第八讲 相似多边形与相似三角形一、新知探索与考点剖析考点一：相似多边形例1．下面各组中的两个图形，形状相同的图形是（ ）例2．（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似； ②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似； ④所有的三角形都相似； ⑤所有的等腰直角三角形都相似； ⑥所有的正五边形都相似．其中正确的命题有______________________．（2）已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似,相似比为4:3，①若∠A ′=65°,则∠A=___________； ②A ′B ′=6 cm,则 AB=___________；③若四边形ABCD 周长为64cm,则四边形A ′D ′、B ′C ′的周长为______________．例3．E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，（1） 求长方形ABCD 长AD 与宽CD 的比； （2） 当AB=1时，求矩形ABCD 的面积. ◎变式提升训练◎1. 如图，已知四边形ABCD ∽A ’B ’C ’D ’, 则x= ，y= ， = ．考点二：相似三角形例4. 如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.◎变式提升训练◎1． 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.当ΔAPB ∽ΔACP 时，则∠APB=_________.2.如图，已知点D 在AC 上，且△ABD ∽△ACB ，AB=2，AD=1，求CD 的长.3.如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，A B ED E F △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．C第1题第2题第3题二、易错点、考点强化提升例6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 为AB 上一点，MN ∥BC 交CD 于N.若AD=2，BC=8，M 点在何处时，MN 所分梯形AMND 与梯形MBCN 相似？◎变式提升训练◎如图，在△ABC 中，已知∠ACB=900，过C 作1CD AB ⊥于1D ，过点1D 作12D D BC ⊥于2D 过2D 作23D D AB ⊥于3D ，这样继续下去.（1）判断图中的这些三角形的形状都相同吗？（2）若∠B=30°，AC=1，求线段1n n D D +(n 为正整数)的长度.◎素质能力测试◎一、选择题：1．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，EF ∥AD 交AB 、CD 于E 、F ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则EF 等于（ ）．A ．abB ．2b a +C ．222b a + D ．不能确定2. 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m, BD 长0.55m,且△ADE ∽△ABC,则梯子的长AB=( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m3. 如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD, 只要CD 等于( )A.c b 2B.a b 2C.c abD.ca 213A DC M N B4. 一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种二、填空题1．两个相似多边形的相似比是81，则这两个多边形的对应对角线的比是________．2．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3， 则BD ∶A ′C ′=____________．三、解答题1．在一矩形ABCD 的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？请说明理由.2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，并且EF 将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD 、EBCF 相似，若AD=4，BC=9，求AE ∶EB ．——相似多边形与相似三角形 姓名：______一、选择题：1．下列图形中一定相似的是（ ）A ．有一个角相等的两个平行四边形B ．有一个角相等的两个等腰梯形C ．有一个角相等的两个菱形D ．有一组邻边对应成比例的两平行四边形 2．下列结论不正确的是（ ）． A ．所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似3．五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米 和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是（ ）． A ．5∶4 B．4∶5 C ．5∶25 D ．25∶54．若△ABC ∽△DEF,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是（ ）． A ．3AB=4DE B ．4AC=3DEC ．3∠A=4∠D D ．4（AB+BC+AC ）=3（DE+EF+DF ）5．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为_____米．二、解答题1．已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．2.已知ABC A B C '''△∽△,△ABC 2，A B C '''△的两边长分别为1A B C '''△的第三边长.3. 如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF ．若△ABC 的边长为a ． （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积．（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？。
巧用相似多边形的性质相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便。
性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用。
如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根。
1、求边长例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为 （ ）A ．12B ．18C ．24D ．30思路与技巧 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.∴x662 ，∴2x=36,x=18. 答案 B点评 本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错。
2、求面积例2 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF⊥AB 于F ，EG⊥AD 于G ，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S 四边形AFEG 。
思路与技巧 （1）四边形AFEG 是什么图形？为什么？（2）AE∶EC 的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF 的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解 ∵正方形ABCD ，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG 是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG ，∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =AB 2∶AF 2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC 中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又AB=6 ∴AF=4 ∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =36∶16， ∴ .点评 本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系。
