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广东省东莞市东华高级中学2021届高三理科数学周测试题

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东莞市东华高级中学周测试题2020.11.17 数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1．已知集合{}(2)0A x x x =-<,集合{|1}B x x =< , 则AB =（ ）A ．(-∞， 2)B ． (-∞,1)C ．(0,1)D ． (0,2)2．复数z =1-2i （其中i 为虚数单位），则|3i |z +=( )A ．5B ． 2C ．2D ．263． “θ＝0” 是 “sin θ＝0” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充耍条件D ．既不充分也不必耍条件4． 惠州市某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10 、12、14 、14、15 、15 、16 、17 、17 、17 . 记这组数据的平均数为a , 中位数为b , 众数为c , 则（ ） A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a 5．某产品的宣传费用x ( 万元）与销售额y (万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程，则宣传费用为6 万元时，销售额最接近（ ）A ．55 万元B ．60 月元C ．62万元D ．65 万元 6． 设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1 , a 2 + a 3 + a 4 = 2，则 a 6 + a 7 + a 8 = ( )A ．6B ．16C ．32D ． 647． 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%, 则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过 1 亿元的年份是（ ）（参考数据； lgl.2≈0.08, lg5≈0.70)A ．2030 年B ．2029年C ．2028年D ．2027 年 8． 若函数f (x ) =e x (x 2- 2x + 1- a ) - x 恒有2个零点， 则a 的取值范围是 ( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1-eB ．(-∞,1)C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-e 1, 二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分．9． 已知函数π())6f x x =+，则下列选项正确的有（）A ．)(x f 的最小周期为πB ．曲线)(x f y =关于点），（03π中心对称 C ．)(x f 的最大值为3 D ．曲线)(x f y =关于直线6π=x 对称10．空间中，用a , b , c 表示三条不同的直线， γ表示平面，则下列命题正确的有（ ）A ．若 a / / b , b / /c , 则 a / /c B. 若a ⊥γ , b ⊥γ, 则a / /b C ．若a / /γ, b / /γ, 则a / /bD. 若a ⊥b , b ⊥c , 则a ⊥c11．若a >0, b >0, a +b =2, 则下列不等式恒成立的有( )A ．ab ≤1 B. ≤C ．a 2+b 2 ≥2D ．212a b +>12．已知F 1 、F 2是双曲线12:22=-x y C 的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1 F 2为直径的圆经过点M , 则下列说法正确的有()A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．以F 1F 2为直径的圆方程为222x y +=C ．点M 的横坐标为D ．△MF 1F 2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16 题第一个空 3 分，第二个空2分。

13．61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式的常数项是 ．（用数字作答）14．已知向量b a ,, 满足2,1==b a .若)(b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为．15．已知抛物线C : y 2=2px (p >0), 直线l : y = 2x + b 经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若|AB | = 5 , 则 p = ．16．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实．心．工艺品（如图 所示)．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个 面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)．若其中一个截面圆的 周长为6π，则该球的半径为 ； 现给出定义：球面被平面所截 得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R , 球冠的高是 h , 那么球冠的表面积计算公式是S =2πRh . 由此可知，该实心．．工艺品的表面积是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70 分 。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．( 本小题满分10分）在等差数列{a n }中，a 3 = 4 , a 9 =10 . ( 1) 求数列{a n }的通项公式；( 2 ) 数列{b n }中 ，b 2 = 1, b 3 =4.若c n =a n +b n , 且数列{c n }是等比数列， 求数列{c n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分）已知有条件①(2)cos cos b c A a C -=, 条件②45cos 2cos 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+A A π;请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．在锐角△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b,c , a =7, b +c =5, 且满足．(1) 求角A 的大小； (2) 求△ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 19．(本小题满分12 分）教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10 所学校（记为 A 、B 、C 、……、J ) , 10 所学校的参与人数统计图如下：( 1 ) 若从这 10 所学校中随机选取2 所学校进行调查，求选出的2 所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；( 2 ) 现有一名排球教练在这10 所学校中随机选取 3 所学校进行指导，记 X 为教练选中参加排球人数在30 人以上的学校个数，求X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12 分）一副标准的三角板（如图1) 中，∠ABC为直角，∠A =60°,∠DEF为直角，DE=EF,BC=DF. 把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图2). 设M是AC的中点，N是BC的中点．E( 1 )求证：平面ABC⊥平面EMN ;( 2 ) 若AC = 4 , 二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．21．( 本小题满分 12 分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，短轴一个端点到右焦点F ( 1 )求椭圆C 的标准方程 ；( 2 )过点 F 的直线l 交椭圆于 A 、B 两点，交y 轴 于 P 点，设21,λλ==,试判断12λλ+是否为定值？ 请说明理由．22．( 本小题满分12 分 )已知实数a >0,函数)10,0(,ln 2)(2∈++=x x a x a xx f . (1 ) 讨论函数f ()x 的单调性；(2) 若1x = 是函数 f (x )的极值点，曲线()y f x =在点11(,())P x f x 、22(,())Q x f x 、（12x x < ） 处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b .若 12l l , 求12b b -的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分。

13．20- ； 14．34π（或写成135︒） ； 15．2 ； 16．5 ；94π . 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）【解析】（1）法1：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由39710a a =⎧⎨=⎩，得1124810a d a d +=⎧⎨+=⎩……………………………2分解得121a d =⎧⎨=⎩， ……………………………………………4分所以()111n a a n d n =+-=+.即1n a n =+ ……………………………………………………5分法2：设数列{}n a 的公差为d ，由()n m a a n m d =+- ………………………1分得()9393a a d =+-………………………………………………………2分 即1046d =+，得1d = …………………………………………………4分所以()331n a a n d n =+-=+.即1n a n =+ ………………………………………………………………5分（2）取2n =，则2222114c a b =+=++=………………………………6分 取3n =，则3333148c a b =+=++=………………………………7分因为数列{}n c 是等比数列，则其公比322c q c == ……………………8分 ∴数列{}n c 的前n 项和11(1)2(12)22112n n n n c q S q +-⨯-===--- ……10分18．（本小题满分12分）【解析】（1）选择条件①()2cos cos b c A a C -=,…………………………………1分法1：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=, ………2分所以()2sin cos sin sin B A A C B =+=,………………………3分因为sin 0B ≠, 所以1cos 2A = ………………………………4分 又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,…………………5分【无此步骤，本得分点不给分】 所以3A π=. ………………………………………………………6分法2：由余弦定理得()222222222b c a a b c b c a bc ab+-+--=，……2分化简得222b c a bc +-=………………………………………3分则2221cos 22b c a A bc +-==， ………………………………4分 又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,……………………5分【无此步骤，本得分点不给分】 所以3A π=. ………………………………………………6分（1）选择条件②25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭………………………………………1分法3：因为cos sin 2A A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A += ……………2分因为22sin cos 1A A +=，所以251cos cos 4A A -+=…………3分 化简得21cos 02A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1cos 2A =, ………………………4分又()0,A π∈,………………………5分【无此步骤，本得分点不给分】 所以3A π=. ……………………………………………………6分（2）由余弦定理2222cos3a b c bc π=+-, ……………………………7分得()273b c bc =+-，…………………………………………………8分所以()2763b c bc bc +-=⇒=， ……………………………10分于是ABC ∆的面积11sin 622S bc A ==⨯⨯=．………12分19．（本小题满分12分） 【解析】（1）参与足球人数超过40人的学校共4所，…………………………………1分记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S ，从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为210C . ……2分随机选择2所学校共24C 6=种，……………………………………… 3分所以()2421043C 22109C152P S ⨯===⨯…………………………………………4分 所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为215．………5分（2）参加排球人数在30人以上的学校共4所，………………………………………6分X 的所有可能取值为0，1，2，3，………………………………………………7分()6310304C C 106C P X ⋅===，()6310214C C 112C P X ⋅===，………………………8分 ()2461103C C 2C 310P X ⋅===，()4630103C C 3C 130P X ⋅===.……………………9分 X………………10分()01231030652E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………11分所以，随机变量X 的数学期望为65……………………………………12分20．（本小题满分12分）【解析】（1）证明：∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MNAB ，…………………………………………1分∵AB BC ⊥，∴MN BC ⊥， ……………………2分∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点，∴EN BC ⊥， ……………………………………3分 又MN EN N ⋂=，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ……………4分【无此步骤，本得分点不给分】 ∴BC ⊥平面EMN ……………………5分且BC ⊂平面ABC∴平面ABC ⊥平面EMN . ……………………6分 （2）法1（向量法）：由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥，∴ENM ∠为二面角E BC A --的平面角……………………………………………7分 又二面角E BC A --为直二面角 ∴90ENM ∠=︒以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，建立如图空间直角坐标系N xyz -.………8分 ∵4AC =，则2AB =，23BC =，3NE =由()0,0,3E ，()1,0,0M ，则()1,0,3EM =- ………………………………………9分 又()0,3,0B -，()2,3,0A -，()0,0,3E ， 则()0,3,3BE =，()2,0,0BA =设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则0,0m BE m BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,330,x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则1z =-∴面ABE 的一个法向量()0,1,1m =-……………………10分36cos ,422m EM m EM m EM⋅<>=== ………………………………11分所以直线EM 与平面ABE 所成的角的正弦值为64. ……………………12分 法2（几何法）： 分别作AE 、AB 的中点G 和H ，连接GM 、GH 、MH ………………………7分∵4AC =,60BAC ∠=︒，AB BC ⊥∴23BC =,6BE CE ==,得3BN NE ==∵H 是AB 的中点，∴MH AB ⊥又G 、H 分别是AE 、AB 的中点，则//HG BE由三垂线定理知AB BE ⊥，所以AB HG ⊥又HG HM H =，HG ⊂平面HGM ，HM ⊂平面HGM ,∴AB ⊥平面HGM ，…………………………………………………………………8分 ∵MG ⊂平面HGM ，∴AB MG ⊥由1MN =，3NE =，得222ME MN NE AM =+==，且G 是AE 的中点∴MG AE ⊥，又AE BE E =，AE BA ⊂、平面ABE∴MG ⊥平面ABE ，…………………………………………………………………9分 即AE 是ME 在平面ABE 内的射影∴MEA ∠是直线ME 与平面ABE 所成的角，……………………………………10分1622MG NH BE ===，∴662sin 24MG MEA ME ∠=== ………………11分 所以直线EM 与平面ABE 所成的角的正弦值为64. ……………………………12分21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题可得222a b c +==， ……………………………………1分又2c e a ==，所以1c = …………………………………………2分 221b a c =-= ……………………………………………3分因此椭圆方程为2212x y += ………………………………………4分 （2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-， ……………………5分 G H由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，…………6分 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ……………………7分 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--，由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=- ……………………8分 同理可得2221x x λ=-， ……………………………………………………9分 所以12121211x x x x λλ+=+--()()()1212121212121222111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++…………10分222222224222121242211212k k k k k k k k --⨯++=--+++4=- ………………………………11分 所以，12λλ+为定值-4 ……………………………………………………12分22．（本小题满分12分）【解析】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<.………………1分 0a >，010x <<，20ax ∴+>. ①当110a ≥，即10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x ∴在()0,10上单调递减；…… 2分 ②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. …………………………3分综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.……………4分（2）1x =是()f x 的极值点，()10f '∴=，即()()210a a +-=，解得1a =或2a =-（舍），此时()2ln f x x x x=++， ……………………………………………………5分 ()2211f x x x'=-++. 1l ∴方程为：()1112111221ln 1y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………6分令0x =，得1114ln 1b x x =+-； 同理可得：2224ln 1b x x =+-. ……………………………………………………7分 12//l l ，221122212111x x x x ∴-++=-++，整理得：()12122x x x x =+， 12122x x x ∴=-，………………………………………………………………………………8分 又12010x x <<<，则1112102x x x <<-，解得：1542x <<， ()1212211111211221222221244ln ln ln 1x x x x x x x x x b b x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴-=+=+=+++. ………9分 令12x t x =，则1111211,1224x x t x x -⎛⎫=⋅=-∈ ⎪⎝⎭， 设()()21ln 1t g t t t-=++，………………………………………………………………10分()()()()222141011t g t t t t t -'∴=-+=>++， ()g t ∴在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ……………………………………………………11分 又()10g =，16ln 445g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()6ln 4,05g t ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭， 即12b b -的取值范围为6ln 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.…………………………………………12分。

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东华高级中学高三下学期月一理科数学

东华高级中学高三下学期月一理科数学

东华高级中学高三下学期月一理科数学一．选择题（5分8⨯＝40分） 1. =++-i i i 1)21)(1(（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ． i -2 2.已知数列﹛n a ﹜为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为A ．．33 D ．3-3.如图，△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且αα⊥⊥BC AD ,，AD=4， BC=8，AB=6，若10tan 2tan =∠+∠BCP ADP ， 则点P 在平面α内的轨迹是 （ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4. 定义()max{,} ()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x y ,满足约束条件||2,||2,x y ≤⎧⎨≤⎩且max{4,z x y =+ 3}x y -，则z 的取值范围为 （ ）A ．[7,10]-B ．[6,0]-C ．[6,8]-D ．[7,8]-5.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ， 定义函数:(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩ 取函数()xf x a -=（a ＞１）．当1K a =时， 函数()K f x 在下列区间上单调递减的是 ( )．()A (,0)-∞ ()()B a ,-+∞ ()C (,1)-∞- ()D (1,)+∞6.如图，从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则a b MT MO --与||||的大小关系为（ ）A ．a b MT MO ->-||||B ．a b MT MO -<-||||C ．a b MT MO -=-||||D ．大小关系不确定7.把一根长度为5的铁丝截成任意长的3段，则能构成三角形的概率为（ ）A.14 B. 34 C. 45 D.128. 有一种掷正方体骰子走跳棋的网络游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，玩家每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，则棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站. 游戏规定：若棋子经过若干次跳动恰跳到第99站，则玩家获胜，游戏结束；若棋子经过若干次跳动最后恰跳到第100站，则玩家失败，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为(,100)n p n N n ∈≤，可以证明：121233n n n p p p --=+（2≤n≤100），则每次玩该游戏获胜的概率是 A. 9932[1()]53- B. 10032[1()]53- C. 10022[1()]53- D. 9922[1()]53-二、填空题（5分6⨯＝30分）（一）必做题9．已知)3()0)(2()1()0(),1(log )(2f x x f x f x x x f 则⎩⎨⎧>---≤-=的值等于 。

东莞市东华高级中学高三上学期月月考数学(理)试题含答案

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2014-2015学年第一学期高三月一考试理科数学试题2014—9—30一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,2}M =-，2{|0}1x N x x -=≤+,则MN = ( ）A. {1,0,2}- B 。

{0,1,2} C. {0,2} D 。

∅2．已知向量(2,)a k =，(1,2)b =，若a b ⊥，则k 的值为 （ )A 。

4 B. 1 C. －1 D 。

－43．已知平面α，β和直线m , 给出条件: ①//m α；②m α⊥;③m α⊂;④αβ⊥；⑤//αβ.能推导出m β⊥的是 ( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤ 4．若复数3y 12ii++的实部与虚部互为相反数，则实数y =( ）A. －1B. 1 C 。

3 D 。

95．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，则双曲线22221x y a b-=的渐近线A.12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±6．在平面直角坐标系xoy 中,(,)M x y 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则y z x=的最小值为（ ）A. 2B. 1 C 。

12-D.13- 7．已知函数()sin()(,A 0,0,||)2f x A x x R πωφωφ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ω，φ 分别为 （ ） A ．ωπ=，3πφ=B ．2ωπ=，3πφ=C ．ωπ=,6πφ=D ．2ωπ=，6πφ=8．若关于x 的方程1110x x kx x x+----=有五个互不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）A 。

11(,)44- B. 11(,)(,)44-∞-+∞C.11(,)(,)88-∞-+∞D 。

广东省东莞市东华高级中学2021届高三数学上学期9月月考试题 理

广东省东莞市东华高级中学2021届高三数学上学期9月月考试题 理

2014-2015学年第一学期高三月一考试理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知集合{1,0,2}M =-，2{|0}1x N x x -=≤+，那么M N = （ ）A. {1,0,2}-B. {0,1,2}C. {0,2}D. ∅2．已知向量(2,)a k =，(1,2)b =，假设a b ⊥，那么k 的值为 ( ) A. 4 B. 1 C. －1D. －43．已知平面α,β和直线m , 给出条件: ①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ. 能推导出m β⊥的是 ( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤ 4．假设复数3y 12ii++的实部与虚部互为相反数，那么实数y = ( )A. －1B. 1C. 3D. 95．假设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，那么双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为( )A. 12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±6．在平面直角坐标系xoy 中，(,)M x y 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，那么y z x =的最小值为 ( ) A. 2 B. 1 C. 12-D. 13-7．已知函数()sin()(,A 0,0,||)2f x A x x R πωφωφ=+∈>><的图象(部份)如下图，那么ω，φ 别离为 ( ) A ．ωπ=，3πφ=B ．2ωπ=，3πφ=C ．ωπ=，6πφ=D ．2ωπ=，6πφ=8．假设关于x 的方程1110x x kx x x+----=有五个互不相等的实根，那么k 的取值范围是（ ） A. 11(,)44-B. 11(,)(,)44-∞-+∞C. 11(,)(,)88-∞-+∞D. 11(,0)(0,)88-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分． （一）必做题（9～13题） 9．在2431()x x+的展开中，x 的幂指数是整数的项共有 项. 10．曲线2ln(1)2y x x =+- 在点(0,0)处的切线方程为 .11．读右边程序框图，该程序运行后输出的A 值为 . 12．若4π是函数2()sin 2cos f x x a x =+ (a R ∈且为常数)的零点，那么()f x 的最大值是__ _ 13．一个五位自然数12345,{0,1,2,3,4,5},1,2,3,4,5i a a a a a a i ∈=，当且仅当123345,a a a a a a >><<时称为“凹数”（如32021，53134等），那么知足条件的五位自然数中“凹数”的个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从当选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,已知圆:O 4sin ρθ= ,假设过点2,4P π⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 被圆O 所截,那么所截的弦长最长时,直线l 的极坐标方程为______. 15.(几何证明选讲选做题)如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，那么CD ＝________.否输出A 是 A ＝A 21-结束A ＝21，i ＝1 开始i ≤4？i=i+1三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 16．（本小题总分值12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c . 已知222b c a bc +=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若是cos 3B =，2b =，求△ABC 的面积. 17．（本小题总分值12分）某单位从一所学校招收某类特殊人材．对20位已经选拔入围的学生进行运动和谐能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：20位参加测试的学生中随机抽取一名，抽到运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25． （I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一名运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的散布列及其数学期望E ξ． 18．（本小题总分值14分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．EM平面ADC？假设存在，请指明点M的位置；假设不存在，（Ⅲ）在线段AF上是不是存在点M使得//请说明理由．B CF19．（本小题总分值14分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11， 且25114a a a a ⋅=⋅．令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是不是存在正整数,(1),m n m n <<使得1,,m n T T T 成等比数列？假设存在，求出所有的,m n 的值；假设不存在，请说明理由．20．（本小题总分值14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3,长轴长为(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)假设直线12y kx =-交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在y 轴正半轴上是不是存在一个定点M 知足MA MB ⊥,假设存在,求出点M 的坐标；假设不存在,请说明理由．21．（本小题总分值14分）已知函数32,1()ln 1x x bx c x f x a xx ⎧-+++<=⎨≥⎩ 的图象过坐标原点O ，且在点(1-，(1)f -))处的切线的斜率是－5.(1)求实数b 、c 的值；(2)求()f x 在区间[－1, 2]上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是不是存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直角极点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．2014-2015学年第一学期高三月一考试理科数学参考答案 1.C 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D 9. 5 10. 20x y += 11.5612. 1 13. 14614. sin()4πρθ+=16. 解：（Ⅰ）因为 222b c a bc +=+，因此 2221cos 22b c a A bc +-==， 3分 又因为 (0,π)∈A ，因此 π3A =. 5分 （Ⅱ）因为cos 3=B ，(0,π)∈B ，因此sin 3B ==. 7分 由正弦定理sin sin =a b A B ， 得 sin 3sin ==b Aa B. 9分因为 222b c a bc +=+， 因此 2250--=c c ， 解得1=c因为 0>c ，因此1=c . 故△ABC的面积1sin 2S bc A ==. 12分 17.解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一名，抽到运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生． 由题意可知，运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62()205a P A +==．解得2a =．因此4b =． 4分 （II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一名运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生． 由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动和谐能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8 人．因此21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．因此ξ的散布列为 因此，334814764012959595955E ξ=⨯+⨯+⨯== 12分 18.解（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD ，因此AE ⊥平面BCD ． 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥． 由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD ．如图，以E 为坐标原点，别离以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，成立空间直角坐标系E xyz -不妨设2AB BD DC AD ====，那么1BE ED ==．由条件计算得，AE =BC =，3BF =3EF =.则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0)E D B A F C - 5分(3,1,0),(0,1,DC AD ==．由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ． 6分设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，那么0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.y y +==⎪⎩令1z =，那么1y x ==，因此1)=-n ．8分因此cos ,5||||EA EA EA ⋅<>==-⋅n nn ，因此二面角A DC B -- 9分 （Ⅲ）设AMAF λ=，其中[0,1]λ∈．由于3(3AF =， 因此(3AM AF λλ==，其中[0,1]λ∈10分 因此3,0,(13EM EA AM λ⎛=+=- ⎝由0EM ⋅=n ，即03λλ=-(1- ， 解得3=(0,1)4λ∈． 13分因此在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =． 14分 19.解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，那么由题意得572511422a a a a a a +=⎧⎨=⎩ 1111121022()(4)(13)a d a d a d a a d +=⎧⇒⎨++=+⎩ 整理得111511212a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 因此1(1)221n a n n =+-⨯=- 4分由111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+因此111111(1)2335212121n nT n n n =-+-++-=-++ 7分 （Ⅱ）假设存在 由（Ⅰ）知，21n n T n =+，因此11,,32121m n m nT T T m n ===++若1,,m n T T T 成等比，那么有222121()2132144163mn m n m nT T T m n m m n =⋅⇒=⋅⇒=+++++ 9分2222441633412m m n m m m nn m ++++-⇒=⇒= （1）因为0n >，因此241201122m m m +->⇒-<<+， 12分 因为,1,2,m N m m *∈>∴=，当2m =时，带入（1）式，得12n =；综上，当2,12m n ==能够使1,,m n T T T 成等比数列。

广东省东莞市东城高级中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析

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广东省东莞市东城高级中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是A.0.76＜log0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log0.76C.log0.76＜60.7＜0.76D.参考答案：D,,，所以，选D.2. 若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sin（π﹣α）=，∴sinα=，又∵≤α≤π，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3. 集合，定义集合，已知，则的子集为参考答案：D4. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．D．参考答案：B5. 已知，则下列说法中错误的是（）A. 函数的最小正周期为πB. 函数在上单调递减C. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D. 是函数图象的一个对称中心参考答案：C【分析】可化为，利用复合函数的讨论方法可求该函数的周期、对称中心、单调区间等，利用图像变换可考虑它与函数的图像变换关系.【详解】，所以，故A正确；当时，，因在为增函数，在上为减函数，故在上为减函数，故B正确；函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到，而函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到得是的图象，故C错误；令，当时，，故为图像的一个对称中心，故D正确；综上，选C.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．6. 函数的图像大致为（）参考答案：A 略7. 在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（） A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.参考答案：答案：D8. 设集合，为自然数集，则中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C试题分析：，即，则，共有5个元素．故选C．考点：集合的运算．9.计算得A． B． C． D．参考答案：答案：B10. 若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6参考答案：【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由，且n∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设的内角A,B,C 所对的边长为，若，且，则角B=.参考答案：略12. 设a 1=2，a n+1=，b n =||，n∈N +，则数列{b n }的通项公式b n 为 ．参考答案：2n+1【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】a 1=2，a n+1=，可得==﹣2?，b n+1=2b n ，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a 1=2，a n+1=，∴===﹣2?，∴b n+1=2b n ，又b 1==4，∴数列{b n }是等比数列， ∴．故答案为：2n+1．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 13. 在数列中，，为的前n 项和． 若，则_______．参考答案：414. 已知等差数列中，，则的值为_________.参考答案：2 略15. 设集合函数则x 0取值区间是.参考答案：因为，所以.所以.所以.由题知,可得，解得.又，所以.16.已知关于x 的不等式的解集不是空集，则a 的最小值是__________。