿的份数来求解了。

举个例子：ABCD是平行四边形，ABED是梯形，三角形ODE的面积是6平方厘米，BC:CE=3:2,求阴影面积首先我们看到AE和DC是交叉的，所以我们应该连接AC构造蝴蝶。

几何五大模型 蝴蝶模型

几何五大模型 蝴蝶模型

_________________ 共性化指点课本【2 】1.如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,个中三个三角形的面积已知.求：⑴三角形BGC 的面积;⑵AG:GC=？AB C DG 321例2 如图,四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示).假如三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的,且AO=2,DO=3,那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍.ABC D O【触类旁通】 1.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于O 点,CEF △.OEF △.ODF △.BOE △的面积依次是2.4.4和6.求：⑴求OCF △的面积;⑵求GCE △的面积.OGF E D C B A2.图中的四边形地盘的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,个中2个小三角形的面积分离是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是若干公顷？76E DC B A板块二 梯形模子的运用【常识梳理】梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AB CDOb a S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =;③S 的对应份数为()2a b +． 梯形蝴蝶定理给我们供给懂得决梯形面积与上.下底之间关系互相转换的渠道,经由过程结构模子,直策运用结论,往往在标题中有事半功倍的后果．(具体的推理进程我们可以用将在第九讲所要讲的类似模子进行解释) 例3 如图,22S =,34S =,求梯形的面积. S 4S 3S 2S 1【触类旁通】 1.如下图,梯形ABCD 的AB 平行于CD,对角线AC,BD 交于O,已知AOB △与BOC △的面积分离为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OAB C D例4 如图,梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的,求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B C D【触类旁通】1.鄙人图的正方形ABCD 中,E 是BC 边的中点,AE 与BD 订交于F 点,三角形BEF 的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD 面积是若干平方厘米？。

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。

AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。