山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题

山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题。

一、选择题1．已知集合A ＝{x|－2≤x≤3}，函数f （x ）＝ln （1－x ）的定义域为集合B ，则A∩B ＝ A ．[－2，1] B ．[－2，1） C ．[1，3] D ．（1，3] 2．若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1＋i ，则12z z = A ．i B ．－i C ．1 D ．－13．若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425-B ．725-C ．725D ．24254．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为A ．14B ．17C ．18D ．1165．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是A ．13B ．2 C ．3 D ．66．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是A ．y ＝2x －x 2－1B ．y ＝2xsinxC ．ln xy x=D ．y ＝（x 2－2x ）e x7．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到8．已知二项式2nx⎛- ⎝（n ∈N*）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则x 3的系数为A ．14B ．－14C ．240D ．－2409．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且BP ＝2PA ，则CP CB ⋅=A ．13 B ．12 C ．23D ．110．一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为 A．1 B．2 C ．1 D ．211．已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上一点，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为A ．43y x =± B ．34y x =± C ．35y x =± D ．53y x =±12．已知函数()12log f x x x =+，()2cos 2,02,0a x x g x x a x +⎧=⎨+<⎩≥（a ∈R ），若对任意x 1∈[2，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 二、填空题13．焦点在x 轴上，短轴长等于16，离心率等于35的椭圆的标准方程为________． 14．若x ，y 满足约束条件02 636x y x y +⎧⎨-⎩≤≤≤≤，则z ＝x －2y 的最大值为________．15．如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若()cos cos cos 0A B C C +-=，且b ＝1，则a ＋c 的取值范围为________．三、解答题 （一）必考题17．设数列{a n }满足a 1·2a 2·3a 3·…·na n ＝2n （n ∈N*）． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n ．18．如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，AF ＝BF ＝BC ＝2EF ，EF ∥BC ，G 为CD 的中点．（1）求证：EG ∥平面ACF ；（2）若平面ABF ⊥平面ABCD ，求直线EC 与平面ACF 所成角的正弦值．19．某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名，其评估成绩Z 近似的服从正态分布N （μ，σ2）．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．（ⅰ）用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；（ⅱ）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会．李华在某公司选岗时，若以该岗位工资与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C 公司的哪些岗位？并说明理由．附：≈，若随机变量Z～N（μ，σ2），12.7则P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜Z＜μ＋2σ）＝0.9544．20．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线：y＝kx＋b（k≠0）交抛物线C于A、B 两点，|AF|＋|BF|＝4，M（0，3）．（1）若AB的中点为T，直线MT的斜率为k'，证明：k·k'为定值；（2）求△ABM面积的最大值．21．已知函数f （x ）＝xe x －1－alnx ．（无理数e ＝2.718…） （1）若f （x ）在（1，＋∞）单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当a ＝0时，设函数()()2eg x f x x x x=⋅--，证明：当x ＞0时，()2ln 2ln 2122g x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．（参考数据：ln2≈0.69） （二）选考题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 23．已知函数f （x ）＝|ax －2|，不等式f （x ）≤4的解集为{x|－2≤x≤6}． （1）求实数a 的值；（2）设g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋3），若存在x ∈R ，使g （x ）－tx≤2成立，求实数t 的取值范围．高三理科数学参考答案一、选择题BBACD DDCCA AC 二、填空题13．22110064x y += 14．10 15．016．2] 三、解答题17．解：（1）由n ＝1得a 1＝2， 因为a 1·2a 2·3a 3…na n ＝2n ，当n≥2时，a 1·2a 2·3a 3…（n －1）a n －1＝2n －1， 由两式作商得：2n a n=（n ＞1且n ∈N *）， 又因为a 1＝2符合上式， 所以2n a n=（n ∈N *）．（2）设122n n nb a ++=，则b n ＝n ＋n·2n ，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝（1＋2＋…＋n ）＋（2＋2·22＋3·23＋…＋（n －1）2n －1＋（n·2n ）， 设T n ＝2＋2·22＋3·23＋…（n －1）·2n －1＋n·2n ，①所以2T n ＝22＋2·23＋…（n －2）·2n －1＋（n －1）·2n ＋n·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1， 所以T n ＝（n －1）·2n ＋1＋2． 所以()12n n n n S T +=+， 即()()111222n n n n S n ++=-⋅++．18．证明：（1）连结BD ，交AC 于M ，连结FM ，MG ，因为BC ＝AD ＝2EF ，EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以12EF AD ∥， 在△ACD 中，M ，G 分别为AC ，CD 的中点，所以12MG AD ∥， 所以EF MG ∥，所以四边形EFMG 是平行四边形， 所以EG ∥FM ，又因为FM ⊂平面ACF ，EC ⊄平面ACF ，所以EG ∥平面ACF ． （2）取AB 的中点O ，连结FO ，OC ，因为AF ＝BF ＝BC ，∠ABC ＝60°，四边形ABCD 为菱形，所以FO ⊥AB ，OC ⊥AB ， 因为平面ABF ⊥平面ABCD ，所以FO ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设AF ＝BF ＝BC ＝2EF ＝2．则A （－1，0，0），C （00），F （0，0，E （12-），AC ＝（1，0），FC =，1(2EC =，设n ＝（x ，y ，z ）是平面ACF 的一个法向量，则00n AC n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，0x ⎧+=⎪=， 令y ＝z ＝1，则x =n＝（，1，1）， 设直线EC 与平面ACF 所成角为α， 则||15sin |cos ,|||||EC nEC n EC n α⋅===， 所以直线EC 与平面ACF 19．解：（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数x ＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70； 样本方差s 2＝（45－70）2×0.05＋（55－70）2×0.18＋（65－70）2×0.28＋（75－70）2×0.26＋（85－70）2×0.17＋（95－70）2×0.06＝161；（2）（i ）由（1）可知，70μ=，2161σ=，故评估成绩Z 服从正态分布N （70，161）， 所以()()10.682682.70.15872P Z P Z μσ->=>+==． 在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有2000×0.1587≈317人． （ii ）李华可以选择A 公司的甲岗位，B 公司的甲、乙岗位，C 公司的三个岗位． 理由如下：设B 、C 公司提供的工资为X B ，X C ，则X B ，X C 都为随机变量，其分布列为则B 公司的工资期望：E （X B ）＝9800×0.3＋7200×0.3＋5400×0.4＝7260（元）， C 公司的工资期望：E （X C ）＝10000×0.3＋6000×0.3＋5000×0.4＝6800（元）， 因为A 公司的甲岗位工资9600元大于B 、C 公司的工资期望，乙岗位工资6400元小于B 、C 公司的工资期望，故李华先去A 公司面试，若A 公司给予甲岗位就接受，否则去B 公司；B 公司甲、乙岗位工资都高于C 公司的工资期望，故B 公司提供甲、乙岗位就接受，否则去C 公司；在C 公司可以依次接受甲、乙、丙三种岗位中的一种岗位．20．（1）证明：联立24y kx b x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得，x 2－4kx －4b ＝0，△＝16k 2＋16b ＞0，即k 2＋b ＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由韦达定理得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 因为|AF|＋|BF|＝4，由抛物线定义得y 1＋1＋y 2＋1＝4，得y 1＋y 2＝2， 所以AB 的中点坐标为T （2k ，1），所以311'02k k k-==--， 所以k·k'＝－1．（2）由（1）得|x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝16（k 2＋b ），12AB x=-=设点M 到直线l 距离为d， 则d =而由（1）知，y 1＋y 2＝kx 1＋b ＋kx 2＋b ＝k （x 1＋x 2）＋2b ＝4k 2＋2b ＝2， 即2k 2＋b ＝1，即b ＝1－2k 2， 由△＝16k 2＋16b ＞0，得0＜k 2＜1，所以1122ABMSAB d =⨯⨯=⨯=令t ＝k 2，0＜t ＜1，f （t ）＝（1＋t ）2（1－t ）＝1＋t －t 2－t 3，0＜t ＜1， f'（t ）＝1－2t －3t 2＝（t ＋1）（－3t ＋1），103t <<时，f'（t ）＞0，f （t ）为增函数；113t <<时，f'（t ）＜0，f （t ）为减函数； 当13t =，()max 3227f t =，所以，S △ABM 的最大值为9． 21．解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，＋∞）()()()211'10x x x x e a a f x x e x x--+-=+-=≥在（1，＋∞）恒成立，设h （x ）＝（x ＋x 2）e x －1－a ，由题意h （x ）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x ）＝e x －1（x 2＋3x ＋1）， 当x ∈（1，＋∞）时，x 2＋3x ＋1＞0，故h'（x ）＞0，h （x ）在（1，＋∞）单调递增，所以h （x ）＞h （1）＝2－a ，故2－a≥0，a≤2，综上a ∈（－∞，2]．（2）当a ＝0时，f （x ）＝xe x －1，g （x ）＝e x －x 2－x ，g'（x ）＝e x －2x －1，设m （x ）＝e x －2x －1，则m'（x ）＝e x －2，令m'（x ）＝0，解得x ＝ln2，当x ∈（0，ln2）时，m'（x ）＜0，m （x ）单调递减，当x ∈（ln2，＋∞）时，m'（x ）＞0，m （x ）单调递增．因此m （x ）≥m （ln2）＝e ln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，g'（0）＝0，又11ln 2211'1ln 221ln 213ln 2022g e +⎛⎫⎛⎫+=-+-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故存在x 0∈（ln2，11ln 22+），使g'（x 0）＝0，即00210x e x --=，0021x e x =+． 当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减，x ∈（x 0，＋∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）单调递增，()()022220000000001521124x g x g x e x x x x x x x x ⎛⎫≥=--=+--=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于x 0∈（ln2，11ln 22+）， 函数015()24y x =--+单调递减，故()222015115ln 2ln 21ln 212422422g x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥--+>-+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，当x ＞0时，()2ln 2ln 2122f x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．22．解：（1）因为直线l的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ， 得曲线C 的普通方程为2213x y +=． （2）设Nα，sinα），α∈[0，2π）．点M的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则1cos 1,sin 1)22P αα-+． 所以点P 到直线l的距离π1|sin()6||cos sin 6|2d ααα-+--==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 23．解：（1）由|ax －2|≤4得－4≤a x －2≤4，即－2≤ax≤6，当a ＞0时，26x a a -≤≤，所以2266a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1； 当a ＜0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解． 所以实数a 的值为1．（2）由已知g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋3）＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx≤2即g （x ）≤tx ＋2，由题意知y ＝g （x ）的图象有一部分在直线y ＝tx ＋2的下方，作出对应图象由图得，当t ＜0时，t≤k AM ；当t ＞0时，t≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =，所以t≤－1或12t ≥，即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）．。