2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 特别提醒：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，理1)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A ∪B )＝()．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2,3}，而U ＝{1,2,3,4}，故U (A ∪B )＝{4}，故选D ．2．(2013重庆，理2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ． 3．(2013重庆，理36a a (-)(+)－6≤a ≤3)的最大值为( )．A ．9B ．92C ．3D ．322答案：B解析：236318a a a a (-)(+)=--+238124a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因为－6≤a ≤3，所以当32a =-81942=. 方法二：∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0. 而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a －6)≥236a a (-)(+) 即9236a a ≥(-)(+) 9362a a (-)(+)≤，当且仅当3－a ＝a ＋6， 即32a =-时取等号．4．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()．A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数915101824 16.85y++(+)++=，可解得y＝8.故选C．5．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．5603B．5803C．200 D．240答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C．6．(2013重庆，理6)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案：A解析：由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ．7．(2013重庆，理7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6- D答案：A解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．8．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )．A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9 答案：B解析：由程序框图可知，输出的结果为s ＝log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)．由s ＝3，即log 2(k ＋1)＝3，解得k ＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s ，∴条件应为k ≤7. 9．(2013重庆，理9)4cos 50°－tan 40°＝( )．AB．2CD．1答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝122sin40sin4022cos40︒+⨯︒-︒=︒.10．(2013重庆，理10)在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP uuu r |＜12，则|OA u u u r|的取值范围是( )．A ．2⎛ ⎝⎦B ．22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝ 答案：D解析：因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u ur ＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r|＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP uuu r |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2<≤所以|OA u u u r |的取值范围是⎝，故选D ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，理11)已知复数5i12iz =+(i 是虚数单位)，则|z |＝__________.解析：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12．(2013重庆，理12)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝__________.答案：64解析：由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64.13．(2013重庆，理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C 792=种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C 21=种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585C C 55-=种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595C C 125-=种，只去内科一科医生的选法有55C 1=种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名， 则需选内科医生(5－x －y )人．(1)当x ＝y ＝1时，有113345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (2)当x ＝1，y ＝2时，有122345C C C 180⋅⋅=种不同选法； (3)当x ＝1，y ＝3时，有131345C C C 60⋅⋅=种不同选法； (4)当x ＝2，y ＝1时，有212345C C C 120⋅⋅=种不同选法；(5)当x ＝2，y ＝2时，有221345C C C 90⋅⋅=种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有311345C C C 20⋅⋅=种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14．(2013重庆，理14)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．答案：5解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD ＝∠A ＝60°. 在Rt △BCD 中，可求得CD＝，BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE ·DB ，可求得DE ＝5.15．(2013重庆，理15)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝__________. 答案：16解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4，而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2， ∴y 2＝43＝64，即y ＝±8，∴|AB |＝|8－(－8)|＝16.16．(2013重庆，理16)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝22,5,8,35,22,3,x x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013重庆，理17)(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a ∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故12a=.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x＞0)，f′(x)＝x－5＋6x＝23x xx(-)(-).令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 18．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．解：设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i(i＝0,1,2,3)与B j(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝123437C C18 C35=.(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝3337C11C3105⋅=，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3337C22C3105⋅=，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==， P (X ＝0)＝12461105105357---=.综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．19．(2013重庆，理19)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB ．(1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC⊥BD ．以O 为坐标原点，OB uuu r，OC u u u r ，AP u u u r的方向分别为x轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD πcos 3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD πsin 3，故A (0，－3,0)，B ，0,0)，C (0,1,0)，D (，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又AF u u u r ＝0,2,2z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PB u u ur ＝3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF u u u r ·PB u u ur ＝0，即6－22z ＝0，z =舍去-)，所以|PA u u u r|＝(2)由(1)知AD u u ＝(3,0)，AB u u u r ＝，3,0)，AF u u u r＝(0,2)，设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD u u u r ＝0，n 1·AF u u u r ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩因此可取n 1＝(3，－2)．由n 2·AB u u u r ＝0，n 2·AF ＝0，得222230,20,y y +=+=⎪⎩故可取n 2＝(3，，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8⋅=⋅n n n n ，故二面角B －AF －D的正弦值为8. 20．(2013重庆，理20)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B＝5，2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值．解：(1)因为a 2＋b 2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--＝5.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝5，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝5，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝5.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，－sin A sin B ，解得sin A sin B =由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.21．(2013重庆，理21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b(-)+=. 从而e 2＋24＝1.由2e =得22481b e==-， 从而222161b a e==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02. 因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)， 所以QP QP ⋅'u u u r u u u r＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 12＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得22111810416x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，11解得13x =±，1023x x ==±. 从而|QP |2＝8－x 02＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为221633x y ⎛++= ⎝⎭，221633x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭. 22．(2013重庆，理22)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭. (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：(1)当k ＝4时，7I ⎫∈⎬⎭中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B ．同理6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求，当k ＝1时，1414I I ⎫∈=⎬⎭可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集14I ⎫∈⎬⎭中除整数外剩下的数组成集13513,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭L ，可分解为下面两稀疏集的并：215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，23713,,222B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 当k ＝9时，集14I ⎫∈⎬⎭中除正整数外剩下的数组成集12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭L ，可分解为下面两稀疏集的并：31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 最后，集1414,,1,4,9C I k I k ⎫=∈∈≠⎬⎭且中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分拆方法不是唯一的．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（重庆卷）一、选择题1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 答案 D解析 由于“对任意x ∈R ”的否定为“存在x 0∈R ”，对“x 2≥0”的否定为“x 2<0”，因此选D.3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3D.322答案 B 解析 因为(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 所以当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92.4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5C ．5,8D ．8,8答案 C解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240 答案 C解析 由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.6．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 7．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2(R1，R2分别为两圆的半径)＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4.故选A.8．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6 B．k≤7C．k≤8 D．k≤9答案 B解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.由s＝3，得lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×…×lg(k＋1)lg k＝3，即lg(k＋1)＝3lg 2，所以k＝7.再循环时，k＝7＋1＝8，此时输出s，因此判断框内应填入“k≤7”．故选B. 9．4cos 50°－tan 40°等于()A. 2B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.10．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎤52，72 C.⎝⎛⎦⎤52，2D.⎝⎛⎦⎤72，2 答案 D解析 设B 1(cos α，sin α)，B 2(cos β，sin β)，A (x ，y )，O (0,0)．由AB 1→⊥AB 2→，得cos(α－β)－x (cos α＋cos β)－y (sin α＋sin β)＋x 2＋y 2＝0① OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB 1→＋AB 2→＝(cos α＋cos β－x ，sin α＋sin β－y )． 而|OP →|<12，则0≤|OP →|2<14，整理得0≤x 2＋y 2＋2＋2cos(α－β)－2x (cos α＋cos β)－2y (sin α＋sin β)<14，②将①代入②，得0≤x 2＋y 2＋2－2(x 2＋y 2)<14，即0≤2－(x 2＋y 2)<14，整理得74<x 2＋y 2≤2.所以|OA →|2∈⎝⎛⎦⎤74，2，即|OA →|∈⎝⎛⎦⎤72，2. 二、填空题11．已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案5解析 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5.12．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________. 答案 64解析 因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64. 13．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答) 答案 590解析 利用直接法分类求解．一脑一内三骨的选法有C 14C 15C 33＝20种，一脑二内二骨的选法有C 14C 25C 23＝120种，一脑三内一骨的选法有C 14C 35C 13＝120种，二脑一内二骨的选法有C 24C 15C 23＝90种，二脑二内一骨的选法有C 24C 25C 13＝180种，三脑一内一骨的选法有C 34C 15C 13＝60种，满足题意的选法共20＋120＋120＋90＋180＋60＝590(种)．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______． 答案 5解析 由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠C ＝∠D ＝90°，所以△ABC ∽△CBD .所以AB CB ＝ACCD ，CD ＝CB ×AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又因CD 与圆相切，所以CD 2＝DE ×DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60°＝5.15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 16解析 将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以|AB |＝|8－(－8)|＝16.16．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 因为|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的动点x 到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，所以当a ≤8时，|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，故实数a 的取值范围为(－∞，8]． 三、解答题17．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.18．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．解 设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球，则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P (X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上知X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值． 解 (1)如图，连接BD 交AC 于点O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ， 则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3， 又OD ＝CD sin π3＝ 3.故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )， 因为F 为PC 的中点，所以F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z2. 又AF →＝⎝⎛⎭⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )， 因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0， 即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|P A →|＝2 3.(2)由(1)知AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B －AF －D 的正弦值为378.20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos α＝25，求tan α的值．解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.又0<C <π，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos α＝25.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22，解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.21．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程． 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上， 则(－c )2a 2＋22b 2＝1.从而e 2＋4b2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x－2x 0)2－x 20＋8 (x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点．因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)，所以QP →·QP ′→＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝⎛⎭⎫1－x 2116＝0， 解得x 1＝±463，x 0＝x 12＝±263. 从而|QP |2＝8－x 20＝163. 故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝⎛⎭⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎫x －2632＋y 2＝163. 22．对正整数n ，记I n ＝{1,2,3，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解 (1)当k ＝4时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n .不妨设I ∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14. 当k ＝4时，集⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132. 当k ＝9时，集⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143.可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143. 最后，集C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k |m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3.则A 和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14. 综上，所求n的最大值为14. (注：对P14的分拆方法不是唯一的)。
year冉春名师解析：本试卷第1-4小题为送分题，第5小题选C，可能有些粗心选成了A，很可惜，该几何体是一个直棱台，高为4，把上下两底面积相加再除以2【切合成长方体】，再乘以高4即得，第6小题可假设a,b,c 分别为1,2,3，花间得到一个二次函数，画出在坐标轴上的图像，标出对称轴，顶点在Y 轴下方，即x=2时为负，与Y 轴交于上方， 判别式大于0，与x 轴有两个交点，且X=1,和3时都大于0，-----即X=1时为正，X=2为负，X=3为正，所以两个零点在（1,2）和（2,3）之间，即零点在区间（a,b)和(b,c)内，所以选A 。
第7题画出简图，把小圆沿着X 坐标轴对称平移下去，再连接两圆心，与x 轴交于一点，，则所求的最小值为两圆心距离减去两园半径之和。
第8题要细心，K 因小于等于7，而不是6或8，因为K 小于等于7时仍为否，当k=8时，把对数函数换底消去，8=2的三次方，提出3，再约分消去最后得3.1212121,lOB l l l 1,+,l l l l 2AB AB OB AP AB AB OP OA ⊥===∠ （10）在平面上若，则的取值范围是A C D112122(01),B (10),+B ,,B AP AB AB A P == ，【解析】设B ，，因为所以这四点连接并组成一个矩形，1212,,(X ,1),(1)A A P PB A PB B A Y PB X Y ==-=-- 所以所以,,,(X ,0)(1)X 1,1,=1X =1A A P P A P A P P A P AY X Y X Y Y X Y Y -=--=-=---得，得也得，2222,111l l +1X +1-244P P A A OP X Y Y ∠∠∠∠-∠ 又因为，所以0，所以0（）（），1212=X ,-1=X -1X ,-1A A A A A A AB Y AB Y AB AB Y ⊥ 而（，），（，），又由，得（，）.22X -1=X (X -1)-10,X X A A A A A A A A A AY Y Y Y Y →+=+=+（，）0（）得22222217X X 1X +1-X X 244A A A A A A A A A A Y Y Y Y Y +=+∠-∠+∠+∠把带入到0（）（）中并消去可得，22l l =X D 2A A OP Y ∠+ 即选项00(9)4cos50tan 40122B D -=----+00000000000sin 404sin 40cos 40-sin 402sin80-sin 30+10=sin -===cos 40cos 40cos 40（）解析：所求44000000002cos10-sin cos10+cos30sin10=cos 30+10【30】（）003cos1022二（13）从3名骨科，4名脑科，5名内科医生中选5人组成一个抗震小组，则各科，脑科和内科医生至少有1人的宣发种数为（590）解骨科（3人）脑科（4人）内科（5人）选 3 1 1 =311345C C C=202 2 1 =221345C C C=902 1 2 =212345C C C=1201 2 2 =122345C C C=1201 3 1 =131345C C C=1201 1 3 =113345C C C=120=311221212122131113 345345345345345345 C C C C C C C C C C C C C C C C C C+++++=2090120+120+120+120=480+110=590++2【其实重庆高考这几年数学试题除了最后一题第问稍难，其余皆在一般学生可得分的水平难度上】本试卷难易适中，题目容易入手但由于考试因素仍易粗心或时间把握不准而得不了高分，其中;第1-4,11-12小题为很容易的题，基本算是送分题，第5小题就是一个直棱台，可重新融合为一个长方体，长方形的底面为该直棱柱上下底面和的一半，高为4，很容易得到200，不需要用到台体体积公式【不要求记忆】，第6小题用特殊值法化为一个二次函数，找准对称轴为b,开口向上，当x取a,b.cs时分别为正负正，即x坐标轴上，下，上方，所以零点在（a,b)与（b,c)间。
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝{1,2,3,4},集合A ＝{1,2},B ＝{2,3},则()U A B = ð ( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4} 【测量目标】集合的并集与补集运算.【考查方式】先求出两个集合的并集,再结合补集概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵A B ＝{1,2,3},而U ＝{1,2,3,4},故()U A B = ð＝{4}，故选D ． 2.命题“对任意x ∈R ,都有20x …”的否定为( )A.对任意x ∈R ,都有20x < B.不存在x ∈R ,使得20x <C.存在0x ∈R ,使得200x …D.存在0x ∈R ,使得200x <【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】根据含有一个量词的命题的否定的方法直接求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ．()63a-剟的最大值为( )A.9B.92 C.3 D.3【测量目标】函数的最值.【考查方式】利用配方法结合函数的定义域求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B=63a-剟，所以当32a =-92=,故选B. 4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x ,y 的值分别为 ( )A.2,5B.5,5C.5,8D.8,8第4题图【测量目标】茎叶图.【考查方式】结合茎叶图上的数据，根据中位数和平均数的概念求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y ++(+)++=，可解得y ＝8.故选C ．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )第5题图A.5603 B.5803C.200D.240 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】先将三视图还原为空间几何体，在根据体积公式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200,故选C ． 6.若a ＜b ＜c ,则函数f (x )＝(x －a ) (x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间 ( )A. (a ,b )和(b ,c )内B. (－∞,a )和(a ,b )内C. (b ,c )和(c ,＋∞)内D. (－∞,a )和(c ,＋∞)内 【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】利用函数在区间端点处的函数值并判断符号. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由题意a ＜b ＜c ,可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a ) f (b )＜0,f (b ) f (c )＜0,所以该函数在(a ,b )和(b ,c )上均有零点,故选A ．7.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1,圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |＋|PN |的最小值为 ( )A.4 1 C.6- 【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】利用圆心坐标和半径，在结合对称性求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】圆C 1,C 2的圆心分别为C 1,C 2,由题意知|PM |…|PC 1|－1,|PN |…|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |…|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值.(步骤1 ) 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2,－3),所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－4＝44=,故选A.(步骤2)8.执行如图所示的程序框图,如果输出s ＝3,那么判断框内应填入的条件是( )A.6k …B.7k …C.8k …D.9k …第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】利用循环结构运算并结合输出结果求解.【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由程序框图可知,输出的结果为s ＝log 23×log 34× ×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1) .由s ＝3,即log 2(k ＋1)＝3,解得k ＝7.又因为不满足判断框内的条件时才能输出s ,所以条件应为k …7.故选B. 9.4cos50tan 40-=( )D.1 【测量目标】同角三角函数的基本关系,诱导公式.【考查方式】利用商数关系，三角恒等及角度拆分求解. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】4cos50tan 40-=4sin40cos40sin40cos40︒︒-＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒︒--=(步骤1 )＝2sin(6040)sin40cos40︒︒︒︒+-＝122sin40sin4022cos40︒︒︒︒+⨯-=故选C. (步骤2 ) 10.在平面上,1AB ⊥2AB ,|1OB |＝|2OB |＝1,AP ＝1AB ＋2AB.若|OP |＜12,则|OA |的取值范围是( )A.0,2⎛ ⎝⎦B.22⎛ ⎝⎦C.2⎛ ⎝D.2⎛ ⎝【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用所给条件转化为以O 为起点的向量表示，再利用所给关系列出不等式求解. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】因为1AB ⊥2AB ,所以可以A 为原点,分别以1AB ,2AB所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系.设B 1(a,0),B 2(0,b ),O (x ,y )，则AP ＝1AB ＋2AB＝(a ,b ),即P (a ,b )．(步骤1 ) 由|1OB |＝|2OB|＝1,得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0,(y －b )2＝1－x 2≥0. (步骤2 )由|OP |＜12,得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.(步骤3 )所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<所以|OA |的取值范围是⎝,故选D.(步骤4 ) 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11.已知复数5i12iz =+(i 是虚数单位),则|z |＝__________. 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】先化简复数，再利用定义求解. 【难易程度】容易【试题解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12.已知{}n a 是等差数列,11,a =公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8S =__________.【测量目标】等差数列的前n 项和，等比数列性质. 【考查方式】利用等比中项及等差数列的通项公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】64【试题解析】由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列,得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2,解得d ＝2,故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64. 13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)． 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用两个计数原理,组合数公式求解. 【难易程度】中等 【参考答案】590【试题解析】设选骨科医生x 名,脑外科医生y 名， 则需选内科医生(5－x －y )人. (步骤1 )(1)当x ＝y ＝1时,有113345C C C 120= 种不同选法；(2)当x ＝1,y ＝2时,有122345C C C 180= 种不同选法； (3)当x ＝1,y ＝3时,有131345C C C 60= 种不同选法；(4)当x ＝2,y ＝1时,有212345C C C 120= 种不同选法； (5)当x ＝2,y ＝2时,有221345C C C 90= 种不同选法；(6)当x ＝3,y ＝1时,有311345C C C 20= 种不同选法;(步骤2 )所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．(步骤3 )考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分．14.如图,在△ABC 中,∠C ＝90,∠A ＝60,AB ＝20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ,BD ⊥CD ,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为__________．第14题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】利用圆的几何性质、解三角形求解. 【难易程度】中等 【参考答案】5【试题解析】在Rt △ABC 中,∠A ＝60,AB ＝20,可得BC ＝由弦切角定理,可得∠BCD ＝∠A ＝60. (步骤1)在Rt △BCD 中,可求得CD ＝,BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE DB ,可求得DE ＝5. (步骤2)15.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB |＝__________. 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标方程与参数方程转化为普通方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】16【试题解析】由极坐标方程ρcos θ＝4,化为直角坐标方程可得x ＝4,而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2， ∴y 2＝43＝64,即y ＝±8,(步骤1) ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. (步骤2)16.若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解,则实数a 的取值范围是________． 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用不等式的解法求解. 【难易程度】较难 【参考答案】(－∞，8]【试题解析】由绝对值不等式,得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，(步骤1) ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解时,a 的取值范围为(－∞,8]．(步骤2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分.)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ,其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的运算、函数的定义域、函数的单调性求解. 【难易程度】容易【试题解析】(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故()f x '＝2a (x －5)＋6x.(步骤1) 令x ＝1,得f (1)＝16a ,()1f '＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1),由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6,故12a =.(步骤2) (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，()f x '＝x －5＋6x ＝23x x x(-)(-).(步骤3) 令()f x '＝0，解得x 1＝2,x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时,()0f x '>,故f (x )在(0,2),(3,＋∞)上为增函数;当2＜x ＜3时, ()0f x '<,故f (x )在(2,3)上为减函数.(步骤4)由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2,在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. (步骤5) 18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下： 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )． 【测量目标】古典概型，离散型随机变量的期望.【考查方式】利用概率公式求解古典概型和独立事件的概率. 【难易程度】中等【试题解析】设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球,B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球， 则A i 与B j 独立．(步骤1)(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝123437C C 18C 35=.(步骤2) (2)X 的所有可能值为0,10,50,200,且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105= ， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535== ， P (X ＝0)＝12461105105357---=.(步骤3)从而有E (X )＝0×7＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．(步骤4)19.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)如图,四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,BC ＝CD ＝2，AC ＝4,∠ACB ＝∠ACD ＝π3,F 为PC 的中点,AF ⊥PB ． (1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．第19题图【测量目标】二面角，空间直角坐标系.【考查方式】利用线面位置关系建立空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等【试题解析】(1)如图,连接BD 交AC 于O ,因为BC ＝CD ,即△BCD 为等腰三角形.又AC 平分∠BCD ,故AC ⊥BD.以O为坐标原点,OB ,OC ,AP的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -,则OC ＝CD πcos 3＝1,而AC ＝4,得AO ＝AC －OC ＝3,又OD ＝CD πsin 3故A (0,－3,0),B ，C (0,1,0),D (步骤1)第19题图因P A ⊥底面ABCD ,可设P (0,－3,z ),由F 为PC 边中点,F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(步骤2)又AF ＝0,2,2z ⎛⎫ ⎪⎝⎭,PB＝z -)，因AF ⊥PB ,故AF PB＝0,(步骤3)即6－22z ＝0,z =舍去-)，所以|PA|＝步骤4)(2)由(1)知AD ＝(AB ＝AF＝设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2),(步骤5)由n 1 AD ＝0,n 1 AF ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(步骤6)因此可取n 1＝－2)．(步骤7)由n 2AB＝0,n 2 AF＝0， 得222230,20,y y +==⎪⎩故可取n 2＝(3,．(步骤8) 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8= n n n n ，故二面角B －AF －D 步骤9) 20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)在△ABC 中,内角A,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a 2＋b 2＝c 2.(1)求∠C ；(2)设cos A cos B ＝52cos()cos()cos 5A B ααα++=,求tan α的值． 【测量目标】余弦定理,同角三角函数的基本关系.【考查方式】利用余弦定理的变形求解,借助三角恒等变换将所给等式化简求解. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理有cos C ＝2222a b c ab +-==(步骤1)故3π4C ∠=.(步骤2)(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--＝5.(步骤3)因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝5.①(步骤4) 因为3π4C =,A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝2,(步骤5)因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即5－sin A sin B ＝，解得sin A sin B ＝5210-=.(步骤6) 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4. (步骤7)21.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ,A ′两点,|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ,P ′,过P ,P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ ⊥P ′Q ,求圆Q 的标准方程．第21题图【测量目标】椭圆的标准方程,圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】利用椭圆的方程,集合性质,平面向量数量积及轨迹方程的求法求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b(-)+=.(步骤1) 从而e 2＋24b＝1.由2e =得22481b e ==-， 从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=.(步骤2)(2)由椭圆的对称性，可设()0,0Q x ．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点， 则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])．(步骤3) 设P (x 1，y 1),由题意,P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此,上式当x ＝x 1时取最小值.(步骤4)又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0,且|QP |2＝8－x 02. 因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1,－y 1)，所以QP QP ' ＝(x 1－x 0,y 1) (x 1－x 0,－y 1)＝0，(步骤5)即(x 1－x 0)2－y 12＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得22111810416x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1x =,102x x ==.(步骤6) 从而|QP |2＝8－x 02＝163.故这样的圆有两个,其标准方程分别为22163x y ⎛++= ⎝⎭,22163x y ⎛+= ⎝⎭.(步骤7)22.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭.(1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．【测量目标】集合的表示,集合中元素的基本特征,间接证明.【考查方式】利用集合元素的特征、分类讨论思想和反证法求解论证. 【难易程度】较难【试题解析】 (1)当k ＝4时,7I ⎫∈⎬⎭中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(步骤1)(2)先证:当n ≥15时,P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A ,B 为不相交的稀疏集,使A B ＝P n ⊇I n ,不妨设I ∈A ,则因1＋3＝22,故3∉A ,即3∈B.同理6∈A,10∈B ,又推得15∈A ,但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾.(步骤2)再证P 14符合要求,当k ＝1时,1414I I ⎫∈=⎬⎭可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13},B 1＝{3,5,7,8,10,12,14},则A 1,B 1为稀疏集,且A 1 B 1＝I 14. (步骤3)当k ＝4时,集合14I ⎫∈⎬⎭中除整数外剩下的数组成集合13513,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,可分解为下面两稀疏集的并：215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,23713,,222B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(步骤4)当k ＝9时,集合14I ⎫∈⎬⎭中除正整数外剩下的数组成集合12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ,可分解为下面两稀疏集的并:31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(步骤5)最后,集合1414,,1,4,9C I k I k ⎫=∈∈≠⎬⎭且中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数,因此，令A ＝A 1 A 2 A 3 C ,B ＝B 1 B 2 B 3,则A 和B 是不相交的稀疏集,且A B ＝P 14.综上,所求n 的最大值为14.注:对P 14的分拆方法不是唯一的．(步骤6)。
