小升初数学衔接课程(精华版)-课题15 有理数的乘方 通用版

2021年苏科版暑假小升初数学衔接精编讲义专题08《有理数的乘方、混合运算和科学记数法》知识互联网学习目标1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数.知识要点知识点1：有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数．要点分析：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．知识点2：乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2a ≥0．要点分析：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数．知识点3：有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点分析：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用．知识点4：科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯.要点分析：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2）把一个数写成10na 形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少 1.【典型例题1】（2021春•新都区校级期末）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ） A ．23和32B ．﹣33和（﹣3）3C ．﹣22和（﹣2）2D ．﹣|﹣2|和|﹣2|【完整解答】A ．23＝8，32＝9， ∴23≠32，故此选项不符合题意； B ．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27， ∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意； C ．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意； D ．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意； 故选：B ．【变式训练1】（2021春•海沧区校级月考）已知一些两位数相乘的算式： 53×57，38×32，84×86，652，71×79．（1）观察已知算式，请用文字或符号描述它们的共同特征；（2）计算这些算式，观察计算结果，你能发现什么规律？可以运用你发现的规律直接写出结果的是： ①③ （填写序号）；①3×26×8；②41×2×82；③2×31×4×17． （3）用你所学的知识证明你发现的规律．变式训练典例精讲题型1：有理数的乘方题型2：非负数的性质：偶次方典例精讲【典型例题2】（2020秋•义马市期末）若|x﹣2|+（x﹣y﹣1）2＝0，则多项式﹣y﹣（x2+2y2）的值为﹣7．【完整解答】因为|x﹣2|+（x﹣y﹣1）2＝0，所以x﹣2＝0，x﹣y﹣1＝0，解得，x＝2，y＝1，所以﹣y﹣（x2+2y2）＝﹣1﹣（4+2）＝﹣7，故答案为：﹣7．变式训练【变式训练2】（2020秋•金牛区校级月考）（1）当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝．（直接写答案）（2）已知：有理数x、y满足条件（x+3）4+|4﹣y|＝0，求x y的值．题型3：科学计数法典例精讲【典型例题3】（2021•靖江市模拟）某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走的步数为12400，将12400用科学记数法表示应为．【完整解答】12400＝1.24×104．故答案为：1.24×104．变式训练【变式训练3】（2017秋•广丰区期末）学校组织同学们去参观博物馆，在一块恐龙化石前，小明对小亮说：“这块化石距今已经230000001年了．”解说员听到后用略带嘲讽的口气对小明说：“小朋友！你比科学家厉害，知道得这么准确！”小明说：“我去年也参观了，去年是你说的，这块化石距今约230000000年了．”（1）用科学记数法表示230000000；（2）小明的说法正确吗？为什么？题型4：有理数的混合运算【典型例题4】（2020秋•河东区期末）下列运算正确的是（）A ．﹣+＝﹣（+）＝﹣1 B．﹣3×（﹣4）＝﹣12C．﹣6+2×2＝﹣4×2＝﹣8 D．9÷（﹣3）＝﹣3【完整解答】A 、﹣+＝﹣（﹣）＝﹣，此选项计算错误；B、﹣3×（﹣4）＝12，此选项计算错误；C、﹣6+2×2＝﹣6+4＝﹣2，此选项计算错误；D、9÷（﹣3）＝﹣（×）＝﹣＝﹣3，此选项计算正确；故选：D．变式训练【变式训练4】（2020秋•南京期末）计算：（1）﹣32﹣9×（﹣）；（2）[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．【变式训练5】（2019秋•桐梓县期中）a与b互为相反数，c与d互为倒数，|x|＝10，求代数式（cd）2014+8（a+b）+2x的值．达标训练考点1：有理数的乘方1．（2021春•松北区期末）下列计算正确的是（）A．﹣（﹣3）2＝9 B．C．﹣32＝9 D．（﹣3）3＝﹣92．（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．03．（2020秋•鼓楼区校级期末）下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣（﹣3）和|﹣3| B．（﹣1）3和﹣13C．﹣3和2 D．﹣5和﹣（﹣5）4．（2020秋•卢龙县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（）A．B．C．D．5．（2021春•杨浦区期末）计算：＝．6．（2021春•奉贤区期中）的倒数的平方与的积是．7．（2020秋•织金县期末）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22006﹣1的个位数字是．8．（2021•邯郸模拟）22+22+22+22＝2m，则m＝．9．（2020秋•武侯区校级月考）如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝，g（32）＝．（2）布谷数有如下运算性质：若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．根据运算性质填空：若g（7）＝2.807．则g（14）＝，g（）＝．（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）．x36927 g（x）1﹣4a+2b1﹣2a+b2a﹣b3a﹣2b4a﹣2b6a﹣3b10．（2020秋•合浦县期中）有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米？考点2：非负数的性质：偶次方11．（2021春•和平区校级月考）下列说法正确的是（）A．如果a2＞0，那么a＞0 B．如果a＜1，那么＞1C．如果a＞1，那么0＜＜1 D．如果﹣1＜a＜0，那么a2＞112．（2020秋•福州期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则﹣a+2b等于（）A．0 B．3 C．2 D．513．（2020秋•海勃湾区期末）若|m﹣3|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为（）A．﹣1 B．1 C．4 D．714．（2021春•沙坪坝区期中）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝．15．（2020秋•滨城区期末）若m，n满足|m﹣6|+（7+n）2＝0，则（m+n）2018＝．16．（2021•海安市模拟）若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则n m﹣2n的值是．17．（2020秋•农安县期末）已知n＝4，且（x﹣5）2+|y﹣2n|＝0，求x﹣y+8的值．18．（2019秋•新郑市期末）已知（x+3）2+|y﹣2|+（z+1）2＝0，求x2﹣2x（y﹣6z）﹣5x2+3xy﹣z2﹣2（4xz+x2）的值．19．（2017秋•广丰区期末）已知x、y满足关系（x﹣2）2+|y+2|＝0，求y x的值．20．（2018秋•南昌期中）若|a﹣1|+（b+2）2＝0，求5a﹣b的值．考点3：科学记数法21．（2021•苏州）全球平均每年发生的雷电次数约为16000000次，数据16000000用科学记数法可表示为．22．（2017春•阜宁县期中）地球上海洋总面积为3.6×108km2，按海洋的海水平均深度3.7×103m计算，海水的体积约为多少？考点4：有理数的混合运算一．选择题1．（2021•台湾）算式（﹣8）+（﹣2）×（﹣3）之值为何（）A．﹣14 B．﹣2 C．18 D．302．（2021•竞秀区一模）计算﹣1▢1＝0，则“▢”表示的运算符号是（）A．+ B．﹣C．×D．÷3．（2020秋•澧县期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上规律计算：f（2014）﹣f（）等于（）A．2013 B．2014 C．D．4．（2021•衡水模拟）高度每增加1km，气温大约下降6℃，现在地面温度是25℃，某飞机在该地上空6km 处，则此时飞机所在高度的气温为（）A．﹣9℃B．﹣11℃C．9℃D．11℃二．填空题5．（2020秋•沿河县期末）若规定符号“@”的意义是a@b＝ab﹣b2，则3@（﹣1）的值是．6．（2021春•金华月考）已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2016pq+x2的值为．7．（2020秋•肇源县期末）在一场NBA的篮球比赛中，我国著名运动员姚明共投篮25次，6次未中，他在这场比赛中的投篮“命中率”是．8．（2021•衡水模拟）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2020pq+x2的值是．9．（2021春•九江期末）对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，则关于该运算，下列说法正确的是．（请填写正确说法的序号）①5△7＝9△7；②若a△b＝b△a，则a＝b；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．三．解答题10．（2021春•松北区期末）小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元．月末结算时，每天以50碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）：周次一二三四销售量382610﹣4（1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？（2）这四周总销售额是多少？（3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元．若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出？11．（2020秋•孝南区期末）计算：（1）（+﹣）÷；（2）（﹣1）2021×|1|﹣（0.5）÷（﹣）．12．（2021春•工业园区期末）对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：※（x，y）＝ax+2by﹣1，这里等式右边是通常的四则运算，例如：※（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1．已知：※（1，﹣1）＝﹣4，※（4，2）＝11．（1）求a、b的值；（2）求※（m2，m+3）的最小值．13．（2021春•杨浦区校级期中）计算：（1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5；（2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2；（3）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷；（4）（﹣3+﹣）×（﹣62）．14．（2020秋•工业园区期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算3⊙（﹣4）的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b．11/ 11。

课题16 有理数的混合运算一、【学习目标】1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律；2．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算；3．注意培养的运算能力．二、【知识梳理】1．计算(十分钟练习)：(1)-252； (2)(-2)3； (3)32-(-2)2； (4)(-2)4； (5)(-4)2；(6)-32； (7)(-1)101； (8)021； (9)-32-(-2)2； (10) 32-22；(11)32×(-2)2； (12)-22÷(-3)2； (13)-(-3)2·(-2)3； (14)-22×(-3)2；(15)(-2)4÷(-1)； (16)-7+3-6； (17)-100-27； (18)(-3)×(-8)×25；(19)(-616)÷(-28)； (20)3.4×104÷(-5)．2．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac.3.前面我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，含有以上的混合运算，按怎样的顺序进行运算？⑴.在只有加减或只有乘除的同一级运算中，按照式子的顺序从左向右依次进行．⑵.在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．⑶.在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．点拨：含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分成整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号相同．三、【典例精析】例1.（北京市第一实验小学学业考）计算：⑴.(－38)－(－24)－(+65)(2)-2.5×(-4.8)×(0.09)÷(-0.27)；问：(1)运算顺序如何？(2)符号如何？例2.计算：（审题：运算顺序如何？）(1)(-3)×(-5)2； (2)［(-3)×(-5)］2； (3)(-3)2-(-6)； (4)(-4×32)-(-4×3)2．例3.计算：（注意存在哪几级运算？以及运算顺序如何确定？）⑴(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．⑵-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)；⑶2×(-3)3-4×(-3)+15．例4. 计算：⑴.17111236529126⎡⎤⎛⎫--+⨯÷⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；⑵.2222211160.52420.12427⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+----+⨯÷⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；⑶.2 12512 122223633⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷---÷-⨯-⎢⎥⎨⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎩⎭⎣⎦；例5. 当a=-3，b=-5，c=4时，求下列代数式的值：(1)(a+b)2； (2)a 2-b 2+c 2； (3)(-a+b-c)2； (4) a 2+2ab+b 2．例6.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求 x 2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995值. 解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或-2．所以 x 2-(a+b+cd)x+(a+b)2012+(-cd)2011 =x 2-x-1．当x=2时，原式=x 2-x-1=4-2-1=1；当x=-2时，原式=x 2-x-1=4-(-2)-1=5．总结：有理数混合运算的规律：1．先 ，再 ，最后 ； 2．同级运算从 到 按顺序运算；3．若有括号，先小再中最后大，依次计算．四、【过关精练】1.有理数混合运算的顺序是先算_____ _，再算______，最后算______，如有括号，就先算_____ __.2.－1－21的倒数是_______. 3.－151的绝对值与（－2）3的和是_______. 4.(－3)2÷51×0－45=_______. 3.（北京市第一实验小学学业考）下列各数中与()523--相等的是（ ）A.55B.－55C.（－2）5+（－3）5D.（－2）5－354..某数的平方是41，则这个数的立方是（ ） A.81 B.－81 C.81或－81 D.+8或－85. 10n 的意义(n 为正整数)是（ ）A.10个n 相乘所得的积B.表示一个1后面有n 个0的数C.表示一个1后面有（n －1）个0的数D.表示一个1后面有(n +1)个0的数6. n 为正整数时，(－1)n +(－1)n +1的值是（ ）A.2B.－2C.0D.不能确定7.下列语句中，错误的是（ ）A.a 的相反数是－a ；B.a 的绝对值是|a |；C.(－1)99=－99；D.－(－22)=48.算题：⑴.－7×6×(－2) ⑵.(－20)×(－1)7－0÷(－4)⑶.(－2)2×(－1)3－3×［－1－(－2)］ ⑷.23－32－(－4)×(－9)×09.计算：(1)23－17－(－7)+(－16) (2)32+(－51)－1+31(3)(－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4 (4)(－487)－(－521)+(－441)－381(5)0+1－［(－1)－(－73)－(+5)－(－74)］+｜－4｜10.当x =－1, y =－2, z =1时，求(x +y )2－(y +z )2－(z +x )2的值.11.有一架直升飞机从海拔1000米的高原上起飞，第一次上升了1500米，第二次上升上－1200米，第三次上升了1100米，第四次上升了－1700米，求此时这架飞机离海平面多少米？12. （北京市第一实验小学学业考） 10名学生体检测体重，以50千克为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，称得结果如下(单位：千克)：2, 3, －7.5, －3, 5, －8, 3.5, 4.5, 8, －1.5这10名学生的总体重为多少？10名学生的平均体重为多少？13. 计算：－1－｛(－3)3－［3+32×(－121)］÷(－2)｝.14.计算： (－5)－(－5)×101÷101×(－5).。

0.012, ( 1 )2, 02, a2 (a 0), a2 (a 0) 8
【例题 3】口答
（1）13
（2）12018
（3）(-1)8
（4）(-1)2018
（5）(-1)7
（6）(-1)2017
【归纳总结】
（1）1 的任何次幂都为 1；
（2）-1 的幂很有规律：
-1 的奇次幂是-1， -1 的偶次幂是 1.
B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，∴（﹣2）3＝﹣23，不是相反数，故 B 选项不符合题意； C．2 与 不是相反数，故 C 选项不符合题意；
D．﹣（﹣1）＝1，∴﹣（﹣1）和 1 不是相反数，故 D 选项不符合题意．
故选：A．
5．（2022•滑县模拟）（﹣1）2022 的相反数是（ ）
A．﹣1
…… n 个小时后细胞存活的个数是 2n+1， 当 n＝8 时，存活个数是 28+1＝257．
故选：C．
4．（2021 秋•河西区期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣（﹣1）2 与|﹣1|
B．（﹣2）3 与﹣23 C．2 与
D．﹣（﹣1）与 1
【完整解答】解：A．﹣（﹣1）2＝﹣1，|﹣1|＝1，∴﹣（﹣1）和|﹣1|是相反数，故 A 选项符合题意；
∵x＞y，
∴当 x＝2，y＝﹣3 时，x+y＝﹣1；
当 x＝﹣2，y＝﹣3 时，x+y＝﹣5；
故选：C．
二．填空题
7．（2021 秋•绵阳期末）下列各数：（﹣1）2， ，0. ，其中有理数有 3 个．
【完整解答】解：根据有理数的定义知：（﹣1）2， ， 是有理数．
故答案为：3． 8．（2021 秋•河口县期末）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则 a+b＝ ﹣1 ．

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第五讲 有理数的乘除法【学习目标】1、掌握有理数乘法和除法运算法则，会进行有理数乘、除法的运算；2、能运用乘、除法运算律简化运算。

【知识要点】1、有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘都得0；（3)多个有理数相乘：a:只要有一个因数为0，则积为0。

b:几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数，则积为负,当负因数的个数为偶数，则积为正。

2、乘法运算律：（1）乘法交换律:两个数相乘交换因数的位置,积不变，即ba ab =；（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积不变，即 )()(bc a c ab =；（3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于这个数分别同两个数相乘，再把积相加, 即bc ab c b a +=+)(或ac ab c b a -=-)(. 3、有理数除法法则：(1)法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

(2）符号确定：两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个非零数，等于0；0不能作除数。

【典型例题】例1、计算下列各式：（—4)×5 （-5）×（—7） (—3）×（31-)0× 28 （—8）×16 58)85(⨯-(—2）×（-3）×（—4）×61 )2()43()31()21(-⨯-⨯-⨯-例2、计算：25×73×(-4） ()()()4123425-⨯-⨯- ()2449525⨯-× 816)3(81⨯-⨯ )8(4315-⨯⨯ 50)8(2524⨯-⨯例3、计算下列各式.(有简便方法哦！动脑想一想)22×18+22×12 35×13-13×5 5×321 +5×31（65-+83)×（－24） （614131-+）×24 30×（3121-）12)413221(-⨯-+- 34.07531)13(7234.03213⨯-⨯-+⨯-⨯-例4、计算下列各式。