福建师大附中2013-2014学年第一学期模块考试卷高二数学必修5(理科)

O246810xy63y=-2x+3x+2y-10=0厦门六中2013-2014学年上学期高二期中考试数 学（理科） 试 卷满分150分 考试时间120分钟 考试日期：2013。

10一、选择题：本题共10个小题，每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上。

1.若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->-2. 已知数列{}n a 满足：＜0，n+1n a 1=a 2,则数列{}n a 是( ） A. 递增数列 B. 递减数列 C 。

摆动数列 D. 不确定3．如右图所示的不等式的区域为（ ）A ．⎩⎨⎧<-++-≤010232y x x y B ．⎩⎨⎧<-++-≥010232y x x y C ．⎩⎨⎧≥-++-<010232y x x y D ．⎩⎨⎧>-++->010232y x x y4.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项之积为n T ,若5T ＝1，则一定有( ） A ．1a ＝1 B ．3a ＝1 C ．4a ＝1 D ．5a ＝15.若2221425x y M x y x y ≠≠-=+-+-且，则的值与 的大小关系是( ） A 、5M >- B 、5M <- C 、5M =- D 、不能确定 6．若三条线段的长分别为5,6，7，则用这三条线段（ ）A.能构成直角三角形 B 。

能构成锐角三角形 C 。

能构成钝角三角形 D.不能构成三角形 7．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ） A.3400米 B 。

33400米 C. 2003米 D 。

200米8．设关于x 的不等式220x ax -->的解集为M ，若2M ∉，则实数a 的取值范围是（ )A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞9．在数列{}n a 中,若()*21212121,,2n n n n n a a a a n N a a a ++++===∈,则20a =（ ） A ．172- B ．192C ．191()2D ．12010、在R 上定义运算:m n m(1n).⊗⊗=-若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11。

福州四中2013-2014学年第一学期第二学段模块检测试卷高二数学（理科：选修2-1）命题：安月奎 审核：林克刚 （满分150分；完卷时间120分钟）一、选择题(每题5分，共60分) 1．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）（A ）23 （B ）43 （C ）22（D ）32 2．给出命题：p ：3>1，q ：4∈{2,3}，则在下列三个命题：“p ∧q ”，“p ∨q ”，“﹁p ”中，真命题的个数为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33．抛物线x y 212=的焦点到准线的距离为（ ） (A ）18 （B ）14 （C ）12（D ）14．已知向量1(8,,),(,1,2),0,2a x xb x x a ==>其中若∥b ，则x 的值为( )（A ）0 （B ）2（C ） 4 （D ） 85. “双曲线方程为622=-y x ”是“双曲线离心率2=e ”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．平面内到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( )（A ）0x y -=（B ）0x y +=（C ）||y x = （D ）||||y x =7．以双曲线221412x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（ ） （A ）1121622=+y x （B ） 1161222=+y x （C ） 141622=+y x （D ）116422=+y x8．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) （A ）a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) （B ）a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) （C ）a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) （D ）a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)9．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( ) （A ）26（B ）332 （C ）2 （D ）310．如图，1111D C B A ABCD -是正方体，4111111B A F D E B ==， 则直线1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ）（A ）21（B ）23（C ）1715 （D ）17811．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值是( )（A ）23 （B ） 63 （C ）23 （D ） 2212. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆222()(2b x yc c +=+为椭圆的半焦距)有四个不同的交点,则椭圆离心率的取值范围是( ) （A ） )53,52(（B ） )55,52( （C ）)53,55( （D ）)55,0( 二、填空题(每题4分，共20分)13．已知命题“01,2<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是14．已知焦点在x 轴上的双曲线实轴的长为23，两条渐近线方程是2y x =±,则双曲线的标准方程是15．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =16．抛物线24y x =上的点P 到抛物线准线的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是________.17．已知向量n ＝(1,0，－1)与平面α垂直，且平面α经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到平面α的距离为 三、解答题（本大题共6小题，共70分）18. （本题满分10分）求双曲线22169144x y -=-的实轴长、焦点坐标、离心率e 的值和渐近线方程。

泉州一中2013—2014学年度第一学期期末考试高 二 数 学（文科）试卷（时间120分钟 满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只．．．．．．．．．．．．．．有一项是符合题目要求的．．．．．．．．．．．,． 把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．．1. 若命题 ""q p ∨为真， ""p ⌝为真，则（ ）A ．p 真q 真 B. p 假q 假 C. p 真q 假 D. p 假 q 真 2. 函数22()f x x π=的导数是（ ）A. '()4f x x π=B. '()2f x x π=C. '2()2f x x π=D. '22()22f x x x ππ=+3. 函数3314)(x x x f -=的单调递增区是（ ） A.(－∞,-2) B. (2,＋∞) C. (－∞,－2)和(2,＋∞) D. (－2,2)4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题 “若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃R x ∈, 使得210x x ++<”的否定是：“∀x R ∈, 均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题5. 函数x ax x x f +-=23)(在1=x 处的切线与直线x y 2=平行，则a ＝（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ． 36.已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B ．x 2＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.y 24＋x 23＝17. 一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A.11.5和12B.11.5和11.5C.11和11.5D.12和128. 已知双曲线2219x y a -=的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．94y x =± C ．32y x =± D ．49y x =±1 7 1 6 4 02 0 9 79. 已知函数21()9ln 2f x x x =-在区间()0,a 上不存在极值点，则a 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410. 有人收集了春节期间的平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：^^^^2.4y b x a b =+=-的系数，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为（ ）A ．34．6万元B ．35.6万元C ．36.6万元D ．37.6万元11.已知点A B 、分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点与上顶点，点M 为线段AB的中点，若30MOA ︒∠=，则椭圆的离心率是（ ）A. 13B. 3 D. 312. 定义方程)()(x f x f '=的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新不动点”，则下列函数有且只．．．有一个“新不动点”．．．．．．．．．的函数是（ ） ①221)(x x g = ②x e x g x 2)(--= ③x x g ln )(= ④x x x g cos 2sin )(+=A. ①②B. ②③C. ②④D. ②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．． 13. 在区间[2,2]-任取一个实数，则该数是不等式21x >解的概率为 .14. 执行如图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为________．15. 设12、F F 是椭圆223448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123sin 5PF F ∠=，12PF F ∆的面积为6，则2PF = _______.16. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表， ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为 0与4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．, 把．答案填在答题．．．．．．卷．相应位置．．．．． 17.（本小题满分12分）己知命题p ：椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上． （Ⅰ）若椭圆焦距为4，求实数m 的值；（Ⅱ）命题q ：关于x 的不等式220x x m -+>的解集是R ；若“q p ∧” 是假命题，“q p ∨”是真命题，求实数m 的取值范围。

湖南省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数 学(理科)命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月 15日 )满分：100分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分：必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是 A.x >1 B.x <1 C.x >3 D.x <33.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于 A.－sin α B.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 .9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 .13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，P A⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面P AD所成角的正切值为62，求二面角E－AF－C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝⎛⎭⎫13，5二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题1－4.BABC 5－7.BDC 二、填空题8.－1 9.1＋x y ，1＋y x都不小于2 10.10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 3011.2 12.6 13.2n 3 三、解答题14.解：∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， 所以a ＝1，b ＝0，于是f (x )＝x 3－27x ，f ′(x )＝3x 2－27.(4分)∴当x ∈(－3,3)时，f ′(x )<0；当x ∈(－4，－3)和(3,5)时，f ′(x )>0. 又∵函数f (x )在[－4,5]上连续.∴f (x )在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f (x )的最大值是54，f (x )的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，….猜测a n ＝2－12n (5分)(2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；(7分)②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD 且P A ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面P AD ，则∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3，此时tan ∠EHA ＝AE AH ＝3AH ＝62，因此AH ＝ 2.又AD ＝2，所以∠ADH ＝45°， 所以P A ＝2.(8分)解法一：因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面ABCD .过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ， 过O 作OS ⊥AF 于S ，连结ES ，则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin 45°＝324，又SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋98＝304，在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分)解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎫32，12，1. 设平面AEF 的一法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则错误!因此错误!取z 1＝－1，则m ＝(0,2，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量. 又BD ＝(－3，3,0)， 所以cos 〈m ，BD 〉＝m ·BD||m ·||BD＝2×35×12＝155.因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝⎛⎭⎫13，5.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x ＋2k ) 故f ′(0)＝－6k 3，又f ′(0)＝6，故k ＝－1. 三、解答题3.解：(1)设投放B 型电视机的金额为x 万元，则投放A 型电视机的金额为(10－x )万元，农民得到的总补贴f (x )＝110(10－x )＋m ln(x ＋1)＝m ln(x ＋1)－x10＋1，(1≤x ≤9).(5分)(没有指明x 范围的扣1分)(2)f ′(x )＝m x ＋1－110＝10m －(x ＋1)10(x ＋1)＝－[x －(10m －1)]10(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝10m －1(8分)1° 若10m －1≤1即0＜m ≤15，则f (x )在[1,9]为减函数，当x ＝1时，f (x )有最大值；2° 若1＜10m －1＜9即15<m <1，则f (x )在[1,10m －1)是增函数，在(10m －1,9]是减函数，当x ＝10m －1时，f (x )有最大值；3° 若10m －1≥9即m ≥1，则f (x )在[1,9]是增函数，当x ＝9时，f (x )有最大值.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15.(6分) 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM ·TN 取得最小值为－15.由(*)式，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)， 不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎫cos θ＋452－15.(6分) 故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝⎛⎭⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)(3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分)故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x －2cos α)，令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ，同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分)故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4.所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则错误!⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分)(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e x x 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x 4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24. v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝⎛⎭⎫0，e 24时，有0个公共点；当m ＝e 24时，有1个公共点； 当m ∈⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分)(3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝e x x所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x －2·e x x ＝e x (x －2)x显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0. 即x >0时，e x －2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e) 所以h (e)>78.(14分)。