3.3垂径定理(1)
- 格式：ppt
- 大小：638.50 KB
- 文档页数：18
文档推荐
-
圆第2课垂径定理导学案页数:3
-
垂径定理导学案-(2)页数:4
-
圆导学案之垂径定理页数:5
-
垂径定理及相关计算页数:2
-
垂径定理学案、教学设计页数:8
-
垂径定理自主学习导学案页数:5
下载文档原格式
合集下载
3.3 垂径定理
C A
M└
●
B O
D
条件 ① CD是直径 ② CD⊥AB
结论
可推得 ③AM=BM, ⌒=BC ⌒, ④AC ⌒=⌒ ⑤AD BD.
二、新课讲解
连接OA,OB,则OA=OB.
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
二、新课讲解
A
C ●M
B 由 ① CD是直径 ② AM=BM
可推得
●O
平分弦（不是直径）的直径
③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④ ⌒ ⌒ AC=BC , ⑤ AD=BD.
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
二、新课讲解
⌒ ⌒ AD=BD.
二、新课讲解
用心想一想
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
O C A D C E O D C
B
D O
A
×
√
×
注意：定理中的两个条件缺一不可—— 直径（半径），垂直于弦.
二、新课讲解
垂径定理的逆定理 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD，交AB于点M.
用心想一想
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B O A D
C
二、新课讲解
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒ CD,
点O是⌒ CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为⌒ CD上 的一点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路 的半径。
M└
●
B O
D
条件 ① CD是直径 ② CD⊥AB
结论
可推得 ③AM=BM, ⌒=BC ⌒, ④AC ⌒=⌒ ⑤AD BD.
二、新课讲解
连接OA,OB,则OA=OB.
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
二、新课讲解
A
C ●M
B 由 ① CD是直径 ② AM=BM
可推得
●O
平分弦（不是直径）的直径
③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④ ⌒ ⌒ AC=BC , ⑤ AD=BD.
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
二、新课讲解
⌒ ⌒ AD=BD.
二、新课讲解
用心想一想
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
O C A D C E O D C
B
D O
A
×
√
×
注意：定理中的两个条件缺一不可—— 直径（半径），垂直于弦.
二、新课讲解
垂径定理的逆定理 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD，交AB于点M.
用心想一想
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦 所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
B O A D
C
二、新课讲解
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒ CD,
点O是⌒ CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为⌒ CD上 的一点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路 的半径。
3.3 垂径定理
D (6)
垂径定理的应用
练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
作业：
P76 习题3.3
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
⌒⌒
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
A
C
·O
E B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦所对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三
种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等 过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理 的变式：
B D O
C
O A CB
新课讲解
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
垂径定理的应用
练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
作业：
P76 习题3.3
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
⌒⌒
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
A
C
·O
E B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦所对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三
种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等 过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理 的变式：
B D O
C
O A CB
新课讲解
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
3.3垂径定理
O
D
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧 例1：已知AB
的中点。
A
B
例2：如图，一条排水管的截面。已知排水管
的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到
水面的距离。
C 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距
练习1
已知⊙O的半径为13cm，
一条弦的弦心距为5cm，求这条弦的长
C
13 5
CP=_____ CD=_____ O AP=_____
3.3
垂径定理
圆是轴对称图形吗？
●
O
圆是轴对称图形， 每一条直径所在的直线都是对称轴。
探索规律
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；
2．作一条和直径CD垂线的弦AB ，AB与CD相交于点E
问题：把圆沿着直径CD所 在的直线对折，你发现哪 些点、线段、圆弧重合？
C
A
E
D
O
得出结论： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．
B
归纳得出：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB） ∴ EA=EB，
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC，AD=BD．
A
能够重合的圆弧叫相等的圆弧 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做 这条弧的中点 ⌒ 的中点 点C即为 AB
C E
B
A
P
D
想一想：在同一个圆中，两条 弦的长短与它们所对应的弦心
弦越长， 它所对应的弦心距越短
距之间有什么关系？
六、总结回顾
（1）圆的轴对称性； （2）垂径定理． （3）画弦心距是圆中常见的辅助线； （4）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
3.3垂径定理(共12 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
首先要对粮食有明确的定位对其特点加以新的诠释更多精彩内容微信扫描二维码获取更多精彩内容微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源今国内外粮食安全形势发生了新变化必须重新认识粮食安全问题
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
运动CD
特殊情况
C
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
O A D E B
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
特殊情况
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，A点和B点重合，AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
语文
小Hale Waihona Puke 方站作品 盗版必究谢谢您下载使用！
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
运动CD
特殊情况
C
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
O A D E B
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
特殊情况
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，A点和B点重合，AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
语文
小Hale Waihona Puke 方站作品 盗版必究谢谢您下载使用！
3.3北师大版九年级数学下册课件第三章圆第三节垂径定理
∴ CD是直径， AD⌒＝BD，⌒AC＝⌒BC ⌒
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦
所对的另一条弧
∵
⌒
CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
（A⌒C＝B⌒C）
⌒
∴ CD平分AB，AC⌒＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
第9页，共23页。
2015.01
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AA,OB,则OA=OB.
M└
●O 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
︵︵
D
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴ AB= BC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
第20页，共23页。
C
•O
A
B
(3) D
2015.01
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
第15页，共23页。
2015.01
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O 到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
第16页，共23页。
2015.01
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条 直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦
所对的另一条弧
∵
⌒
CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
（A⌒C＝B⌒C）
⌒
∴ CD平分AB，AC⌒＝BC⌒（AD⌒＝BD⌒）CD ⊥AB
第9页，共23页。
2015.01
记忆
推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AA,OB,则OA=OB.
M└
●O 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
︵︵
D
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴ AB= BC
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
第20页，共23页。
C
•O
A
B
(3) D
2015.01
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）
（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
第15页，共23页。
2015.01
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O 到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
第16页，共23页。
2015.01
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条 直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
3.3垂径定理
C A O · B D
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ② ② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
解： OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2 2
O
·
AO OE AE = 3 +4 =5cm
2
答：⊙O的半径为5cm.
结论：
在直径，弦长，弦心距，弓形的高，这四个量 中已知任意两个量，即可根据勾股定理求出另 外两个量。
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
（2015中考题）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 。
O
A
E
F
B
P
试一试
C
O · E D B
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ② ② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
解： OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2 2
O
·
AO OE AE = 3 +4 =5cm
2
答：⊙O的半径为5cm.
结论：
在直径，弦长，弦心距，弓形的高，这四个量 中已知任意两个量，即可根据勾股定理求出另 外两个量。
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
（2015中考题）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 。
O
A
E
F
B
P
试一试
C
O · E D B
3.3垂径定理演示文稿
等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
类比引入
履捷卞困颇撕疟俗暗么智钵碉靛汤披渍侥宜饿冬喜蹿羽哟涂撼学脊拇沁蕉3.3垂径定理演示文稿3.3垂径定理演示文稿
③AM=BM,
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
条件
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
猜想探索
彦机丫讨弊憋沈盅占研谴剃凸糙整枷卧侥贱自谋秽怠了箕夯酗奢靶肛邯嫂3.3垂径定理演示文稿3.3垂径定理演示文稿
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
F
E
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内。
随堂练习
峪胁套地友肯话藕球镰蘑例茁惑塘汰脉腑收庆乏统壕趾霓累膨绸娘妨还以3.3垂径定理演示文稿3.3垂径定理演示文稿
若⊙O中弦AB∥CD。 那么AC＝BD吗？为什么？
③CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
O
C
D
由 ① CD是直径
② AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
M
A
B
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
类比引入
履捷卞困颇撕疟俗暗么智钵碉靛汤披渍侥宜饿冬喜蹿羽哟涂撼学脊拇沁蕉3.3垂径定理演示文稿3.3垂径定理演示文稿
③AM=BM,
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
条件
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
猜想探索
彦机丫讨弊憋沈盅占研谴剃凸糙整枷卧侥贱自谋秽怠了箕夯酗奢靶肛邯嫂3.3垂径定理演示文稿3.3垂径定理演示文稿
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
F
E
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内。
随堂练习
峪胁套地友肯话藕球镰蘑例茁惑塘汰脉腑收庆乏统壕趾霓累膨绸娘妨还以3.3垂径定理演示文稿3.3垂径定理演示文稿
若⊙O中弦AB∥CD。 那么AC＝BD吗？为什么？
③CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
O
C
D
由 ① CD是直径
② AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
M
A
B
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理（1）（学案）
3.3 垂径定理(1)学习目标1．经历探索垂径定理的过程．2．探索并掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧(垂径定理)．3．会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．学习过程结论在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？结论在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？垂径定理基本图形定理的几何语言如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DEC．OE＝BE D．︵BD＝︵BC例1已知︵AB，用直尺和圆规作这条弧的中点．求弧AB的四等分点．如图，M为⊙O内的一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M．并且使AM＝BM．你能画过点M最长的弦呢？你还能画过点M最短的弦呢？例2 如图，一条排水管的截面．已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16．求截面圆心O到水面的距离OC．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．如图，CD 为圆O 的直径，弦AB 交CD 于E ，∠CEB ＝30°，DE ＝9㎝，CE ＝3㎝，求弦AB 的长．小结拓展题1、过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ） A ．3 B ．6cm C ．√41 cm D ．9cm2、如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜53、已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB ＝12，CD ＝16，则AB 和CD 的距离为_________________．4、已知⊙O 的半径为13cm ，圆心O 到弦AB 的弦心距为5cm ，求弦AB 的长．5、在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算： (1)点O 与AB 的距离； (2)∠AOB 的度数． OE DC BA MOBA作业题1．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．2．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知⊙O的半径为2，AB＝3．求DC的长(精确到0.01)．3．过已知⊙O内一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．(1)求∠C的度数．(2)若⊙O的半径为r，求弦AB的长．5．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm(如图)．求截面圆中弦AB 的长．6．点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦．。
3.3垂径定理
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
课前引入
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测 量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的 两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚 好是60cm，你也能算出这个大石球的半径吗？
做一做
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂 足为M.
A⌒C =⌒BC, A⌒D=⌒BD.
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的证明
已知：如图, AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条
求证：直AM径=,B并M且，CDA⌒C⊥=AB⌒BC,垂，A足⌒D为=B⌒MD..
C
A M└
B
●O
D
AE=EB吗？
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
D O
已知，在⊙O内，AB=CD，M，N分别是AB，CD 的中点，AB不行于CD。求证∠ＡＭＮ＝ ∠CＮＭ
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E， 连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。 （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AE=8，求CD的长。
若它的形状是以O为圆的圆的一部分，路面AB=10
米，净高CD =7米，求此圆的半径
C
37
7
O
A
D
B
3.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
3.3 垂径定理
课前引入
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测 量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的 两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚 好是60cm，你也能算出这个大石球的半径吗？
做一做
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂 足为M.
A⌒C =⌒BC, A⌒D=⌒BD.
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的证明
已知：如图, AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条
求证：直AM径=,B并M且，CDA⌒C⊥=AB⌒BC,垂，A足⌒D为=B⌒MD..
C
A M└
B
●O
D
AE=EB吗？
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
D O
已知，在⊙O内，AB=CD，M，N分别是AB，CD 的中点，AB不行于CD。求证∠ＡＭＮ＝ ∠CＮＭ
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E， 连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。 （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AE=8，求CD的长。
若它的形状是以O为圆的圆的一部分，路面AB=10
米，净高CD =7米，求此圆的半径
C
37
7
O
A
D
B
3.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
3.3垂径定理.3垂径定理
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴
︵ AB=
︵ BC
D
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
∴ ∠︵AOD︵=∠BOD
∴ AD= BD︵ ︵
∴AM=BM, AB= BC,
︵︵ AD= BD
弧相等吗？为什么?
E
还有其他情况吗？
C
A
N ●O
B
└
M
C└
D
F
A
B
●O
C
D
D
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm. 则点O到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦
AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？
为什么？
解：AC=BD 理由：过O作OE⊥AB于E，
37.4 CC
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
AA
D
BB
OA 2 AD 2 OD2 ,
R
即R2 18.72 (R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）.
OO
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且 CD⊥AB，
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AD= BD
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.（课本P78T4）如图，在⊙O中，弦AB 垂直平分半径OC (1)求∠C的度数 （2）若⊙O的半径为r，求弦AB的长
O └ A D C B
4. （课本P78T6）
已知：如图,在⊙O中,弦AB∥CD。
N
⌒ ⌒
求证：AC＝BD
证明：作直径MN⊥AB。
O A C
M
∵AB∥CD
∴MN⊥CD
∴ AM＝BM，CM＝DM
⌒ =BC, ⌒ ∴AE=BE, AC
⌒ ⌒ AD=BD.
A
E└ D
例1：已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点。
⌒
画一画：如何四等分弧？
E A ⌒
C
B D
∴点E就是所求AB的中点.
变式： 求弧AB的四等分点． 错在哪里？
Ｅ Ｎ Ｍ
C
G
Ｐ
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
C
m
F
E
n
G
A
B
D
∴点E 、F、G就是所求AB的四等分点.
3.2垂径定理（1）Fra bibliotek通过折圆形纸片，你能找到它的直径吗？
圆是轴对称图形吗？
O
结论1：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X
）
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径. (1)沿CD折叠，点A与点B重合吗？ (2)要使点A与点B重合，需…? C 则...? C
⌒
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的
半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的
距离。
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 想一想:排水管中水最深多少?
想一想：半径为5，最大水深为2，
8 C 10 8
D
求弦AB的长？
结论：d, r, a, h知2求2
课内练习
1.点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所 有过点A的弦中对短的弦，并找到这条弦所对 的弧的中点 2． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 ．
E
A
O D
O B
A E B
D 直径CD⊥AB
能够重合的弧叫等弧 沿着直径CD对折，哪些线段和哪些弧互相重合？
C
O
AE BE
A
E D
B
⌒ ⌒ AD BD ⌒ ⌒ AC BC
由此你能得到什么结论?
直径CD⊥AB
AE=BE,
⌒ ⌒ AC=BC,
⌒ AD=BD.
⌒
请用命题的形式表述得到的结论
A
C
●
O
E└ D
B
∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ ⌒ 重合, ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.
⌒ =BC, ⌒ ∴AC
⌒=BD. AD
⌒
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧． 定理的几何语言
C
如图∵ CD是直径,
O B
CD⊥AB,
●
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
B D
（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 .）
∴ AM－CM ＝ BM －DM
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴AC＝BD
⌒ ⌒ 已知：在⊙O中，弦AB//CD,求证：AC= BD
1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
C O
A C
●
B D
B
D
●
结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
C
题设
●
结论
AE=BE,
可推得
O B
A
① CD是直径 ② CD⊥AB
E└ D
⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ AD=BD. ⌒
你能给出证明吗？
证明：
连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAE和Rt△OBE中, ∵OA=OB，OE=OE， ∴Rt△OAE≌Rt△OBE. ∴AE=BE. ∴点A和点B关于CD对称.
5.如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D O
E
C
B
提高练习：作业本T4，T6