三角计算及其应用试题

人教五四新版九年级（下）中考题同步试卷：34.2 解直角三角形及其应用（11）一、选择题（共5小题）1．如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里2．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD 的长）为（）A．4km B．（2+）km C．2km D．（4﹣）km 3．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD 是（）A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里4．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里5．有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里．A．10B．10﹣10C．10D．10﹣10二、解答题（共25小题）6．为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避．已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°≈0.6，tan36.9≈0.75，sin67.5≈0.92，tan67.5≈2.4）7．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．8．如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，≈1.41，≈2.45）9．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．（参考数据：sin53°＝0.80，cos53°＝0.60，tan53°＝0.33，＝1.41）10．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）11．如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°．求A、B两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93】12．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A 处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B 处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）13．如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．14．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）15．如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．16．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A．（1）问：A市是否会受到此台风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．17．如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．18．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）19．某实践小组去公园测量人工湖AD的长度．小明进行如下测量：点D在点A的正北方向，点B在点A的北偏东50°方向，AB＝40米．点E在点B的正北方向，点C在点B 的北偏东30°方向，CE＝30米．点C和点E都在点D的正东方向，求AD的长（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）20．油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP＝12km，一新建油井B位于点P 的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．（1）求∠PBA＝；（2）求A，B间的距离；（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）21．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）23．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）24．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．25．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）26．如图，小岛A在港口B的北偏东50°方向，小岛C在港口B的北偏西25°方向，一艘轮船以每小时20海里的速度从港口B出发向小岛A航行，经过5小时到达小岛A，这时测得小岛C在小岛A的北偏西70°方向，求小岛A距离小岛C有多少海里？（最后结果精确到1海里，参考数据：≈1.1414，≈1.732）27．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）28．如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP＝30海里．（1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）；（3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）29．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，求码头A与小岛C的距离．（≈1.732，结果精确到0.01海里）30．马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．人教五四新版九年级（下）中考题同步试卷：34.2 解直角三角形及其应用（11）参考答案一、选择题（共5小题）1．D；2．B；3．C；4．A；5．D；二、解答题（共25小题）6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．90°；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。

高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.（本小题满分12分）如图以点为中心的海里的圆形海域被设为警戒水域，在点正北海里处有一雷达观测站.在某时刻测得一匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的点处，经过分钟后又测得该船只已行驶到点北偏东且与点相距海里的点处，其中，.（Ⅰ）求该船行驶的速度；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断其能否进入警戒水域（说明理由）.【答案】解：（I）∴△ABC中由余弦定理得∴∴船航行速度为（海里/小时）…………6分（II）建立如图直角坐标系B点坐标C点坐标直线AB斜率直线AB方程：点E(0,-55)到直线AB距离由上得出若船不改变航行方向行驶将会进入警戒水域。

……………12分【解析】略2.（本小题满分12分）设角是的三个内角,已知向量，,且.(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(Ⅰ)由题意得即--------------------------2分由正弦定理得--------------------------3分再由余弦定理得--------------------------5分(Ⅱ) --------------------------6分-----------------------8分--------------------------10分所以，故. --------------------------12分3.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】因为，所以将其图像向右平移个单位长度，得到的图像为，又因为函数的图像关于原点对称，所以函数为奇函数，所以，即，又因为，所以，故应选．【考点】1、三角函数的恒等变换；2、三角函数的图像变换；3、三角函数的图像及其性质；4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解【答案】D【解析】A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．【考点】三角形解得个数的判断．6.已知α∈（，），sinα＝，则tan（α＋）=（）A．7B．C．－7D．－【答案】B【解析】根据题意有，，所以，故选B．【考点】同角三角函数关系式，和角公式．7.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求b，c的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由余弦定理将已知条件中等式的右端化为，再由正弦定理将其化为，然后利用两角和的正弦公式及三角形的内角和为进行整理，可得出A角的余弦值，从而求出角．（2）由已知条件列出关于b，c的方程组即可求出结果．试题解析：（1）由正弦定理得所以所以，故所以（2）由，得由条件，，所以由余弦定理得解得【考点】利用正弦定理、余弦定理解三角形．8.在中，角的对边分别为，已知，且，则为．【答案】6【解析】，，，，，即，解得．所以在中．，，，．【考点】1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．9.（本小题满分12分）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1【解析】（Ⅰ）求角的大小，从已知可看出，把已知条件用正弦定理化为边的关系，然后用余弦定理可得；（Ⅱ）由（Ⅰ），因此可把化为一个角的三角函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数，可得最大值．试题解析：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

高一数学三角函数试题答案及解析1.如图，在中，已知,是上一点，,则【答案】【解析】由余弦定理得：，在三角形中，再由正弦定理得：【考点】正余弦定理综合2.若f(cos x)="cos" 3x，则f(sin 30°)的值为 .【答案】-1【解析】根据题意，由于f(cos x)="cos" 3x，则f(sin 30°)=" f(cos" 60°)=cos180°=-1.故可知答案为-1.【考点】三角函数的求值点评：主要是考查了三角函数解析式的求解，属于基础题。

3.已知，计算：（1）；（2）；（3）；（4）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；【解析】（1）.（2）.，，（3）.（4）.【考点】诱导公式；同角三角函数的基本关系点评：在（1）中，用到的诱导公式有和；在（2）中，用到的公式有和；在（3）中，用到的诱导公式有和；在（4）中，用到的公式有。

4.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）现给出三个条件：①；②；③．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选项，并以此为依据求出的面积（只需写出一个选定方案即可）．【答案】（1）；（2）选①③，。

【解析】（1）由代入正弦定理得：，即：，又，．又． 6分（2）方案1：选①②．由正弦定理得：．又，． 12分方案2：选①③．由余弦定理得：∴，从而． 12分（选②③，这样的三角形不存在）【考点】正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式；三角形内的隐含条件。

点评：熟练掌握三角形内的隐含条件：；。

，使得对任意的实数x，都有5.已知函数，如果存在实数x1成立，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B，使得对任意的实【解析】根据题意，由于，存在实数x1数x，都有成立，可知函数的最小值为-，则周期的最大值为2012，那么可知w值为，故可知的最小值为，选B【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 三角大题 （精解精析）1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．(1)求A 。

(2)若BC =3,求ABC 周长地最大值．【结果】（1）23π。

（2）3+．思路：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈ ,23A π∴=（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=,即()29AC AB AC AB +-⋅=．22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当AC AB =时取等号）,()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号）,ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+,ABC ∴周长地最大值为3+．【点睛】本题考查解三角形地相关知识,涉及到正弦定理角化边地应用，余弦定理地应用，三角形周长最大值地求解问题。

求解周长最大值地关键是能够在余弦定理构造地等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值．2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知sinsin 2A Ca b A +=．(1)求B 。

(2)若ABC △为锐角三角形,且1c =,求ABC △面积地取值范围．【结果】(1)3B π=;(2)．【官方思路】.(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=,因为sin 0A ≠,所以sinsin 2A CB +=．由A BC 180++=︒,可得sin cos 22A C B +=,故B B Bcos 2sin cos 222=．因为B cos02≠,故B 1sin 22=,因此60=︒B ．(2)由题设及(1)知△ABC 地面积=△ABC S a ．由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2︒-===c A C a C C ．由于△ABC 为锐角三角形,故090︒<<︒A ,090︒<<︒C ．由(1)知120+=︒A C ,所以3090︒<<︒C ,故122<<a ,<<△ABC S ．因此△ABC 面积地取值范围是．【点评】这道题考查了三角函数地基础知识,和正弦定理或者余弦定理地使用（此题也可以用余弦定理求解）,最后考查△ABC 是锐角三角形这个款件地利用．考查地很全面,是一道很好地考题．3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)ABC △地内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．(1)求A 。

高一数学解三角形试题1.如图，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角，求建筑物AB和CD底部之间的距离BD。

【答案】【解析】过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．【考点】直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．2.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．故∴ymax【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．3.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.4.①设a，b是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b=0②若③在△ABC中，若，则△ABC 是等腰三角形④在中，，边长a,c分别为a=4,c=，则只有一解。

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。

高二数学解三角形试题1.中，，则形状是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】，，所以是直角三角形.故选B.【考点】1、倍角公式；2、余弦定理；3、勾股定理.2.在中，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可知即，而，且均为三角形的内角，故，所以，故选B.【考点】1.三角形的边角关系；2.正弦定理.3.在中，，AB=2，且的面积为，则BC的长为( )A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为在中，，AB=2，且的面积为，所以可得.所以求得.由余弦定理可得.故选C.本小题主要考查余弦定理的使用.【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，.(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，求ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】(1)的值，所以将式子中变为,又因为，所以，将代入就能求出的值.(2)利用第一问=求得再利用正弦定理求出C边为，在由余弦定理cosA＝．求出b 边为.因为可以求出所以.利用三角形面积公式可以得出试题解析：(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．整理得：tanC＝． 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sinC＝．又由正弦定理知：，故． (1)由余弦定理得：cosA＝． (2)解(1)(2)得：orb＝(舍去)．∴ABC的面积为：S＝． 12分【考点】解三角形5.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，，，若且，试判断△ABC的形状．【答案】（1）（2）等边三角形【解析】解：（Ⅰ），周期为 6分（Ⅱ）因为所以因为所以所以所以整理得所以三角形ABC为等边三角形 13分【考点】两角和差的公式，余弦定理点评：主要是考查了解三角形以及两角和差公式，三角函数性质的综合运用，属于中档题。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数经典大题例题单选题1、已知角α的终边经过点P (−3,4)，则sinα−cosα−11+tanα的值为（ ）A ．−65B ．1C ．2D ．3 答案：A分析：由三角函数的定义可得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，将其代入即可求解. 由√(−3)2+42=5，得sinα=45，cosα=−35，tanα=−43，代入原式得=45−(−35)−11+(−43)=−65．故选：A2、已知角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)，则sinα的值为（ ） A ．−√32B ．−12C ．√32D ．12答案：C分析：根据三角函数的定义即可求出． 因为角α的终边与单位圆交于点P (−12,√32)， 所以根据三角函数的定义可知，sinα=y =√32． 故选：C ．3、已知函数f(x)=sin (x +π3)．给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f (π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案：B分析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 因为f(x)=sin(x +π3)，所以周期T =2πω=2π，故①正确；f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12≠1，故②不正确；将函数y =sinx 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y =sin(x +π3)的图象， 故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.4、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ） A ．12B ．−12C ．−2D ．2答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果. ∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D.5、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r的等式，由此求解出r的值.设扇形的半径为R，圆心角为α，面积为S，因为2R+αR=20，所以S=12αR2=(10−R)R≤(10−R+R2)2=25，取等号时10−R=R，即R=5，所以面积取最大值时R=5,α=2，如下图所示：设内切圆圆心为O，扇形过点O的半径为AP，B为圆与半径的切点，因为AO+OP=R=5，所以r+rsin∠BPO =5，所以r+rsin1=5，所以r=5sin11+sin1，故选：C.6、已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)（ω>12，x∈R），若f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A．(12,23]∪[89,76]B．(12,1724]∪[1718,2924]C．[59,23]∪[89,1112]D．[1118,1724]∪[1718,2324]答案：C分析：由已知得12×2πω≥4π−3π，kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解之讨论k，可得选项.因为f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，所以12×2πω≥4π−3π，所以12<ω≤1，故排除A ，B ；又kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解得3k +29≤ω≤3k +512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512,不满足12<ω≤1， 当k =1时，59≤ω≤23,符合题意， 当k =2时，89≤ω≤1112,符合题意，当k =3时，119≤ω≤149,不满足12<ω≤1，故C 正确，D 不正确，故选：C.小提示：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，解之讨论可得选项. 7、已知sinθ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=（ ）A ．12B ．√33C ．23D ．√22答案：B分析：将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 由题意可得：sinθ+12sinθ+√32cosθ=1，则：32sinθ+√32cosθ=1，√32sinθ+12cosθ=√33， 从而有：sinθcos π6+cosθsin π6=√33， 即sin (θ+π6)=√33. 故选：B.小提示：本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.8、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（ ）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω> 0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．9、已知函数f(x)=|cos2x|+cos x，下列四个结论中正确的是（）A．函数f(x)在(0,π)上恰有一个零点B．函数f(x)在[0,π2]上单调递减C．f(π)=2D．函数f(x)的图象关于点(π2,0)对称答案：A分析：对x的范围进行分类讨论，由此判断A的正确性.利用赋值法判断BC选项的正确性.由f(π2+x)+f(π2−x)是否为0来判断D选项的正确性.x∈(0,π4),2x∈(0,π2)，f(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=0，cosx=−1（舍去）或cosx=12,x=π3（舍去）.x∈[π4,3π4],2x∈[π2,3π2]，f(x)=−cos2x+cosx=−2cos2x+cosx+1=0，cosx =1（舍去）或cosx =−12,x =2π3.x ∈(3π4,π),2x ∈(3π2,2π)，f (x )=cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=0， cosx =−1（舍去）或cosx =12（舍去）.综上所述，函数f (x )在(0,π)上恰有一个零点，A 选项正确. f (0)=2,f (π4)=√22,f (π2)=1，B 选项错误.f (π)=1−1=0，C 选项错误.f (π2+x)+f (π2−x)=|cos (π+2x )|+cos (π2+x)+|cos (π−2x )|+cos (π2−x) =2|cos2x |−sinx +sinx =2|cos2x |不恒为0， D 选项错误. 故选：A10、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（ ） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位， 故选：A. 填空题11、已知函数f (x )=Asinωx (A >0,ω>0)，若至少存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]，使得f (x 1)+f (x 2)=2A ，则实数ω的取值范围是________．答案：[94,52]∪[134,+∞)分析：当π>2T 时，易知必满足题意；当π<2T 时，根据x ∈[π,2π]可得ωx ∈[πω,2πω]，由最大值点的个数可构造不等式组，结合ω>0确定具体范围.∵至少存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]，使得f (x 1)+f (x 2)=2A ， ∴当π>2T =4πω，即ω>4时，必存在两个不相等的实数x 1,x 2∈[π,2π]满足题意；当π<2T ，即0<ω<4时，ωx ∈[πω,2πω]， ∴{πω≤π2+2kπ2πω≥5π2+2kπ (k ∈Z )，∴{ω≤12+2kω≥54+k(k ∈Z )； 当k ≤0时，解集为∅，不合题意；令k =1，则94≤ω≤52；令k =2，则134≤ω<4； 综上所述：实数ω的取值范围为[94,52]∪[134,+∞).所以答案是：[94,52]∪[134,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据πω的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果. 12、若cos 2θ=14，则sin 2θ+2cos 2θ的值为____. 答案：138##158分析：利用二倍角公式后，代入求解. ∵cos 2θ=14， ∴sin 2θ+2cos 2θ=1−cos 2θ2+1+cos 2θ=32+12cos 2θ=32+12×14=138．所以答案是：138. 13、求值：sin10°−√3cos10°cos40°=____________．答案：−2分析：应用辅助角公式及诱导公式化简求值即可.sin10°−√3cos10°cos40°=2(12sin10°−√32cos10°)cos40°=2sin(10°−60°)cos40°=−2sin50°cos40°=−2．所以答案是：−214、函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(π2−x)=f(π2+x)，且当x∈[0,π)时，f(x)=sinxx2−πx+π，给出下列四个结论：①f(π)=0；②π是函数f(x)的周期；③函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；④函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π. 其中，正确结论的序号是___________.答案：①③④分析：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)直接计算f(0)即可判断①；根据函数f(x)的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断②；先判断f(x)在(0,1)的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.对于①：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(π)=f(0)=sin0π=0，故①正确；对于②：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(π+x)=f(−x)=−f(x)所以f(2π+x)=−f(x+π)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2π，故②不正确；对于③：当0<x<1时，y=sinx单调递增，且y=sinx>0，y=x2−πx+π=(x−π2)2+π−π24在0<x<1单调递减，且y>1−π+π=1，所以f(x)=sinxx2−πx+π在0<x<1单调递增，因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增；故③正确；对于④：由f(π2−x)=f(π2+x)可得f(x)关于直线x=π2对称，作出示意图函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和即为函数y=f(x)与y=sin1两个函数图象交点的横坐标之和，当x∈[−π2,3π2]时，两图象交点关于x=π2对称，此时两根之和等于π，当x∈(3π2,10]时两图象交点关于x=5π2对称，此时两根之和等于5π，当x∈[−5π2,−π2)时两图象交点关于x=−3π2对称，此时两根之和等于−3π,x∈[−10,−5π2)时两图象无交点，所以函数g(x)=f(x)−sin1(x∈[−10,10])所有零点之和为3π.故④正确；所以答案是：①③④小提示：求函数零点的方法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数，ℎ(x)和g(x)的形式，根据f(x)=0⇔ℎ(x)=g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y=ℎ(x)和y=g(x)的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.15、已知sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，则cos2α的值为________.答案：−45分析：根据sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，利用诱导公式结合商数关系得到tanα=−3，然后由cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α求解.因为sin(π+α)−3sin(π2−α)=0，所以−sinα−3cosα=0，解得tanα=−3，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α， =1−tan 2α1+tan 2α=1−(−3)21+(−3)2=−45，所以答案是：−45小提示：本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 解答题16、已知函数f (x )=2sinxcosx −2√3sin 2x +√3. (1)求函数f (x )的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x ∈[−π6,π6]，时，a −f (x )≤0恒成立，求a 的最大值. 答案：(1)最小正周期π，单调递增区间为[k π−5π12,k π+π12]，k ∈Z(2)最大值为0分析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简f (x )为f (x )=2sin (2x +π3)，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据x 的范围可求2x +π3∈[0,2π3]，进而可求f (x )的值域，故可求a 的范围.（1）f (x )=2sinxcosx −2√3sin 2x +√3=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3) 故函数f (x )的最小正周期T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2得k π−5π12≤x ≤k π+π12(k ∈Z ). ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π−5π12,k π+π12]，k ∈Z . （2）∵x ∈[−π6,π6]，∴2x +π3∈[0,2π3]，∴sin (2x +π3)∈[0,1]，f (x )=2sin (2x +π3)∈[0,2].由a −f (x )≤0恒成立，得a ≤(f (x ))min ，即a ≤0.故a 的最大值为0.17、已知函数f(x)=√3sin(2x+π6)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．答案：(1)π(2)单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)分析：（1）根据公式可求函数的最小正周期；（2）利用整体法可求函数的增区间.(1)∵f(x)=√3sin(2x+π6)，∴f(x)最小正周期T=2π2=π．(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．18、已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx(ω>0)周期是π2. （1）求f(x)的解析式，并求f(x)的单调递增区间；（2）将f(x)图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数g(x)的图像，若π6≤x≤2π3时，|g(x)−m|<2恒成立，求m得取值范围.答案：（1）f(x)=sin(4x−π6)−12，单调递增区间为[kπ2−π12,kπ2+π6]，k∈Z；（2）(0,2).解析：（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得f(x)=sin(2ωx−π6)−12，由T=2π2ω=π2，解得ω=2，带入正弦函数的递增区间2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得g(x)=sin(2x+π6)+1，根据题意只需要[g(x)−2]max<m<[g(x)+2]min，分别在π6≤x≤2π3范围内求出g(x)的最值即可得解.（1）f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx=√32sin2ωx−12(cos2ωx+1) =sin(2ωx−π6)−12由T=2π2ω=π2，解得ω=2所以，f(x)=sin(4x−π6)−12∵2kπ−π2≤4x−π6≤2kπ+π2∴2kπ−π3≤4x≤2kπ+2π3∴kπ2−π12≤x≤kπ2+π6∴f(x)的单调递增区间为[kπ2−π12,kπ2+π6]，k∈Z（2）依题意得g(x)=sin(2x+π6)+1因为|g(x)−m|<2，所以g(x)−2<m<g(x)+2因为当x∈[π6,2π3]时，g(x)−2<m<g(x)+2恒成立所以只需[g(x)−2]max<m<[g(x)+2]min转化为求g(x)的最大值与最小值当x∈[π6,2π3]时，y=g(x)为单调减函数所以g(x)max=g(π6)=1+1=2，g(x)min=g(2π3)=−1+1=0，从而[g(x)−2]max=0，[g(x)+2]min=2，即0<m<2所以m的取值范围是(0,2).小提示：本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：（1）三角函数基本量的理解应用；（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；（3）恒成立思想的理解及转化.19、已知函数f(x)=asinx+bcosx，其中ab≠0．（1）若b=1，是否存在实数a使得函数f(x)为偶函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若x=34π为函数f(x)的对称轴，求函数f(x)的单调增区间．答案：（1）不存在，理由见解析；（2）a>0时，单调增区间是[2kπ−π4,2kπ+3π4]，k∈Z，a<0时，单调增区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4]，k∈Z．解析：（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；（2）由条件结合辅助角公式可得√22a−√22b=±√a2+b2，化简可得b=−a，f(x)=a(sinx−cosx)=√2asin(x−π4)，然后分a>0、a<0两种情况讨论.（1）当b=1时，f(x)=asinx+cosx若存在实数a使得函数f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)恒成立，即asin(−x)+cos(−x)=asinx+cosx恒成立，整理得asinx=0恒成立，所以a=0，与ab≠0矛盾，故不存在；（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，又由辅助角公式知f(x)的最值为±√a2+b2，所以f(34π)=√22a−√22b=±√a2+b2，两边平方，得12a2+12b2−ab=a2+b2，所以12a2+12b2+ab=0，即12(a+b)2=0，所以b=−a，所以f(x)=a(sinx−cosx)=√2asin(x−π4)，当a>0时，令2kπ−π2≤x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ−π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z，所以单调增区间是[2kπ−π4,2kπ+3π4]，k∈Z，当a<0时，令2kπ+π2≤x−π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4，k∈Z，所以单调增区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4]，k∈Z．。

初中数学三角函数计算及应用题
三角函数是初中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我将为你提供一些关于三角函数的计算和应用题。

1. 计算题
(1) 已知sin(30°) = 1/2，那么sin(150°) = _______。

(2) 若tan(45°) = 1，则cos(60°) = _______。

(3) 已知cos(60°) = 1/2，则sin(120°) = _______。

2. 应用题
(1) 一座塔的高度为 h 米，太阳光与水平面的夹角为α，则塔在太阳光下的影子长度为多少？
(2) 在直角三角形中，一个锐角为30°，其对边长为3，求这个直角三角形的斜边长。

(3) 一辆汽车以速度 v 向南行驶，遇到一个障碍物后向西行驶了45°，如果汽车行驶的距离为 d 米，那么它转向后行驶的距离是多少？。