2014重庆高考数学卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理科数学（重庆卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2010重庆，理1）在等比数列{a n }中，a 2010=8a 2007，则公比q 的值为A.2 B.3 C.4 D.8答案：A2.（2010重庆，理2）已知向量a ，b 满足a ·b =0，|a |=1，|b |=2，则|2a -b |等于A.0B.22C.4D.8答案：B3.（2010重庆，理3）lim2→x （442−x -21−x ）等于A.-1 B.-41 C.41 D.1答案：B4.（2010重庆，理4）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 则z =2x +y 的最大值为A.-2B.4C.6D.8答案：C5.（2010重庆，理5）函数f （x ）=xx 214+的图象A.关于原点对称 B.关于直线y =x 对称C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称答案：D6.（2010重庆,理6）已知函数y =sin （ωx +ϕ）（ω>0,|ϕ|<2π）的部分图象如图所示,则A.ω=1，ϕ=6πB.ω=1，ϕ=-6πC.ω=2，ϕ=6πD.ω=2，ϕ=-6π答案：D7.（2010重庆，理7）已知x >0，y >0，x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是A.3 B.4C.29 D.211答案：B8.（2010重庆，理8）直线y =33x +2与圆心为D 的圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 31,cos 33y x （θ∈［0，2π））交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A.6π7 B.4π5 C.3π4 D.3π5答案：C9.（2010重庆，理9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种答案：C10.（2010重庆，理10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线答案：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.（2010重庆，理11）已知复数z =1+i ，则z2-z =________.答案：-2i12.（2010重庆，理12）设U ={0，1，2，3}，A ={x ∈U |x 2+mx =0}，若U A ={1，2}，则实数m =________.答案：-313.（2010重庆，理13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为________.答案：5314.（2010重庆，理14）已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ，则弦AB 的中点到准线的距离为________.答案：3815.（2010重庆，理15）已知函数f （x ）满足：f （1）=41，4f （x ）f （y ）=f （x +y ）+f （x -y ）（x ，y ∈R ），则f （2010）=________.答案：21三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.（2010重庆，理16）设函数f （x ）=cos （x +3π2）+2cos 2x2，x ∈R .（1）求f （x ）的值域;（2）记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，若f （B ）=1，b =1，c =3，求a 的值.解：（1）f （x ）=cos x cos3π2-sin x sin 3π2+cos x +1=-21cos x -23sin x +cos x +1=21cos x -23sin x +1=sin （x +6π5）+1，因此f （x ）的值域为［0，2］.（2）由f （B ）=1得sin （B +6π5）+1=1，即sin （B +6π5）=0，又因0<B <π，故B =6π.解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，得a 2-3a +2=0，解得a =1或2.解法二：由正弦定理B b sin =C c sin ，得sinC=23，C =3π或32π.当C =3π时，A =2π，从而a =22c b +=2;当C =32π时，A =6π，又B =6π，从而a =b =1.故a 的值为1或2.17.（2010重庆，理17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;（2）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（1）设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P （A ）=1-P （A ）=1-2623C C =1-51=54.（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且P （ξ=0）=26C 5=31，P （ξ=1）=26C 4=154，P （ξ=2）=26C 3=51，P （ξ=3）=26C 2=152，P （ξ=4）=26C 1=151.从而知ξ有分布列ξ01234P3115451152151所以，E ξ=0×31+1×154+2×51+3×152+4×151=34.18.（2010重庆，理18）已知函数f （x ）=ax x +−1+ln （x +1），其中实数a ≠-1.（1）若a =2，求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程;（2）若f （x ）在x =1处取得极值，试讨论f （x ）的单调性.解：（1）f ′（x ）=2)()1(a x x a x +−−++11+x =2)(1a x a +++11+x .当a =2时，f ′（0）=2)20(12+++101+=47，而f （0）=-21，因此曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y -（-21）=47（x -0），即7x -4y -2=0.（2）因a ≠-1，由（1）知f ′（1）=2)1(1a a +++111+=11+a +21，又因f （x ）在x =1处取得极值，所以f ′（1）=0，即11+a +21=0，解得a =-3.此时f （x ）=31−−x x +ln （x +1），其定义域为（-1，3）∪（3，+∞），且f ′（x ）=2)3(2−−x +11+x =)1()3()7)(1(2+−−−x x x x ，由f ′（x ）=0得x 1=1，x 2=7.当-1<x <1或x >7时，f ′（x ）>0;当1<x <7且x ≠3时，f ′（x ）<0.由以上讨论知，f （x ）在区间（-1，1］，［7，+∞）上是增函数，在区间［1，3），（3，7］上是减函数.19.（2010重庆，理19）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =6，点E 是棱PB 的中点.（1）求直线AD 与平面PBC 的距离;（2）若AD =3，求二面角A -EC -D 的平面角的余弦值.解法一：（1）如图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.因PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥AB ，由PA =AB 知△PAB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面PAB ，故BC ⊥AE .从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离.在Rt △PAB 中，PA =AB =6，所以AE =21PB =2122AB PA +=3.（2）过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，则∠DFG 为所求的二面角的平面角.由（1）知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE ，从而DE =22AD AE +=6.在Rt △CBE 中，CE =22BC BE +=6.由CD =6，所以△CDE 为等边三角形，故F 为CE 的中点，且DF =CD ·si n3π=223.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，知FG 21AE ，从而FG =23，且G 点为AC 的中点.连接DG ，则在Rt △ADC 中，DG =21AC =2122CD AD +=23.所以cos ∠DFG =FG DF DG FG DF ··2222−+=36.解法二：（1）如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz .设D （0，a ，0），则B （6，0，0），C （6，a ，0），P （0，0，6），E （26，0，26）.因此=（26，0，26），=（0，a ，0），=（6，a ，-6），则·BC =0，·PC =0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE |=3.（2）因为|AD |=3，则D （0，3，0），C （6，3，0）.设平面AEC 的法向量n 1=（x 1，y 1，z 1），则n 1·AC =0，n 1·=0.又AC =（6，3，0），=（26，0，26），故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x 所以y 1=-2x 1，z 1=-x 1.可取x 1=-2，则n 1=（-2，2，2）.设平面DEC 的法向量n 2=（x 2，y 2，z 2），则n 2·DC =0，n 2·=0.又=（6，0，0），=（26，-3,26），故⎪⎩⎪⎨⎧=+−=.026326,02222z y x x 所以x 2=0，z 2=2y 2.可取y 2=1，则n 2=（0，1，2）.故cos 〈n 1，n 2〉=||||2121·n n n n =36.所以二面角A -EC -D 的平面角的余弦值为36.20.（2010重庆，理20）已知以原点O 为中心，F （5，0）为右焦点的双曲线C 的离心率e =25.（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;（2）如图，已知过点M （x 1，y 1）的直线l 1：x 1x +4y 1y =4与过点N （x 2，y 2）（其中x 2≠x 1）的直线l 2：x 2x +4y 2y =4的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积.解：（1）设C 的标准方程为22a x -22by =1（a >0，b >0），则由题意c =5，e =a c =25，因此a =2，b =22a c −=1，C 的标准方程为42x -y 2=1.C 的渐近线方程为y =±21x ，即x -2y =0和x +2y =0.（2）解法一：如图，由题意点E （x E ，y E ）在直线l 1：x 1x +4y 1y =4和l 2：x 2x +4y 2y =4上，因此有x 1x E +4y 1y E =4，x 2x E +4y 2y E =4，故点M 、N 均在直线x E x +4y E y =4上，因此直线MN 的方程为x E x +4y E y =4.设G 、H 分别是直线MN 与渐近线x -2y =0及x +2y =0的交点，由方程组⎩⎨⎧=−=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E 解得y G =E E y x 22+，y H =-EE y x 22−.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线x E x +4y E y =4中，令y =0得x Q =Ex 4（易知x E ≠0），注意到x 2E -4y 2E =4，得S △OGH =21·|OQ |·|y G -y H |=||4E x ·|E E y x 21++E E y x 21−|=||4E x ·|y x ||x |E E E 2242−=2.解法二：设E （x E ，y E ），由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得x E =122112)(4y x y x y y −−，y E =122121y x y x x x −−，因x 2≠x 1，则直线MN 的斜率k =1212x x y y −−=-EE y x4，故直线MN 的方程为y -y 1=-EEy x 4（x -x 1），注意到x 1x E +4y 1y E =4，因此直线MN 的方程为x E x +4y E y =4.下同解法一.21.（2010重庆，理21）在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=ca n +c n +1（2n +1）（n ∈N *），其中实数c ≠0.（1）求{a n }的通项公式;（2）若对一切k ∈N *有a 2k >a 2k -1，求c 的取值范围.（1）解法一：由a 1=1，a 2=ca 1+c 2·3=3c 2+c =（22-1）c 2+c ，a 3=ca 2+c 3·5=8c 3+c 2=（32-1）c 3+c 2，a 4=ca 3+c 4·7=15c 4+c 3=（42-1）c 4+c 3，猜测a n =（n 2-1）c n +c n -1，n ∈N *.下用数学归纳法证明.当n =1时，等式成立;假设当n =k 时，等式成立，即a k =（k 2-1）c k +c k -1，则当n =k +1时，a k +1=ca k +c k +1（2k +1）=c ［（k 2-1）c k +c k -1］+c k +1（2k +1）=（k 2+2k ）c k +1+c k =［（k +1）2-1］c k +1+c k ，综上，a n =（n 2-1）c n +c n -1对任何n ∈N *都成立.解法二：由原式得11++n n c a =n nca +（2n +1）.令b n =nn c a ，则b 1=c1，b n +1=b n +（2n +1），因此对n ≥2有b n =（b n -b n -1）+（b n -1-b n -2）+…+（b 2-b 1）+b 1=（2n -1）+（2n -3）+…+3+c 1=n 2-1+c1，因此a n =（n 2-1）c n +c n -1，n ≥2.又当n =1时上式成立，因此a n =（n 2-1）c n +c n -1，n ∈N *.（2）解法一：由a 2k >a 2k -1，得［（2k ）2-1］c 2k +c 2k -1>［（2k -1）2-1］c 2k -1+c 2k -2，因c 2k -2>0，所以（4k 2-1）c 2-（4k 2-4k -1）c -1>0.解此不等式得：对一切k ∈N *，有c >c k 或c <c k ′，其中c k =)14(2)14(4)144()144(2222−−+−−+−−k k k k k k ，c k ′=)14(2)14(4)144()144(22222−−+−−−−−k k k k k k ，易知lim ∞→k c k=1，又由)14(4)144(222−+−−k k k <4)14(4)14(222+−+−k k =4k 2+1，知c k <)14(214)144(222−++−−k k k k =284822−−k kk <1，因此由c >c k 对一切k ∈N *成立得c ≥1.又c k ′=)14(4)144()144(22222−+−−+−−−k k k k k <0，易知c k ′单调递增，故c k ′≥c 1′对一切k ∈N *成立，因此由c <c k ′对一切k ∈N *成立得c <c 1′=-6131+.从而c 的取值范围为（-∞，-6131+）∪［1，+∞）.解法二：由a 2k >a 2k -1，得［（2k ）2-1］c 2k +c 2k -1>［（2k -1）2-1］c 2k -1+c 2k -2，因c 2k -2>0，所以4（c 2-c ）k 2+4ck -c 2+c -1>0对k ∈N *恒成立.记f （x ）=4（c 2-c ）x 2+4cx -c 2+c -1，下分三种情况讨论.（ⅰ）当c 2-c =0，即c =0或c =1时，代入验证可知只有c =1满足要求.（ⅱ）当c 2-c <0时，抛物线y =f （x ）开口向下，因此当正整数k 充分大时，f （k ）<0，不符合题意，此时无解.（ⅲ）当c 2-c >0，即c <0或c >1时，抛物线y =f （x ）开口向上，其对称轴x =)1(21c −必在直线x =1的左边，因此，f （x ）在［1，+∞）上是增函数.所以要使f （k ）>0对k ∈N *恒成立，只需f （1）>0即可.由f （1）=3c 2+c -1>0解得c <6131−−或c >6131+−.结合c <0或c >1得c <-6131+或c >1.综合以上三种情况,c 的取值范围为（-∞，-6131+）∪［1，+∞）.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（重庆卷）一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3D.322答案 B 解析 因为(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 所以当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92.4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5C ．5,8D ．8,8答案 C解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240 答案 C解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 7．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2(R1，R2分别为两圆的半径)＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4.故选A.8．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6 B．k≤7C．k≤8 D．k≤9答案 B解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.由s＝3，得lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×…×lg(k＋1)lg k＝3，即lg(k＋1)＝3lg 2，所以k＝7.再循环时，k＝7＋1＝8，此时输出s，因此判断框内应填入“k≤7”．故选B. 9．4cos 50°－tan 40°等于()A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.10．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2 答案 D解析 设B 1(cos α，sin α)，B 2(cos β，sin β)，A (x ，y )，O (0,0)．由AB 1→⊥AB 2→，得cos(α－β)－x (cos α＋cos β)－y (sin α＋sin β)＋x 2＋y 2＝0① OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB 1→＋AB 2→＝(cos α＋cos β－x ，sin α＋sin β－y )． 而|OP →|<12，则0≤|OP →|2<14，整理得0≤x 2＋y 2＋2＋2cos(α－β)－2x (cos α＋cos β)－2y (sin α＋sin β)<14，②将①代入②，得0≤x 2＋y 2＋2－2(x 2＋y 2)<14，即0≤2－(x 2＋y 2)<14，整理得74<x 2＋y 2≤2.所以|OA →|2∈⎝⎛⎦⎤74，2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 二、填空题11．已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案5解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5.12．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 答案 64解析 因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64. 13．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) 答案 590解析 利用直接法分类求解．一脑一内三骨的选法有C 14C 15C 33＝20种，一脑二内二骨的选法有C 14C 25C 23＝120种，一脑三内一骨的选法有C 14C 35C 13＝120种，二脑一内二骨的选法有C 24C 15C 23＝90种，二脑二内一骨的选法有C 24C 25C 13＝180种，三脑一内一骨的选法有C 34C 15C 13＝60种，满足题意的选法共20＋120＋120＋90＋180＋60＝590(种)．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______． 答案 5解析 由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠C ＝∠D ＝90°，所以△ABC ∽△CBD .所以AB CB ＝ACCD ，CD ＝CB ×AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又因CD 与圆相切，所以CD 2＝DE ×DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60°＝5.15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16.16．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 因为|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的动点x 到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，所以当a ≤8时，|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，故实数a 的取值范围为(－∞，8]． 三、解答题17．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.18．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．解 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值． 解 (1)如图，连接BD 交AC 于点O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ， 则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3， 又OD ＝CD sin π3＝ 3.故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )， 因为F 为PC 的中点，所以F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z2. 又AF →＝⎝⎛⎭⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )， 因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0， 即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(2)由(1)知AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B －AF －D 的正弦值为378.20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos α＝25，求tan α的值．解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.又0<C <π，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos α＝25.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22b 2＝1.从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x－2x 0)2－x 20＋8 (x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点．因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝⎛⎭⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝⎛⎭⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎫x －2632＋y 2＝163. 22．对正整数n ，记I n ＝{1,2,3，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解 (1)当k ＝4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n .不妨设I ∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14. 当k ＝4时，集⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143.可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3.则A 和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14. 综上，所求n的最大值为14. (注：对P14的分拆方法不是唯一的)。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B ð（ ） A 、{}134，， B 、{}34， C 、 {}3 D 、 {}4 【答案】：D2、命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A 、对任意x R ∈，都有20x <B 、不存在x R ∈，都有20x <C 、存在0x R ∈，使得200x ≥D 、存在0x R ∈，使得200x < 【答案】：D3()63a -≤≤的最大值为（ ）A 、9B 、92C 、3 D【答案】：B【难度评价】容易题4、以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为（ ） A 、2,5 B 、5,5 C 、5,8 D 、8,8 【答案】：C5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、5603 B 、5803C 、200D 、240【答案】：C6、若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【答案】：A7、已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A 、 4-B 1-C 、6-D 【答案】：A8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A 、6k ≤B 、7k ≤C 、8k ≤D 、9k ≤ 【答案】：B9、004cos50tan 40-= （ ）A B C D 、1- 【答案】：C10、在平面上，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ,12AP AB AB =+ .若12OP < ，则OA 的取值范围是（ ）A 、⎛⎝ B 、 C 、 D 、【答案】：D二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝{1,2,3,4},集合A ＝{1,2},B ＝{2,3},则()U A B = ð ( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4} 【测量目标】集合的并集与补集运算.【考查方式】先求出两个集合的并集,再结合补集概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵A B ＝{1,2,3},而U ＝{1,2,3,4},故()U A B = ð＝{4}，故选D ． 2.命题“对任意x ∈R ,都有20x …”的否定为( )A.对任意x ∈R ,都有20x < B.不存在x ∈R ,使得20x <C.存在0x ∈R ,使得200x …D.存在0x ∈R ,使得200x <【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】根据含有一个量词的命题的否定的方法直接求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ．()63a-剟的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.3【测量目标】函数的最值.【考查方式】利用配方法结合函数的定义域求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B=63a-剟，所以当32a =-92=,故选B. 4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x ,y 的值分别为 ( )A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8第4题图【测量目标】茎叶图.【考查方式】结合茎叶图上的数据，根据中位数和平均数的概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y ++(+)++=，可解得y ＝8.故选C ．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )第5题图A.5603 B.5803C.200D.240 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】先将三视图还原为空间几何体，在根据体积公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200,故选C ． 6.若a ＜b ＜c ,则函数f (x )＝(x －a ) (x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间 ( )A. (a ,b )和(b ,c )内B. (－∞,a )和(a ,b )内C. (b ,c )和(c ,＋∞)内D. (－∞,a )和(c ,＋∞)内 【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】利用函数在区间端点处的函数值并判断符号. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由题意a ＜b ＜c ,可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a ) f (b )＜0,f (b ) f (c )＜0,所以该函数在(a ,b )和(b ,c )上均有零点,故选A ．7.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1,圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |＋|PN |的最小值为 ( )A.4 1 C.6- 【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】利用圆心坐标和半径，在结合对称性求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】圆C 1,C 2的圆心分别为C 1,C 2,由题意知|PM |…|PC 1|－1,|PN |…|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |…|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值.(步骤1 ) 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2,－3),所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－4＝44=,故选A.(步骤2)8.执行如图所示的程序框图,如果输出s ＝3,那么判断框内应填入的条件是( )A.6k …B.7k …C.8k …D.9k …第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】利用循环结构运算并结合输出结果求解.【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由程序框图可知,输出的结果为s ＝log 23×log 34× ×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1) .由s ＝3,即log 2(k ＋1)＝3,解得k ＝7.又因为不满足判断框内的条件时才能输出s ,所以条件应为k …7.故选B. 9.4cos50tan 40-=( )D.1 【测量目标】同角三角函数的基本关系,诱导公式.【考查方式】利用商数关系，三角恒等及角度拆分求解. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】4cos50tan 40-=4sin40cos40sin40cos40︒︒-＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒︒--=(步骤1 )＝2sin(6040)sin40cos40︒︒︒︒+-＝122sin40sin4022cos40︒︒︒︒+⨯-=故选C. (步骤2 ) 10.在平面上,1AB ⊥2AB ,|1OB |＝|2OB |＝1,AP ＝1AB ＋2AB.若|OP |＜12,则|OA |的取值范围是( )A.0,2⎛ ⎝⎦B.22⎛ ⎝⎦C.2⎛ ⎝D.2⎛ ⎝【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用所给条件转化为以O 为起点的向量表示，再利用所给关系列出不等式求解. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】因为1AB ⊥2AB ,所以可以A 为原点,分别以1AB ,2AB所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.设B 1(a,0),B 2(0,b ),O (x ,y )，则AP ＝1AB ＋2AB＝(a ,b ),即P (a ,b )．(步骤1 ) 由|1OB |＝|2OB|＝1,得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0,(y －b )2＝1－x 2≥0. (步骤2 )由|OP |＜12,得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.(步骤3 )所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<所以|OA |的取值范围是⎝,故选D.(步骤4 ) 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11.已知复数5i12iz =+(i 是虚数单位),则|z |＝__________. 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】先化简复数，再利用定义求解. 【难易程度】容易【试题解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12.已知{}n a 是等差数列,11,a =公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8S =__________.【测量目标】等差数列的前n 项和，等比数列性质. 【考查方式】利用等比中项及等差数列的通项公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】64【试题解析】由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列,得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2,解得d ＝2,故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64. 13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)． 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用两个计数原理,组合数公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】590【试题解析】设选骨科医生x 名,脑外科医生y 名， 则需选内科医生(5－x －y )人. (步骤1 )(1)当x ＝y ＝1时,有113345C C C 120= 种不同选法；(2)当x ＝1,y ＝2时,有122345C C C 180= 种不同选法； (3)当x ＝1,y ＝3时,有131345C C C 60= 种不同选法；(4)当x ＝2,y ＝1时,有212345C C C 120= 种不同选法； (5)当x ＝2,y ＝2时,有221345C C C 90= 种不同选法；(6)当x ＝3,y ＝1时,有311345C C C 20= 种不同选法;(步骤2 )所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．(步骤3 )考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分．14.如图,在△ABC 中,∠C ＝90,∠A ＝60,AB ＝20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ,BD ⊥CD ,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________．第14题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】利用圆的几何性质、解三角形求解. 【难易程度】中等 【参考答案】5【试题解析】在Rt △ABC 中,∠A ＝60,AB ＝20,可得BC ＝由弦切角定理,可得∠BCD ＝∠A ＝60. (步骤1)在Rt △BCD 中,可求得CD ＝,BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE DB ,可求得DE ＝5. (步骤2)15.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB |＝__________. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标方程与参数方程转化为普通方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】16【试题解析】由极坐标方程ρcos θ＝4,化为直角坐标方程可得x ＝4,而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2， ∴y 2＝43＝64,即y ＝±8,(步骤1) ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. (步骤2)16.若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解,则实数a 的取值范围是________． 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用不等式的解法求解. 【难易程度】较难 【参考答案】(－∞，8]【试题解析】由绝对值不等式,得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，(步骤1) ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解时,a 的取值范围为(－∞,8]．(步骤2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分.)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ,其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的运算、函数的定义域、函数的单调性求解. 【难易程度】容易【试题解析】(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故()f x '＝2a (x －5)＋6x.(步骤1) 令x ＝1,得f (1)＝16a ,()1f '＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1),由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6,故12a =.(步骤2) (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，()f x '＝x －5＋6x ＝23x x x(-)(-).(步骤3) 令()f x '＝0，解得x 1＝2,x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时,()0f x '>,故f (x )在(0,2),(3,＋∞)上为增函数;当2＜x ＜3时, ()0f x '<,故f (x )在(2,3)上为减函数.(步骤4)由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2,在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. (步骤5) 18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )． 【测量目标】古典概型，离散型随机变量的期望.【考查方式】利用概率公式求解古典概型和独立事件的概率. 【难易程度】中等【试题解析】设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球,B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球， 则A i 与B j 独立．(步骤1)(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝123437C C 18C 35=.(步骤2) (2)X 的所有可能值为0,10,50,200,且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105= ， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535== ， P (X ＝0)＝12461105105357---=.(步骤3)从而有E (X )＝0×7＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．(步骤4)19.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)如图,四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,BC ＝CD ＝2，AC ＝4,∠ACB ＝∠ACD ＝π3,F 为PC 的中点,AF ⊥PB ． (1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．第19题图【测量目标】二面角，空间直角坐标系.【考查方式】利用线面位置关系建立空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等【试题解析】(1)如图,连接BD 交AC 于O ,因为BC ＝CD ,即△BCD 为等腰三角形.又AC 平分∠BCD ,故AC ⊥BD.以O为坐标原点,OB ,OC ,AP的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -,则OC ＝CD πcos 3＝1,而AC ＝4,得AO ＝AC －OC ＝3,又OD ＝CD πsin 3故A (0,－3,0),B ，C (0,1,0),D (步骤1)第19题图因P A ⊥底面ABCD ,可设P (0,－3,z ),由F 为PC 边中点,F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(步骤2)又AF ＝0,2,2z ⎛⎫ ⎪⎝⎭,PB＝z -)，因AF ⊥PB ,故AF PB＝0,(步骤3)即6－22z ＝0,z =舍去-)，所以|PA|＝步骤4)(2)由(1)知AD ＝(AB ＝AF＝设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2),(步骤5)由n 1 AD ＝0,n 1 AF ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(步骤6)因此可取n 1＝－2)．(步骤7)由n 2AB＝0,n 2 AF＝0， 得222230,20,y y +==⎪⎩故可取n 2＝(3,．(步骤8) 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8= n n n n ，故二面角B －AF －D 步骤9) 20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)在△ABC 中,内角A,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a 2＋b 2＝c 2.(1)求∠C ；(2)设cos A cos B ＝52cos()cos()cos 5A B ααα++=,求tan α的值． 【测量目标】余弦定理,同角三角函数的基本关系.【考查方式】利用余弦定理的变形求解,借助三角恒等变换将所给等式化简求解. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理有cos C ＝2222a b c ab +-==(步骤1)故3π4C ∠=.(步骤2)(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--＝5.(步骤3)因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝5.①(步骤4) 因为3π4C =,A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝2,(步骤5)因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即5－sin A sin B ＝，解得sin A sin B ＝5210-=.(步骤6) 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4. (步骤7)21.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ,A ′两点,|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ,P ′,过P ,P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ ⊥P ′Q ,求圆Q 的标准方程．第21题图【测量目标】椭圆的标准方程,圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】利用椭圆的方程,集合性质,平面向量数量积及轨迹方程的求法求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b(-)+=.(步骤1) 从而e 2＋24b＝1.由2e =得22481b e ==-， 从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=.(步骤2)(2)由椭圆的对称性，可设()0,0Q x ．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点， 则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])．(步骤3) 设P (x 1，y 1),由题意,P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此,上式当x ＝x 1时取最小值.(步骤4)又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0,且|QP |2＝8－x 02. 因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1,－y 1)，所以QP QP ' ＝(x 1－x 0,y 1) (x 1－x 0,－y 1)＝0，(步骤5)即(x 1－x 0)2－y 12＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得22111810416x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1x =,102x x ==.(步骤6) 从而|QP |2＝8－x 02＝163.故这样的圆有两个,其标准方程分别为22163x y ⎛++= ⎝⎭,22163x y ⎛+= ⎝⎭.(步骤7)22.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭.(1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．【测量目标】集合的表示,集合中元素的基本特征,间接证明.【考查方式】利用集合元素的特征、分类讨论思想和反证法求解论证. 【难易程度】较难【试题解析】 (1)当k ＝4时,7I ⎫∈⎬⎭中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(步骤1)(2)先证:当n ≥15时,P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A ,B 为不相交的稀疏集,使A B ＝P n ⊇I n ,不妨设I ∈A ,则因1＋3＝22,故3∉A ,即3∈B.同理6∈A,10∈B ,又推得15∈A ,但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾.(步骤2)再证P 14符合要求,当k ＝1时,1414I I ⎫∈=⎬⎭可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13},B 1＝{3,5,7,8,10,12,14},则A 1,B 1为稀疏集,且A 1 B 1＝I 14. (步骤3)当k ＝4时,集合14I ⎫∈⎬⎭中除整数外剩下的数组成集合13513,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,可分解为下面两稀疏集的并：215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,23713,,222B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(步骤4)当k ＝9时,集合14I ⎫∈⎬⎭中除正整数外剩下的数组成集合12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,可分解为下面两稀疏集的并:31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(步骤5)最后,集合1414,,1,4,9C I k I k ⎫=∈∈≠⎬⎭且中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数,因此，令A ＝A 1 A 2 A 3 C ,B ＝B 1 B 2 B 3,则A 和B 是不相交的稀疏集,且A B ＝P 14.综上,所求n 的最大值为14.注:对P 14的分拆方法不是唯一的．(步骤6)。

重庆高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“若p则q”的逆命题是A．若q则p B．若p则qC．若则D．若p则2.不等式的解集是为A．B．C．（-2，1）D．∪3.设A，B为直线与圆的两个交点，则A．1B．C．D．24.的展开式中的系数为A．-270B．-90C．90D．2705.A．B．C．D．6.设，向量且，则A．B．C．D．7.已知，，则a,b,c的大小关系是A．B．C．D．8.设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是A．B．C．D．10.设函数集合则为A．B．（0，1）C．（-1，1）D．二、填空题1.首项为1，公比为2的等比数列的前4项和2.函数为偶函数，则实数3.设△的内角的对边分别为，且，则4.设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率5.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）。

三、解答题1.已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。

2.已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．3.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。

（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。

4.设函数（其中）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为（I）求的解析式；（II）求函数的值域。

5.已知直三棱柱中，，，为的中点。

（Ⅰ）求异面直线和的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值。

2014·重庆卷(课标语文)一、(本大题共4小题，毎小题3分,共12分)1．［2014·重庆卷］下列词语中，字形和加点字的读音全都正确的一组是（）A．屋檐下绿草如茵刀把．子(bà）相．机行事（xiàng)B．势利眼卑躬屈膝撒．大网(sǎ)博闻强识．(zhì）C．一溜烟通货膨胀狙．击手(jū)蓦．然回首(mù)D．辨证法中流砥柱沏．茶喝（qī)杀一儆．百（jǐng）1．A[解析] 本题考查识记现代汉语普通话常用字的字音和识记并正确书写现代常用规范汉字的能力。

B.撒．大网(sā)；C。

蓦．然（mò);D。

辩证法.2．[2014·重庆卷］依次填入下列横线处的词语,最恰当的一组是（)①再全面的维生素补充剂对健康的弥补作用也不能________膳食结构不合理带来的损害。

想要保持健康，更重要的是维持饮食的平衡以及适度运动。

②在自然环境中怎样才能________病虫害的侵袭呢？与松树共生,就是杨树通过长期自然演化选择的一种自我保护方式.③有些人严重缺乏安全感，他们把说谎作为一种自我________手段，总是下意识地保护自己，不愿自己的任何行为和心思被人知道。

④现实生活中没有法外之地，互联网同样没有。

查处淫秽网站，________网络暴力，是净化网络环境的需要,更是建立法治社会的需要。

A．抵制抵消防御抵御B．抵消抵御防御抵制C．抵制防御抵御抵消D．抵消抵制抵御防御2．B［解析］本题考查正确使用词语(包括熟语)的能力,注意辨析近义词，弄清各个词语的意思。

抵制：阻止某些事物，使不能侵入或发生作用.抵消:两种事物的作用因相反而互相消除。

抵御：抵挡，抵抗。

防御:抗击敌人的进攻。

3．［2014·重庆卷] 依次填入下边一段话中横线处的语句,与上下文衔接最恰当的一组是()乐观的人看见问题后面的机会，________。

机会从来不会主动敲响你的门,无论你等待多少年，________.朝着既定目标前进，________.①悲观的人则看见机会后面的问题②悲观的人只看见机会后面的问题③它只如一阵风拂面而过，需要你有反应能力和追随速度④需要你有反应能力和追随速度，它只如一阵风拂面而过⑤你就会发现机会的存在,充分发挥你的潜能⑥尽量发挥你的潜能，你就会发现机会的存在A．①④⑥B．②④⑤C．①③⑤D．②③⑥3．D［解析] 本题考查语言表达连贯的能力，做题时要结合语境，注意句子的前后关系。

2010年普通高考数学试题（重庆）数学 (文史类)数学试题卷（文史类）共4页。

满分150分。

考试时间l20分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的． （1）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4（B ）6（C ）10（D ）20（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5（B ）6（C ）8（D ）10（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）6（4）函数y =（A ）[0,)+∞（B ）[0,4]（C ）[0,4)（D ）(0,4)（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A ）7（B ）15（C ）25（D ）35（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+（7）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（A ）0（B ）2（C ）4（D ）6（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（A ）(2（B ）[2（C ）(,2(2)-∞+∞（D ）(2（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有1个（B ）恰有3个（C ）恰有4个（D ）有无穷多个（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种（D ）48种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）设{}{}|10,|0A x x B x x =+>=<，则A B =____________ .（12）已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .（13）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则BF =_ _ .（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n项和n T .（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH的值.参考答案1-10 BADCB ACDDC二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）解析：{}{}{}|1|0|10x x x x x x >-⋂<=-<<（12）解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =-（13）解析：由抛物线的定义可知12AF AA KF === AB x ∴⊥轴 故AF =BF =2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=（15）解析：232312311cos cos sin sin cos 33333ααααααααα++++-= 又1232αααπ++=，所以1231cos 32ααα++=-三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）解：（I ）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，所以,212)1(219+-=--=n n a n2)1(19++=∆n n n S （II ）由题意,31+=-n n n a b 所以,1+=n n b b.21320)331(21-++-=++++=-n n n n n n S T（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有3026=A 种等可能的结果。

重庆市（新版）2024高考数学统编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(2)题正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（）A．B．C．D．第(3)题设，，，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．a＞b＞c第(4)题已知三棱锥，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为( )A．3B．6C．9D．12第(5)题（）A．B．C．D．2第(6)题从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．第(7)题已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是（）A．，，B．，C．，D．，，第(8)题设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（）A．B．C．直线的斜率为D．的面积为第(2)题为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组：．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（）A．质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值B．优等品有45件代替）C．质量的众数在区间内D．质量的中位数在区间内第(3)题某人记录了某市2022年1月20日至29日的最低温度，分别为，，，，，，，，，（单位：℃），则关于该市这10天的日最低气温的说法中正确的是（）A．众数为B．中位数为C．平均最低气温为－4.8℃D．极差为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设i为虚数单位，则复数的实部为________.第(2)题某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为______人（附：，，）第(3)题已知，，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题等比数列中，已知，，且，求数列的通项公式 .第(2)题已知的内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，，求边及的面积；(3)在（2）的条件下，求的值.第(3)题已知椭圆的离心率为是上的不同两点，且直线的斜率为，当直线过原点时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，点都不在轴上，连接，分别交于两点，求点到直线的距离的最大值.第(4)题在中，已知点在边上，且，，．（1）若，求的值；（2）若，求边上的中线的长．第(5)题在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.(1)求；(2)若点D在的外接圆上，且，求的长.。

重庆市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数z满足，则复平面内z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(2)题设复数z满足，则z＝（）A．－1－2i B．－1＋2iC．1＋2i D．1－2i第(3)题一个容量为10的样本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，则该组数据的上四分位数为（）A．8B．7.5C．14.5D．15第(4)题如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(5)题已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数对任意的有，且当时，，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(8)题曲线在点处的切线方程为，则实数（）A．-16B．16C．-20D．20二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．第(2)题如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC = 2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点处，且，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则（）A．B．平面BDCC．多面体的外接球的表面积为D．点A，P旋转运动的轨迹长相等第(3)题《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）A．周长为B．三个内角A，C，B满足关系C．外接圆半径为D．中线CD的长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若曲线在点的切线与曲线也相切，则___________.第(2)题等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=10，S10≤40，则满足S n>0的n的最大值为___________.第(3)题已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在上恰有3个零点，则___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会，为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了40人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛大学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到如下的频率分布直方图．(1)现从该样本中随机抽取2人的成绩，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率；(2)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛中所有参赛大学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有万名大学生参加，试估计竞赛成绩超过分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的大学生中随机抽取人进行座谈，设其中竞赛成绩超过分的人数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．第(2)题已知函数.(1)若函数，讨论函数的单调性；(2)证明：当时，.第(3)题已知函数，．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若有两个极值点，且．①求实数的取值范围；②求证：．第(4)题已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的一点，为的内心，且.(1)求C的离心率；(2)设点为双曲线C右支上异于其顶点的动点，直线与双曲线左支交于点S.双曲线的右顶点为，直线，分别与圆O：相交，交点分别为异于点D的点M，N，判断直线是否过定点，求出定点，如果不过定点，请说明理由.第(5)题已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．。