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高斯公式应用案例高斯公式是数学中一个非常重要的公式，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍几个关于高斯公式应用的案例，分别来自物理学、工程学和金融学领域。
物理学：电场中的高斯定律高斯公式最早是由德国数学家高斯提出的，但在物理学中也有广泛的应用。
电场中的高斯定律就是一个非常经典的例子。
根据高斯定律，通过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内的电荷总量的1/ε0倍，其中ε0为真空介电常数。
这个定律在物理学中被广泛用于计算电场的分布。
我们可以通过高斯定律来计算一个均匀带电球的电场分布，或者通过选择适当的高斯曲面来计算复杂形状电荷分布的电场。
通过高斯公式的应用，我们可以更好地理解电场的性质，对电磁学的学习和实践有很大的帮助。
工程学：有限元分析中的面积分在工程学中，高斯公式也有着举足轻重的地位。
有限元分析是工程学领域中常用的一种数值分析方法，用于求解复杂结构的应力、位移和变形等问题。
在有限元分析中，经常需要对复杂的形状进行面积分计算，而高斯公式可以帮助我们高效地进行这些积分。
通过高斯公式，我们可以将复杂形状的面积分转化为一系列关于标准形状的积分，从而更方便地进行数值计算。
这种方法既可以提高计算效率，也可以提高计算的精度，因此在工程学中有着广泛的应用。
金融学：期权定价中的黑-斯科尔斯模型除了自然科学和工程学领域，高斯公式在金融学中也有一些重要的应用。
其中一个著名的例子就是在期权定价中的黑-斯科尔斯模型。
黑-斯科尔斯模型是用于计算欧式期权价格的数学模型，它可以根据标的资产的价格波动情况、执行价格、无风险利率等因素来估算期权的价格。
在这个模型中，高斯公式被用来计算标的资产价格的概率分布。
通过高斯公式，我们可以更准确地估算出期权的价格，对投资者和金融机构来说都具有重要的意义。
通过以上三个领域的案例，我们可以看到高斯公式在自然科学、工程学和金融学中都有着广泛的应用。
它不仅是一个重要的数学工具，也是连接数学与实际应用的桥梁。
gmm算法理解
GMM算法，即高斯混合模型算法，是一种常用的聚类算法，用于将数据点划分为不同的组或类别。
它的基本思想是使用多个高斯分布来描述数据的统计特性，每个高斯分布代表一个类别。
通过估计每个高斯分布的参数，可以确定数据点属于哪个类别。
在GMM算法中，每个高斯分布由均值向量和协方差矩阵描述。
均值向量表示数据的中心位置，而协方差矩阵表示数据的形状和方向。
算法的目标是找到最优的均值向量和协方差矩阵，以最大化数据的似然性。
为了实现这个目标，GMM算法使用EM算法（期望最大化算法）进行迭代优化。
EM算法包括两个步骤：E步骤和M步骤。
在E步骤中，根据当前的参数估计，计算每个数据点属于每个类别的概率。
然后，在M步骤中，使用这些数据点的概率来更新每个类别的均值向量和协方差矩阵。
通过不断迭代这两个步骤，GMM算法可以逐渐优化参数，直到收敛。
GMM算法的优点是可以处理任意形状的数据分布，并且能够自动确定类别的数量。
它还可以通过调整高斯分布的
数量和参数来控制模型的复杂性。
然而，GMM算法也存在一些缺点，例如对初始参数的敏感性和计算复杂性较高。
在实际应用中，GMM算法常用于图像分割、语音识别、异常检测等领域。
通过合理地选择高斯分布的数量和参数，GMM算法可以有效地对数据进行聚类和分析，提取出有用的信息。
混合高斯模型的后验分布混合高斯模型是一种常见的概率分布模型，可用于对复杂数据集进行建模和分类。
每个样本数据被视为由若干个不同高斯分布的加权和构成，这些不同的高斯分布构成了混合高斯模型。
对于每个样本，我们根据其在各个高斯分布中的权重来确定其所属的组别。
在这种模型中，后验分布是模型中重要的一部分，它帮助我们计算每个样本被划分到不同组别的概率。
混合高斯模型的后验分布是指：对于一个样本，它属于某个组别的概率。
在混合高斯模型中，每个样本都符合某个高斯分布，而不同的高斯分布组成了模型中的混合。
我们需要确定每个样本属于模型中的哪个高斯分布，因此，采用贝叶斯定理可以方便地计算每个样本属于不同高斯分布的概率。
对于混合高斯模型，后验分布可以通过以下公式计算得出：P(ck|x) = P(x|ck)P(ck)/P(x)其中，P(ck|x)表示给定样本x时其属于第k个高斯分布的概率，P(x|ck)表示第k个高斯分布下样本x的概率密度函数，P(ck)表示第k个高斯分布的先验概率，P(x)表示样本x出现的总概率。
在这个公式中，P(ck|x)是我们要求解的后验分布。
在计算后验分布时，我们需要通过EM算法来求解参数。
EM算法在混合高斯模型中的作用包括两个方面：一方面，我们可以使用EM算法估计混合高斯模型中各个高斯分布的均值、方差和权重；另一方面，我们可以利用EM算法来优化后验分布的计算过程。
EM算法中的E步骤用于计算组别分配的概率，M步骤用于更新模型参数。
这样的迭代过程可以逐渐优化模型的后验分布和参数。
在实际应用中，我们可以根据数据来更新模型参数，直到模型收敛。
总之，混合高斯模型的后验分布是一种很重要的概率分布，它可以计算给定一个样本时其属于不同高斯分布的概率。
通过使用EM算法来优化计算过程，我们可以很容易地得出这些分布的概率，并根据后验分布来决定样本分组的情况。
混合高斯模型在很多实际问题中都有应用，例如图像分割、异常检测和文本聚类等。
2014年下学期城南中学人防应急疏散演练方案为增强中学生人民防空意识和国防观念，进一步加强师生安全教育，提高广大师生应对突发事件的能力，保障战时人民防空和平时应急救灾的组织指挥能力，避免在火灾、地震等突发事件来临时学生惊慌失措、盲目逃生。
由市人防办统一部署，结合10月31日防空警报试鸣，组织我校师生应急疏散演练。
一、指导思想为提高学校师生安全应急能力，增强师生安全防范意识，提高师生自我保护能力，确保师生人身安全，避免安全事故的发生，同时检验学校应急疏散意外事故处置能力，特制定本演练方案。
二、演练目的（一）、使师生进一步掌握在应急突发事件中疏散撤离的基本常识。
（二）、使师生熟悉疏散撤离的路线、方法，通过演练缩短疏散时间。
（三）、检验学校制定的“应急疏散预案”是否科学合理、具备可行性；检验学校在应急突发事件中的指挥、疏散、安保、救护工作是否及时迅速，准确到位。
三、演练时间：2014年10月31日上午10时,开始疏散， 10时20分演练结束。
四、演练集结地点：学校大操场五、组织机构和职责（一）、疏散安全工作领导小组组长：林庆根副组长：兰志雄成员：凌运秀钟竹年程国贵丁红来张志辉杨华辉成波勇张雄勇刘劲松各班班主任（二）、各疏散点指挥责任人：1、大操场：林庆根钟竹年成波勇张雄勇2、教学楼各楼层：各班班主任各下班老师(如教师在他班上课,可就地指挥学生疏散)各班主任和各下班老师应控制班级与班级之间撤离的时间，维持秩序，,防拥挤、防踩踏。
4、楼梯口：各楼梯口负责人需要控制学生通过速度，维持秩序，,防拥挤、防踩踏。
5、总协调：林庆根6、有关机构负责人（1）、指挥员（负责现场指挥并计时）：成波勇(指挥)、张雄勇(计时,协助指挥)（2）、与有关部门紧急联系或寻求救援负责人：张志辉（3）、临时救护负责人：刘劲松（4）、人数清点负责人：钟竹年六、疏散方案（一）、疏散具体步骤10时，预先警报信号响起，全体师生紧急疏散到操场等空旷地带；10时8分，空袭警报信号响起，全体师生隐蔽在操场等场所；10时21分,解除警报信号响起，演练结束，全体师生结束隐蔽恢复正常教学秩序。
贝叶斯优化算法高斯过程贝叶斯优化算法和高斯过程在机器学习中被广泛应用，用于优化复杂函数的参数。
本文将介绍贝叶斯优化算法和高斯过程的基本原理、应用场景以及其优点和局限性。
一、贝叶斯优化算法的原理贝叶斯优化算法是一种基于贝叶斯统计和序列模型的优化方法。
它通过建立一个先验模型和一个观测模型来推断待优化函数的最优解。
具体来说，它通过不断地选择下一个样本点进行评估来逐步优化函数的参数，直到找到全局最优解或达到一定的停止准则。
二、高斯过程的原理高斯过程是一种概率模型，用于对随机变量的概率分布进行建模。
它假设任意有限个变量的线性组合服从多元高斯分布。
在贝叶斯优化算法中，高斯过程被用来建立待优化函数的先验模型。
通过观测已有的样本点，可以利用高斯过程进行预测，从而选择下一个最有可能是最优解的样本点进行评估。
三、贝叶斯优化算法的应用场景贝叶斯优化算法在很多领域都有广泛的应用。
例如，在超参数优化中，可以使用贝叶斯优化算法来选择最优的超参数组合，从而提高模型的性能。
在自动化机器学习中，贝叶斯优化算法可以自动选择合适的模型和算法，并进行参数调优。
此外，贝叶斯优化算法还可以应用于网络流量优化、物理实验设计等领域。
四、高斯过程在贝叶斯优化中的优点高斯过程作为一种非参数模型，具有很强的灵活性和适应性。
它可以根据观测数据自适应地调整模型的复杂度，并能够提供对未知函数的预测和不确定性的估计。
同时，高斯过程还具有数学上的优良性质，如可微性和闭式解等，使得贝叶斯优化算法更加高效和稳定。
五、贝叶斯优化算法的局限性虽然贝叶斯优化算法在很多问题上表现出色，但它也存在一些局限性。
首先，贝叶斯优化算法对待优化函数的光滑性和凸性有一定的要求。
当函数具有峰值或存在多个局部最优解时，贝叶斯优化算法可能无法找到全局最优解。
其次，贝叶斯优化算法在高维空间中的表现较差，因为样本点的评估成本很高，导致算法的收敛速度较慢。
六、总结贝叶斯优化算法和高斯过程是一对强力组合，在机器学习中被广泛应用于优化复杂函数的参数。
2.1 高斯模型燃气泄漏后会在泄漏源附近形成气团，气团在大气中的扩散计算通常采用高斯模型。
高斯模型的基本形式是在如下的假设条件下推导出来的[1、9]：假定燃气在扩散的过程中没有沉降、化合、分解及地面吸收的发生；燃气连续均匀地排放；扩散空间的风速、大气稳定度都均匀、稳定；在水平和垂直方向上都服从正态分布。
泄漏燃气相对密度小于或接近1的连续泄漏采用高斯烟羽模型。
以泄漏点为原点，风向方向为x轴的空间坐标系中的某一点(x，y，z)处的质量浓度计算公式如下[9]：平均风速＞1m/s时：平均风速=0.5～1m/s时：平均风速＜0.5m/s时，假设气团围绕泄漏点浓度均匀分布，则距离泄漏点r处的燃气质量浓度为：式中ρd(x，y，z)——扩散燃气在点(x，y，z)处的质量浓度，kg/m3x、y、z——x、y、z方向上距泄漏点的距离，mua——平均风速，m/sδx 、δy、δz——x、y、z方向的扩散系数，mh——泄漏点高度，mρd(r)——距离泄漏点r处的燃气质量浓度，kg/m3r——空间内任意一点到泄漏点的距离，ma、b——扩散系数，mt——静风持续时间，s，取3600的整数倍扩散系数可查HJ/T 2.2—93《环境影响评价技术导则大气环境》得到。
2.2 重气扩散模型液化石油气密度比空气密度大，属于重气。
该类气体泄漏时在重力的作用下会下沉，这时使用高斯模型计算的结果会使泄漏燃气扩散速度偏大，泄漏源附近的浓度偏小。
为了解决这个问题，可以引入最早由Van Ulden提出，并由Manju Mohan等发展的箱式模型[1]。
箱式模型分为两个阶段：泄漏后的重气扩散阶段和重气效应消失后的被动气体扩散阶段。
重气泄漏后首先是重气扩散阶段。
在这个阶段，重气云团由于重力作用逐渐下沉并不断卷吸周围的空气，在卷吸空气的同时，气云受热，最终当重气云团与空气的密度差＜0.001kg/m3时，可认为气云转变成中性状态。
随着重气的继续扩散，气云所受的重力不再是影响扩散的主要因素，而大气湍流扩散逐渐占主要地位，这时便是被动气体扩散阶段，可以应用高斯模型计算泄漏燃气的扩散。
拉曼光谱与高斯模型拉曼光谱是一种分析物质结构和化学成分的非常有用的技术。
它基于拉曼散射现象，即当光线与物质相互作用时，部分光子被散射并改变了能量。
拉曼光谱可以提供关于物质的分子振动、晶格振动和电子能级等信息。
高斯模型是一种常用的数学模型，用于拟合和描述实验数据。
在拉曼光谱中，高斯模型常用于拟合拉曼峰的形状和位置。
高斯模型假设拉曼峰的峰形近似为高斯分布，即呈现钟形曲线。
通过拟合实验数据，可以得到峰的位置、峰高、峰宽等参数，从而进一步分析样品的结构和成分。
从多角度来看，拉曼光谱与高斯模型有以下几个方面的关系和应用：1. 结构分析，拉曼光谱通过观察分子振动模式的频率和强度，可以提供关于化学物质的结构信息。
高斯模型可以用来拟合和分析拉曼峰，进一步确定分子的振动频率和强度，从而帮助确定化学物质的结构和键合情况。
2. 成分鉴定，拉曼光谱可以用于鉴定物质的成分。
每种分子都具有独特的拉曼光谱特征，通过与已知物质的比对，可以确定未知样品的成分。
高斯模型可以用来拟合和分析拉曼峰，从而精确确定峰的位置和强度，进一步帮助鉴定样品的成分。
3. 定量分析，拉曼光谱可以用于定量分析样品中的成分。
通过建立标准曲线或者使用化学计量学方法，可以根据拉曼峰的强度与物质浓度之间的关系，进行定量分析。
高斯模型可以用来拟合峰的强度，进一步提高分析的准确性和精度。
4. 表面增强拉曼光谱（SERS），高斯模型在SERS技术中也有广泛应用。
SERS是一种利用金属纳米颗粒表面的局域电磁场增强拉曼信号的技术。
通过在高斯模型中引入修正项，可以更好地描述SERS信号的峰形和强度，从而提高对样品的检测灵敏度和精确度。
总结起来，拉曼光谱与高斯模型在结构分析、成分鉴定、定量分析和SERS等方面有着密切的关系和应用。
它们的结合可以帮助科学家和研究人员更好地理解物质的性质和行为，为材料科学、化学分析等领域的研究提供重要的工具和方法。
gmm 滞后的解释变量
在统计学和机器学习领域，GMM（Gaussian Mixture Model，高斯混合模型）通常用于聚类分析和密度估计。
如果你提到 GMM 滞后的解释变量，我猜测你可能在谈论与时间序列相关的问题，其中 "滞后" 可能涉及到时间序列的滞后阶数。
在时间序列分析中，"滞后" 是指一个变量在时间上相对于另一个变量的延迟。
滞后可以用来捕捉时间序列数据的趋势和模式。
如果将 GMM 应用于时间序列数据，并且提到了滞后的解释变量，可能是在考虑时间序列中过去时刻的值对当前时刻的影响。
以下是一些可能的解释：
1. 滞后的自回归模型： GMM 可能被用于估计时间序列数据中的自回归模型，其中滞后的解释变量是过去时刻的观测值。
例如，ARIMA 模型（差分自回归移动平均模型）中的 AR 部分就是一种使用滞后的自回归模型。
2. GMM 用于建模时间序列的分量：GMM 也可以用于建模时间序列的不同成分，例如趋势、季节性和残差。
在这种情况下，滞后的解释变量可能是过去时刻的观测值，用于捕捉时间序列中的趋势和周期性。
3. 滞后作为特征：在机器学习的上下文中，GMM 可能用于建模包含滞后特征的时间序列数据。
滞后特征可以用于预测未来的观测值。
请注意，具体的应用会根据问题的上下文而变化，以上只是一些可能的解释。
如果有具体的问题或上下文，提供更多信息可能有助于提供更准确的解释。
什么是高斯分布，及高斯分布的原理(一)高斯分布简介高斯分布，也称为正态分布，是统计学中一种常见的概率分布。
它在自然界和社会现象中经常出现，如身高、体重、考试成绩等。
高斯分布在数据分析、机器学习、人工智能等领域起着重要作用。
本文将从浅入深，介绍高斯分布的相关原理。
基本特征高斯分布的特征可以通过均值（μ）和标准差（σ）来描述。
均值代表分布的中心位置，标准差代表数据在均值周围的分散程度。
具体来说：•均值越大，高斯分布的峰值越靠右；•标准差越大，高斯分布的曲线越扁平化。
性质与图像高斯分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为：f(x)=1√2πσ−(x−μ)22σ2其中，e是自然对数的底数，x是变量值。
根据上述公式，我们可以得到高斯分布的几个性质：•高斯分布关于均值对称，即f(x)在x=μ处取得最大值；•当x偏离均值越远时，f(x)的取值越小；•高斯分布的曲线是钟形的，两侧渐进于水平轴。
标准高斯分布标准高斯分布（Standard Normal Distribution）指均值为 0，标准差为 1 的高斯分布。
标准高斯分布在统计推断中非常重要，因为可以利用它进行归一化和标准化。
对于任意高斯分布的随机变量X，可以通过以下方法转换为标准高斯分布的随机变量Z：Z=X−μσ通过标准化，我们可以将不同的高斯分布转化为具有相同均值和标准差的标准高斯分布，方便进行比较和分析。
中心极限定理中心极限定理是关于高斯分布的一个重要定理。
它指出，当样本容量趋向于无穷大时，多个随机变量的和或者均值的分布趋近于高斯分布。
这个定理非常有实用价值，例如在实验数据分析中，我们通常可以采集多个独立的样本，通过对它们的均值进行分析得到更可靠的结果。
应用领域高斯分布广泛应用于各个领域，包括但不限于以下：•金融领域：股票价格、汇率波动等；•自然科学：测量误差、气象数据分析等；•医学研究：疾病发病率、药效分析等；•机器学习：高斯混合模型、支持向量机等。
高斯伪谱法轨迹优化高斯伪谱法轨迹优化是一种优化算法，它是基于高斯伪谱法和轨迹优化的结合。
这种算法的基本思想是使用数值积分来生成系统的轨迹，然后使用优化技术来确定这些轨迹上的最优解。
高斯伪谱法轨迹优化在多个领域都有应用，包括航天器控制、机器人控制、航空动力学、生物医学工程等。
高斯伪谱法是一种有效的数值积分方法。
它是在时间轴上采用伪谱法对动力学方程进行离散化和数值积分的一种方法。
这种方法利用伪谱法将时间轴分为多个区间，然后在每个区间内采用高斯积分公式来计算积分值。
伪谱法利用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值点在时间轴上进行数值积分，它能够有效地保持守恒性、耐受性和可控制性。
这种方法使用高斯多项式来拟合系统的状态变量，从而产生一组节点，然后使用这些节点来计算系统的状态变量。
轨迹优化是一种在系统空间中搜索最优解的技术。
它使用优化算法来最小化或最大化系统的性能指标。
在轨迹优化中，目标是找到系统的最优控制策略，使其能够最大限度地满足预期的性能和性能指标。
优化算法可以是线性规划、非线性规划、演化算法、遗传算法等等，具体的算法选择取决于系统的复杂程度和性质。
高斯伪谱法轨迹优化的优势在于它结合了数值积分和优化技术，利用高斯多项式的快速收敛性和它能够追溯集中点的特性，可以有效地提高系统的控制精度、峰值响应和排除存在的饱和问题。
这种方法还允许在保持控制需要的最小数量移动变量的同时，进行多参数优化，以最小化系统性能的损失。
具体而言，高斯伪谱法轨迹优化的流程是：首先将动力学方程用伪谱法处理离散化和数值积分；然后，为每个控制节点选择动力学转移矩阵；接下来，通过优化方法（例如非线性规划或演化算法）寻找最优控制策略，以最大限度地满足系统的性能指标。
应用高斯伪谱法轨迹优化的实际案例包括控制一个机器人手臂、航天器轨道控制、飞机飞行控制、药物输送系统设计等。
例如，在机器人手臂控制中，这种优化方法可以产生更快、更精确的控制信号，使得机器人可以更快地完成任务。
高斯公式应用案例高斯公式是微积分中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将以高斯公式为主题，介绍几个应用案例，让我们深入了解高斯公式在实际问题中的作用。
一、高斯公式简介高斯公式，又称高斯-格林公式，是微积分中的一条定理，描述了对于一个平面区域内的某些物理量，其通过边界的积分与在该区域内部的积分之间的关系。
具体而言，对于一个二维平面区域D，定义一个向量场F=(P,Q)，高斯公式的表述如下：∬(Pdx+Qdy) =∮F•ds∬表示对平面区域D的双重积分，∮表示对区域D的边界进行线积分，ds表示边界的微元长度。
在不同的坐标系和维度下，高斯公式有相应的扩展和推广，但其基本思想是一致的。
二、电场的高斯定律一种重要的高斯公式应用是在电场的研究中。
高斯定律描述了电场通过闭合曲面的通量与包围在闭合曲面内的电荷量之间的关系。
具体而言，对于一个闭合曲面S，其上有一电场E，该电场的通量ΦE可表示为：ΦE = ∬E•dA = Q/ε0dA表示曲面S上的微元面积，Q表示曲面内的总电荷量，ε0为真空介电常数。
这里使用了高斯公式，并利用了高斯定律表述的物理规律。
通过高斯定律，我们可以方便地计算出由电荷分布产生的电场，这对于电荷的分布情况较为复杂的系统，尤为重要。
举例而言，考虑一个均匀带电球体，我们可以通过高斯定律计算出球内外的电场强度分布，并最终得到球体表面上的电场强度。
这种方法大大简化了电场计算的难度，是电磁学中常用的分析手段。
三、流体动力学中的高斯公式应用在流体动力学中，高斯公式同样有着重要的应用。
在研究流体的流动过程时，我们常常需要计算一个闭合流线管内的流体流量，而高斯公式可帮助我们实现这一目标。
具体而言，设流线管的截面为S，流速场为v，我们希望计算流线管内流体的流量。
根据高斯公式，流体流量Φ可表述为：Φ = ∬v•dA利用流速场在流线管截面上的分布情况，我们可以通过高斯公式计算出流线管内流体的总流量。
实验二利用Gaussian 进行几何优化（寻找过渡态）一、实验目的1) 了解势能面、极小值、极大值、鞍点、最小能量途径的意义；2) 利用Gaussview 搭建分子模型，建立相Gaussian 09输入文件；3) 依据所建模型体系大小选择合适方法、基组，进行结构优化；4) 掌握结构优化结果文件分析，并利用Gaussview分析计算结果；5) 分析几何优化过程中相关量的优化过程，寻找乙胺分子两个异构体的过渡态。
二、实验原理以及方法势能面：由于分子自身几何构型微小变化产生的能量变化而绘制的能量图。
图1 势能面解析图几何优化：就是在势能面上寻找寻找极小值点，极小值点对应的几何构型就是分子可能的平衡几何构型。
优化方法：由初始构型开始，计算能量和梯度，决定下一步的方向和步长，其向能量下降最快的方向进行。
当只有当计算收敛的时候优化才会结束。
高斯默认的收敛标准：（这四个条件必须同时满足，才可认为得到了稳定的几何构型）1）力的最大值小于0.00045 ；2）力的均方根小于0.0003 ；3）于下一步计算的位移差小于0.0018 ；4）位移差均方根小于0.0012 。
三、实验仪器Gaussian 09，Gauss View，软件计算机四、实验步骤首先在Gauss View中构建分子构型（乙胺的两个异构体），然后分别进行几何优化，优化至能量最低值minimum，使用优化后的分子，分别使用两种方法寻找其过渡态TS，对两种方法计算的最终结果进行比较分析。
五、计算结果分析1）计算所用的乙胺分子如图2所示。
如图所示两个分子中-NH2的空间原子排布相互垂直，认为这两种构型对应乙胺分子势能面中的两个极小值点的构型，因此可以想象，过渡态所对应的分子构型应为-NH2在两种构型中间位置。
图2 乙胺分子的两种同分异构体2）软件判断收敛的标准如下截图所示，当计算所得分子的能量和梯度值（V alue）大于阈值（Threshold）时，将返回重新计算，只有当能量和梯度均小于阈值时，循环才会停止，此时即可判断为收敛。
基于非对称广义高斯模型的局部优化检测中的应用 汪太月1,李志明2, 李宏伟2 1.黄石理工学院数理学院, 湖北黄石435003 2.中国地质大学数理学院, 湖北武汉430074 摘要:为了在非高斯的情况下优化信号的检测,我们致力于提供一种通用的噪声概率密度函数的现实模型。这个模型仅仅依赖于几个容易且能快速估计的参数,还能够适应于诸如对称和非对称,以及带有不同锐利程度的不同噪声。为了达到这个目的,一种来源于广义高斯函数的高阶统计量的模型被提出,它依赖于三个参数:表示不同锐利程度的峰度参数,以及描写不同于对称函数且联合提供偏斜程度的左右方差参数。这个模型在局部优化检测的设计中得到很好运用,被水下声学噪声干扰的信号检测证实了这个结果。
关键词:广义高斯函数;高阶统计量;最大相对效率 中图分类号:TP391 文献标示码:A Application to Locally Optimum Detection Based on Asymmetric Generalized Gaussian Distribution LI Zhiming1, WANG Taiyue2, LI Hongwei1 1.School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
2.School of Mathematics and Physics, Huangshi Institute of Technology, Huangshi 435003, China
Abstract:The work is addressed to provide modeling of a generic noise probability function (PDF, in order to optimize signal detection in non-Gaussian environments. The model only depends on few parameters which can be estimated easily and quickly, and so general to be describe many kinds of noise such as symmetric or asymmetric or with variable sharpness. To the end, we presented a new high order statistic model, which derives from the generalized Gaussian function, and depends on three parameters: kurtosis, for representing variable, and left and right variance whose combination provides skewness, for describing deviation from symmetry. The model is applied in the design of a Locally Optimum Detection test. Promising experimental results are presented which derive from the application of the test for detecting signals corrupted underwater acoustic ship-traffic-radiated noise.
Key words: generalized Gaussian distribution; high order statistic; asymptotic relative efficiency 1引言
作者简介:汪太月(1977- ,男,汉族, 湖北阳新人, 应用数学硕士,讲师,研究方向为广义高斯信号处理, 李志明(1976- ,男,汉族, 河南省巩义市人, 应用数学硕士,讲师,研究方向为广义随机信号处理。
wangty6895@126.com 基金项目:国家自然科学基金项目(60672049. 为了在非高斯的情况下优化信号的检测,我们着手于设计一种通用背景噪声下的现实模型。信号检测实质上是一个二元假设检测问题[1]:目的是在观测信号{,1,2,}k y k K = 的基础上确定传送信号{,1,2,}k s k K = 是否存在(1H 为存在,2H 为不存在;在传播当中,噪声被假定为稳定的、独立同分布的加性广义非高斯信号。
设计一个检测器应具有下列性质[2]:(a在弱信号的条件下拥有高性能;(b容易在现实情况下被运用;(c算法简单。为了满足条件(a, 局部优化检测(Local Optimum Detection ,LOD是低信噪比情况下信号检测的一种很好方法[1]。对于条件(b和(c,一般来说,依赖于几个参数的广义噪声的概率密度函数从真实数据样本中很难被估计,然而,对于非高斯性噪声信号,依据其非对称性及锐利程度,高阶统计量参数能从数据 样本中快速的被提取出来[3];对于高斯噪声的优化中,一般采用二阶统计量的信号处理算法,而对于非高斯噪声的情况下,其优化条件不复存在,性能随之严重退化[4]。于是,在噪声分析及优化检测中,许多工作用高阶统计量来进行信号处理[2]。但是这些方法仅在非高斯信号[5][6]或高斯噪声[6][7]条件才有较好的效果;有些只能在某种特定的假设下才能使用;这样,即使能用,算法也就很复杂了。
在本文中,我们首先介绍非对称的广义高斯函数,它是大家熟知的广义高斯概率密度函数[8]和非对称高斯模型[9]的有机结合。广义高斯密度函数是一类依赖于形状参数α的对称分布的函数,然而形状参数α从真实数据中很难估计;不过形状参数有其特有的物理意义,它同概率密度函数的锐利程度有着紧密的联系。能很好的描写锐利程度变量的高阶统计量参数是四阶峰度k 。因此,我们对形状参数α同峰度k 的关系作了介绍。
基于峰度的对称函数同广义高斯密度函数有着相同的性质[5]。对于基于峰度的非对称函数模型,我们先介绍了一种直接来源于高斯形状的非对称的高斯模型[9],不过不再是对称分布的,它依赖于左右方差变量两个二阶参数。在基于峰度的广义高斯函数的基础上引入这两个参数,从而得到了非对称的广义高斯模型。这个新的模型由广义高斯密度函数和非对称高斯密度函数构成,两者是它的特殊情形。它被应用于局部优化检测当中。
2 非对称的广义高斯模型 在噪声模型中,对于来源于高斯性的噪声估计的最引入注意的方法之一是对于其峰度k 的估计,其定义为四阶矩同二阶矩的平方的比[10],即 4
22(EX EX kurtosis = (1 对于高斯的情形,峰度等于3。当峰度大于3时,其概率密度函数的形状的锐利程度较对应的高斯函数的锐利程度要高,当峰度小于3时, 其概率密度函数的形状的锐利程度较对应的高斯函数的锐利程度要低。因此,一个好的概率密度函数模型具有变化的锐利程度。 众所周知:广义高斯密度函数是一个对称分布的且具有变化锐利程度的概率密度函数模型之一,其表达式为[11]:
[](;,,[]2(1/x f x e αμβααβμβα--=Γ (2
其中βσ=,(Γ⋅是Gamma 函数, 10(t z z e t dt ∞--Γ=⎰,当中的参数βασμ,,,2分别称为GGD 的均值(mean,方差(variance,形状参数(shape parameter,尺度参数(scale parameter 。其中形状参数α决定GGD 概率密度函数的衰减速度,α越小衰减得越厉害,因而α也称为衰减率(decay rate 。零均值高斯分布和拉普拉斯分布是它的特例,它们分别是式(3在21αα==和时的分布。
然而,形状参数α不可能直接从数据样本中得以估计;而峰度k 同其有着密切的关系,对于广义高斯函数有
4 22(EX EX kurtosis =422(1/2(1/x x x e dx x e dx ααββαβαα βα+∞ --∞+∞--∞ Γ=Γ⎰ ⎰ 422(5/ (5/(1/(1/(3/ βαααασαΓΓΓΓ==Γ (3 由于(Γ⋅的存在,峰度k 与形状参数α之间的解析式很难求得,而观察函数的图形发现其形式比较简单(图1 图1:峰度k 与形状参数α的关系 图2:广义高斯函数族(20,100μσ== 故采用数值拟合的方法得到其近似表达式为:
(0.12f k α== (1.8730k ≤≤ (4 那么我们就很容易的得到随峰度k 的同广义高斯密度函数的关系(图2。
为了将广义高斯模型推广运用到非对称的情形当中,我们从非对称的高斯模型出发。非对称高斯模型它依赖于左右方差的两个二阶的参数22l r σσ和,左右两个参数可以通过下式予以估计:
221,1(,1l k N l k k x l x N μσμ=<=--∑ 221,1(1r k N r k k x r x N μσμ=>=--∑ (5 其中的 l r N N 和分布表示k k x μμ<>和x 的样本数量,模型可表示为:
222 2(2(2(l r x x x f x x μσμσμμ
----⎧<=⎪≥ (6 当22l r σσ=时,它就是高斯函数;其图像(图3如下:
