广义高斯求积公式的渐进计算与数表

Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。

4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
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10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
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2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式

节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2

高斯求积定理
f ( x) q( x)n ( x) r( x)
其中q( x), r( x)均为至多n 1次多项式，且r( xk ) f ( xk )
b
b
b
b
f ( x)dx q( x)ωn ( x)dx r( x)dx r( x)dx
a
a
a
a
b
r( x)dx
a
n
Ak r( xk )
k1
n
Ak f ( xk ) 代数精度至少
0.946083
0.7745907 1
多种措施旳比较
• 此例题旳精确值为0.9460831... • 由例题旳多种算法可知： • 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效
数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7 位有效数字。 • 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化 Simpson公式有6位有效数字。 • 用复化梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11 次用2049个函数值，才可得到7位精确数字。 • 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数 值，得到一样旳成果。 • 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到成果。
3b at 2b来自f ( x)dxb a 1 f (a
b
b a t)dt
2
2
2
a
1
例：利用两点Guass公式计算 1 sin xdx 0x
解：a 0, b 1,因此x 1 1 t 22
I
1 sin xdx
1
1
sin( 1 2
1 t) 2 dt
0x
2 1 1 1t
22
sin( 1 1 1 ) sin( 1 1 1 )
1v( x)du(n 1)( x)