2019版二轮复习数学(文)通用版讲义：边缘送分专题 常用逻辑用语、推理与证明、函数的实际应用
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2019年4月边缘送分专题 常用逻辑用语、推理与证明、函数的实际应用[特别说明] 之所以称其为“边缘”，是指临界于高考考查的边缘地带．高考不考正常，因为近几年这些考点不在热门考点之列；高考一旦考查也正常，因为这些考点在考纲的规定范围．为既节省有限的二轮备考时间，又防止一旦考查考生会“眼生手冷”而遗憾失分，所以将这些考点单独集结成一个专题，供考生利用课余时间适当关注．[题组练透]1．(2018·成都检测)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A ＞sin B ”是“tan A ＞tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选C 在锐角△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，知sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔ A ＞B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以A ＞B ⇔tan A ＞tan B ．故选C.2．(2018·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b ，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q详细分析：选B 对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a ＜1b ，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题，故选B.3．(2019届高三·辽宁五校联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)详细分析：选D 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.4．(2019届高三·湖北八校联考)下列说法正确的个数是( )①“若a ＋b ≥4，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个真命题；③“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＞0”；④“a ＋1＞b ”是“a ＞b ”的一个必要不充分条件． A ．0 B ．1 C ．2D ．3详细分析：选C 对于①，原命题的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于2，则a ＋b ≥4”，而a ＝4，b ＝－4满足a ，b 中至少有一个不小于2，但此时a ＋b ＝0，故①不正确；对于②，此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故②正确；对于③，“∃x 0∈R ，x 20－x 0＜0”的否定是“∀x∈R ，x 2－x ≥0”，故③不正确；对于④，由a ＞b 可推出a ＋1＞b ，但由a ＋1＞b 不能推出a ＞b ，故④正确．故选C.[题后悟通][题组练透]1．(2018·沈阳质检)甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师C ．甲是医生，乙是教师，丙是记者D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师详细分析：选C 甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，所以丙一定是记者，丙的年龄又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生，故选C.2．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2SC .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.详细分析：若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3VS .理由如下： 设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3V S .答案：3VS3．(2018·广州测试)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第3行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0到1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1＝1，S 2＝2，S 3＝2，S 4＝4，…，则S 32＝________.详细分析：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依次类推，第n 次全行的数都为1的是第2n －1行，有2n －1个1，故n ＝6时，第26－1＝25＝32行有32个1，即S 32＝32.答案：32[题后悟通][题组练透]1．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10详细分析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．2．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S ＝a e－kt(a ，k 为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S (单位：克)代表t 分钟末未溶解糖块的质量，则k ＝( )A ．ln 2B ．ln 3 C.ln 25D.ln 35详细分析：选C 由题意可得，当t ＝0时，S ＝a ＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e －5k ，解得k ＝ln 25.3.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝________.详细分析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a＋3，S ＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 80040＝45. 答案：454．某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(单位：万件)之间的关系如下表所示：若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：①f (x )＝ax ＋b ，②f (x )＝2x ＋a ，③f (x )＝log 12x ＋a .则你认为最适合的函数模型的序号为________．详细分析：若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N ，所以最适合的函数模型的序号为①.答案：①[题后悟通][专题过关检测]一、选择题1．(2018·南宁联考)命题“∃x0∈R，x0＋cos x0－e x0>1”的否定是()A．∃x0∈R，x0＋cos x0－e x0<1B．∃x0∈R，x0＋cos x0－e x0≥1C．∀x∈R，x＋cos x－e x≥1D．∀x∈R，x＋cos x－e x≤1详细分析：选D因为所给命题是一个特称命题，所以其否定是一个全称命题，即“∀x∈R，x＋cos x－e x≤1”．2．(2018·长春质检)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1详细分析：选D命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件详细分析：选D当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos 〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.4．(2018·安徽八校联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇详细分析：选C若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.5．下列命题是真命题的是()A．∀x∈(2，＋∞)，x2>2xB．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要条件C．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件D．a⊥b的充要条件是a·b＝0详细分析：选C A选项，当x＝4时，x2与2x显然相等．B选项，由x2＋5x－6>0，得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}⊆{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分条件．C选项，当a1<0，q>1时，数列{a n}递减；当a1<0，数列{a n}递增时，0<q<1.D选项，当a＝0或b＝0时，a·b＝0但不垂直，故选C.6．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件详细分析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．7．给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.其中类比结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3详细分析：选C对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.8．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是()A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)D．Q(x)＝a·b x(a≠0，b>0且b≠1)详细分析：选C观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.9．(2018·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1详细分析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.10．在下列结论中，正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4详细分析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的既不充分也不必要条件，∴③错误． 由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个．11．(2018·福州高三期末考试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≥3；p 3：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥23； p 4：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≤－2.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3详细分析：选A 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，x ＋2y ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝13，所以M ⎝⎛⎭⎫43，13.由图可知，当直线z ＝x －2y 过点M ⎝⎛⎭⎫43，13时，z 取得最小值，且z min ＝43－2×13＝23， 所以真命题是p 2，p 3，故选A.12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h 与注水时间t 之间关系的大致图象是( )详细分析：选C 向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑料桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继续注水，水面高度再升高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.13．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125详细分析：选B 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.14．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9，11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n ＝( ) A.2n ＋1＋2n (n ＋1)B.1n ＋1＋1n (n ＋1)C.1n ＋2＋1n (n ＋2)D.12n ＋1＋1(2n ＋1)(2n ＋3)详细分析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n ＝1n ＋12＋1n (n ＋1)2＝2n ＋1＋2n (n ＋1). 15．一个人骑车以6 m /s 的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在时刻t 的速度v (t )＝t (m/s)，那么此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车，但其间最近距离为16 mC ．不能追上汽车，但其间最近距离为14 mD ．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m详细分析：选D 因为汽车在时刻t 的速度v (t )＝t (m/s)，所以加速度a ＝v (t )t＝1，所以汽车是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S 1＝－25＋6t ，汽车在时间t 内的位移为S 2＝t 22，故设相对位移为y m ，则y ＝－25＋6t －t 22＝－12(t －6)2－7，故不能追上汽车，且当t ＝6时，其间最近距离为7 m ，故选D.16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．辛丑年D ．庚子年详细分析：选D 由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.二、填空题17．(2018·沈阳质检)在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.详细分析：令S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， ①S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， ②则①＋②得2S ＝89，S ＝892. 答案：89218．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：__________________. 详细分析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点19．命题p ：“∀x ∈R ，ax 2－2ax ＋3>0恒成立”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”，若p ∨q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．详细分析：因为p ∨q 为假命题，所以命题p 和q 都是假命题，命题p 是真命题的充要条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－12a <0⇒0≤a <3，所以其为假的充要条件是a <0或a ≥3，命题q 的否定是真命题，即∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，则Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3，所以－1≤a <0或a ＝3.答案：[－1,0)∪{3}20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．详细分析：设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．答案：3 30021．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．详细分析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 192＝e b ，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 11k ＝12，当x ＝33时， y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24.答案：2422．使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第2 019位之前(不含第2 019位)，共有______个“○”．详细分析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k 组共有2k 个图形，故前k 组共有k (k ＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 018<45×46＝2 070，所以在这2 018个图形中有45个“□”，1 973个“○”．答案：1 97323．(2018·东北三校联考)甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A ，B ，C ，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科；③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科．可以判断乙教师所在的城市和所教的学科分别是________________．详细分析：由于乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A 学科，则乙不教A 学科；又乙不教B 学科，所以乙教C 学科，而在哈尔滨工作的教师不教C 学科，故乙在沈阳教C 学科．综上可知，乙教师所在的城市为沈阳，所教的学科为C .答案：沈阳、C24．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用12项能力特征加以描述．每名学生的第i (i ＝1,2，…，12)项能力特征用x i 表示，x i ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，如果某学生不具有第i 项能力特征，1，如果某学生具有第i 项能力特征.若学生A ，B 的12项能力特征分别记为A ＝(a 1，a 2，…，a 12)，B ＝(b 1，b 2，…，b 12)，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为________(用a i ，b i 表示)．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为________．详细分析：若第i (i ＝1,2，…，12)项能力特值相同，则差为0，特征不同，差的绝对值为1，则用a i ，b i 表示A ，B 两名同学的不同能力特征项数为：|a 1－b 1|＋|a 2－b 2|＋|a 3－b 3|＋…＋|a 11－b 11|＋|a 12－b 12|＝∑i ＝112|a i －b i |.设第三个学生为C ＝(c 1，c 2，…，c 12)，则d i ＝|a i －b i |＋|b i －c i |＋|c i －a i |,1≤i ≤12，因为d i 的奇偶性与a i －b i ＋b i －c i ＋c i －a i ＝0一样，所以d i 是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S ＝d 1＋d 2＋…＋d 12为偶数，又S ≥3×7＝21，则S ≥22，取A ＝(0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1)，B ＝(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1)，C ＝(1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1)，则不同能力特征项数总和正好为22.答案：∑i ＝112|a i －b i | 22。
