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2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
（2）()
3
=
（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则
（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为
（A ）()1,1- （B ）11,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+
> ⎪⎝⎭
的反函数()1
=f x - （A ）
()1021x x >- （B ）()1
021
x
x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}124
30,,103
n n n a a a a ++==-则的前项和等于
（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39
（C ）()-10
31-3 （D ）()-1031+3
（7）()()3
4
22
11+x y x y +的展开式中的系数是
（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168
（8）椭圆22
122:1,,46
x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是
（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， （D ）314
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
（9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫
++
∞ ⎪⎝⎭
在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于
（A ）
23 （B
）3 （C
）3
（D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于
,0,A B MA MB k ==
两点,若则
（A ）
12 （B
）2
（C
（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是
（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2
y f x x π
==的图像关于对称
（C ）(
)f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）已知1sin ,cot 3
a a a =-=是第三象限角，
则 . （14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字
作答）
（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域为.D 若直线
()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .
（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
3
602
OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.
18．（本小题满分12分）
设
()(),,,,,.
ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为
（I ）求;B
（II ）若
sin sin C.A C =
求
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆ 中，，与都是等边三角形.
（I ）证明：;PB CD ⊥
（II ）求二面角.A PD C --的大小
20．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比
赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1
,2
各局比赛的
结果都相互独立，第1局甲当裁判.
（I ）求第4局甲当裁判的概率；
（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.
21．（本小题满分12分）
已知双曲线()22
1222:10,0x y C a b F F a b
-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线
2y C =与
（I ）求,;a b ；
（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且
11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列
22．（本小题满分12分）
