2020云大附中三模数学试卷

2023年云南省（新中考）初中学业水平模拟考试数学试题卷（三）（全卷三个大题，共24个小题，共6页；满分100分；考试用时120分钟）注意事项：1.本卷为试题卷。

考生必须在答题卡上解题作答。

答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷，草稿纸上作答无效。

2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共12题，每题3分，共36分）1．下列图标是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%（9400万美元）．其中1560000000用科学记数法表示为（）A ．1.56×109B ．1.56×108C ．15.6×108D ．0.156×10103．下列计算正确的是（）A ．235a a a +=B ．32a a a÷=C ．326326a a a ⋅=D ．()2224a a =++4．学校为了培养学生的践行精神和吃苦品质，每学期以班级为单位申报校内志愿者活动．2020年秋季学期某班40名学生参与志愿者活动情况如下表，则他们参与次数的众数和中位数分别是（）参与次数12345人数6171421A ．2，2B ．17，2C ．17，1D ．2，35．如图，直线//b a ，直线c 与直线a ，b 分别交于点A ，点B ，AC AB ⊥于点A ，交直线b 于点C ．如果134∠=︒，那么2∠的度数为（）A ．34︒B ．56︒C ．66︒D ．146︒6．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（）A ．360︒B ．540︒C ．720︒D ．900︒7．抛物线2y x =向右平移2个单位，向下平移1个单位，所得函数的解析式为（）A ．221y x x =--B ．221y x x =-+C ．243y x x =+-D ．243y x x =-+8．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB +BC ＝9cm ，则AB 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 9．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A ．48πB ．57πC ．24πD ．33π10．如图，已知AB ＝AC ，AB ＝6，BC ＝4，分别以A 、B 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则△BDC 的周长为（）A ．15B ．13C ．11D ．1011．下列说法正确的个数是（）①2-的相反数是2②各边都相等的多边形叫正多边形③了解一沓钞票中有没有假钞，应采用普查的形式④一个多边形的内角和为720°，则这个多边形是六边形⑤在平面直角坐标系中，点()1,3A -关于原点对称的点的坐标是()1,3--⑥174A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．从－3，－1，23，1，2这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组()137520x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，且使关于x 的一元一次方程35ax x +=-有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（）A ．－2B ．12-C ．－3D ．12二、填空题（共4题，每题2分，共8分）13．函数21y x =+中，自变量x 的取值范围是_____．14．如图，90C D ∠=∠=︒，3AC =，4EC =，4=AD ，则AB =______．15．因式分解：23xy x -=______．16．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，根据题意列出正确的方程是_______________________．三、解答题(共8题，共56分)17．（6分）计算：212sin 6022-⎛⎫︒++ ⎪⎝⎭18.（6分）已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，,AC CE ACD B =∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数7.47.4中位数a b众数7c合格率85%90%根据以上值息，解答下列问题：（1）填空a＝；b＝；c＝．（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生整体成绩谁更优异．为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A ，B ，C ，D 四类分别装袋、投放，其中A 类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料、废纸等可回收物，D 类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．（1）小明投放的垃圾恰好是C 类的概率是；（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．21．（7分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，过点D 作DE BC ⊥于E ，延长CB 到点F ，使BF CE =，连接AF ，OF .（1）求证：四边形AFED 是矩形；（2）若7AD =，2BE =，45ABF ∠=︒，试求OF 的长.如图，O 是Rt ABC △的外接圆，90ACB ∠=︒，点E 是弧BC 的中点，过点E 作ED AC ⊥，交AC 的延长线于点D ，连接AE 交BC 于点F ．（1）判断ED 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若cos ∠D ，BF =15，求AE 的长．23.（8分）习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在春节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖．该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知；2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；5辆大货车与7辆小货车一次可以满载运输1450件．（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？（2）计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过46000元．请你指出共有几种运输方案，并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx﹣3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）．过点P作x轴的垂线交直线AB于点C．作PD⊥AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值．。

2020届三省三校（贵阳一中，云师大附中，南宁三中）高三12月联考数学（文）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ． 【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( )A B C ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14 B ．n =420，m =15 C ．n =540，m =18 D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n nm m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．22sin cos 0x x -≥的解集为( ) A ．[2,2],2k k k Z πππ+∈ B ．[,],2k k k Z πππ+∈, C ．[,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[,],44k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】利用三角函数线解不等式得解. 【详解】原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度大于或等于余弦线长度，故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=SS ( )A ．149B ．73 C ．32D ．2【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x-'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由PA ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面PAC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确； 由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题.9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( ) A ．4 B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =，c e a ===OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．11．对于不等式22x y m +≤的解(x ,y )，x ，y ∈R，都能使得不等式组24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩立，则m 的取值范围是( ) A． B ．16[0,]5C． D ．(0,2] 【答案】B【解析】首先由()0,0在区域内，可求得此时m=0,即可排除AD,当0m >时，表示圆在不等式表示的可行域内，进而利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出m 的取值范围. 【详解】当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)，为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ==，圆心到x y +=22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ．【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定参数的范围. 12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀) 【点睛】本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r|=1，|b r|=8，·()3a b a ⋅-=rrr，则向量a r与b r向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r向量的夹角.【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3．【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题. 14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a .【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理与运算能力.15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.82【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为22213-=312-=222822⨯⨯=． 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△则椭圆C 的方程为________.【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=2()a c -=，又12PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++， 0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围． 【答案】(1) π3B =．(2) 3132⎫+⎪⎪⎝⎭， 【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ；（2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +==⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2.(1)求该四棱锥P -ABCD 的表面积和体积； (2)求该四棱锥P -ABCD 内切球的表面积.【答案】(1) S ＝8＋2，，V ＝83(2) (24－2)π.【解析】(1) 四个侧面都是直角三角形，进而求出边长，即可求得侧面积，底面是正方形，二者相加即可求出表面积，PD ⊥平面ABCD ，故四棱锥的高为PD ，再由棱锥的体积公式求出体积；(2) 设内切球的半径为r ，球心为O ，根据等体积法求出内切球的半径，则由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，即可求得半径,进而求出内切球的表面积. 【详解】(1) 解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．又PD AD D ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴PA ⊥AB ，∴PA 2=，PB 23=， ∴22PAB S =V ，2PAD S =△，同理22PCB S =V ，2PCD S =△，4ABCD S =， ∴428S =四棱锥表面积， 1833P ABCD ABCD V S PD -=⋅=．S ＝8＋2，，V ＝83（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面PAB ，平面PAD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅△△△△正方形四棱锥表面积，∴2ABCD S PD r S ⋅==正方形四棱锥表面积∴24π(24πS r ==-内切球表面积.∴r ＝2，S ＝(24－)π. 【点睛】此题考查求锥体的表面积和内切球的表面积，考查通式通法，尤其是几何体内切球的大小通常用等体积法求其半径．20．已知函数2()(1)xf x k x e x =--，其中k ∈R ． (1)当k =－1时，求函数()f x 的单调区间；(2)当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值．【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， (2)2max ()(1)e k f x k k k =-- 【解析】(1) 首先求出()'fx ，再由()'0f x >求得单调递增区间，由()'0f x <，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x '=，结合k 的范围，可求得函数在20ln k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k ，的大小，即可求得最大值. 【详解】解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=， 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，． 令2()ln [12]g k k k k=-∈，，， 211()21102k g k k k⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()g k 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng k g k k=-<⇒<≤，故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D . (1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2) k >k <【解析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明； (2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，所以，121214x x k x x +==-，． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾，所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k >< 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ． 【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB率． 【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin θ=， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。

四川省2020版高考数学三模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，若(m+mi)6=-64i，则m等于（）A . -2B .C .D . 42. （2分） (2017高一上·宜昌期末) 已知集合M={x|﹣1≤x＜3，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A . {﹣1，0，2，3}B . {﹣1，0，1，2}C . {0，1，2}D . {0，1，2，3}3. （2分）用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）A . 增加项B . 增加和两项C . 增加和两项且减少一项D . 以上结论均错4. （2分） (2018高一上·南靖月考) 已知，且，函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二上·吉林月考) 已知数列前n项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:①数列必为等比数列；② 时，；③ ；④存在p，对任意的正整数，都有正确的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2018高三上·云南月考) 已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·铜梁月考) 已知向量和的夹角为 , ,则（）.A .B .C . 4D .8. （2分）已知一个容量为n的样本分成若干组，若某组的频数和频率分别是30和0.25，则n=（）A . 120B . 118C . 110D . 1009. （2分） (2018高二下·吴忠期中) 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A . 2＋πB . 2＋πC . 2＋(1＋)πD . 2＋π10. （2分） (2017高二上·张家口期末) 双曲线 =1的焦点到渐近线的距离为（）A . 1B .C . 2D .11. （2分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f[g（x）]=0有m个实数根，方程g[f（x）]=0有n个实数根，则m+n=（）A . 14B . 12C . 10D . 812. （2分）算法如图，若输入m="210,n=" 117，则输出的n为（）A . 2B . 3C . 7D . 11二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高三上·武汉月考) 曲线在点处的切线方程为________.14. （2分）(2020高二下·慈溪期末) 若有恒等式，则 ________；________.15. （1分）(2017·焦作模拟) 若实数x，y满足则的取值范围是________．16. （1分）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1 ，x2∈（，π），且x1≠x2 ，都有＜0．其中所有正确结论的序号是________三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）(2018·中山模拟) 如图所示,在四边形中, ,且．（1）求的面积;（2）若 ,求的长．18. （10分） (2019高一下·邢台月考) 在如图所示的几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19. （15分）(2020·合肥模拟) 为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为 .附：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证： .20. （10分） (2019高三上·岳阳月考) 设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，假设（其中为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值21. （10分）已知函数f（x）=lnx+a（1﹣），a∈R．（1）若a=﹣1，试求f（x）最小值；（2）若∀x≥1都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．22. （10分）(2017·林芝模拟) 已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．23. （10分） (2016高一下·岳阳期末) 已知函数，且．（1）求实数c的值；（2）解不等式．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2022-2023学年云南省部分名校高二下学期3月大联考数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}16,{Z36}M x x N x x =≤≤=∈<<∣∣M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}3,4{}4{}4,5,6{}4,5【答案】D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为，所以.{}{}4,5,16N M x x ==≤≤∣{}4,5M N ⋂=故选：D2．现有以下四个命題：①；②；③；④.23R,10x x ∀∈+≥4N,1x x ∀∈≥3Z,0x x ∃∈<2Q,3x x ∃∈=其中命题正确的是（ ）A ．①④B ．①②③C ．①③D ．②③【答案】C【分析】根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，由于对任意，都有，故命题“”是真命题；x ∈R 230x =≥23R,10x x ∀∈+≥对于②中，由于，当时，不成立，所以命题“”是假命题；0N ∈0x =41x ≥4,1N x x ∀∈≥对于③中，由于，当时，成立，所以命题“”是真命题；1Z -∈=1x -30x <3Z,0x ∃∈<对于④中，由于使成立的数只有23x =x =的平方等于3，所以命题“”是假命题.2Q,3x ∃∈=故选：C.3．高三（1）班8名女生百米比赛的成绩（单位：）分别为s 13.8，15.2，14.8，14，15.4，15.1，13.6，14.6，则所给数据的第25百分位数是（ ）A ．13.6B ．13.9C ．14.4D ．14.7【答案】B【分析】先将数据从小到大排序，计算，利用百分位数的计算方法，即可求解.825%2⨯=【详解】将8个数据从小到大排序，可得，13.6,13.8,14,14.6,14.8,15.1,15.2,15因为，所以数据的第25百分位数是.825%2⨯=13.81413.92+=故选：B.4．已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为31x y +=22()()1x m y n -+-=0mn >31m n +（ ）A ．7B ．8C ．9D ．12【答案】D【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.【详解】因为直线经过圆的圆心，31x y +=22()()1x m y n -+-=(),m n 故，31m n +=所以，()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当 ，即时，等号成立.9n m m n =132m n ==故选：D5．函数）()f x =A ．B ．C ．D ．π2π3π22π【答案】B【分析】化简函数的解析式为，结合最小正周期的计算公式，即可求解.()32sin2f x x=+【详解】因为，()32sin232sin2f x x x==+=+所以的最小正周期.()f x 2ππ2T ==故选：B.6．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）()212log 25y x ax a=-+[)2,+∞a A ．B ．C ．D ．(],2-∞[)2,+∞(]4,2-[]1,2-【答案】C【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可.【详解】令，对称轴为，()225f x x ax a=-+x a =因为函数是正实数集上的减函数，12log y x=所以要想函数在上为减函数，()212log 25y x ax a=-+[)2,+∞只需函数在上为增函数，且在上恒成立，()225f x x ax a=-+[)2,+∞()0f x >[)2,+∞所以，且，2a ≤()240f a =+>解得.42a -<≤故选：C7．已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为π（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】根据圆台的体积公式进行求解即可.【详解】设该圆台的高为，上､下底面圆的半径分别为.h ,r R 由圆台的体积公式，得，解得.()22π3V r R rR h =++()22π24856π3h ⨯++⨯=6h =故选：D8．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在赵爽弦图”中若，则（ ）2,,3AB a AD b CF CM===DM =A ．B ．12162525a b -16122525a b -C ．D ．461313a b - 641313a b - 【答案】C【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算，结合方程的思想求解作答.【详解】依题意，，而()()2222424233339393DM DN AN AD AN b AE b a BE b==-=-=-=+-，BE DM =- 因此，解得，()4293DM a DM b=--461313DM a b =-所以.461313DM a b=- 故选：C二、多选题9．已知复数，则下列说法正确的是（ ）3i1i z +=+A ．5z =B ．的虚部为-1z C ．在复平面内对应的点在第一象限z D ．的共轭复数为z 2i +【答案】BD【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、共轭复数、复数在复平面对应点的特征、复数模的运算公式逐一判断即可.【详解】因为，所以的虚部为的共轭复数为()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-z 1,z -在复平面内对应的点在第四象限.2i,z z +==故选：BD 10．已知点，且点在直线上，则（ ）()()3,1,1,3A B -P :10l x y -+=A ．存在点，使得P PA PB ⊥B ．存在点P C ．的最小值为PA PB+D ．的最大值为||||||PA PB -【答案】BCD【分析】根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可.【详解】对于，由的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为A AB AB==()2,1-AB ，而该圆心到直线的距离，故错误；22(2)(1)5x y -++=:10l xy -+=d >A 对于，设的方程为B (),P xy P，则圆心到直线的距=22(4)(3)15x y -+-=()4,3l离，故正确；d <B 对于，因为关于的对称点为，C ()3,1A 10x y -+=(),A a b '所以有，解得，即，1113311022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩0,4a b ==()0,4A '所以正确；对于三点共PA PB A B '+≥=C ,D PA PB AB -≤=,,A P B 线时，等号成立），故正确.D 故选：BCD 11．已知直线和圆，下列说法正确的是（ ）()():121230l m x m y m -+--+=22:(2)9C x y -+=A ．对任意，直线与圆相交R m ∈l C B ．存在，使得直线与圆相切R m ∈l C C ．存在，使得直线被圆截得的弦长为5R m ∈l C D ．对任意，圆上都存在四点到直线的距离为2R m ∈C l 【答案】AC【分析】先求得直线直线恒过点，根据点在圆内，可判定A 正确，B 错误；再利用l ()4,1P -P C 直线与圆的位置关系和弦长公式，可判定C 正确，D 错误.【详解】由直线，可得，()():121230l m x m y m -+--+=()2230m x y x y +---+=联立方程组，解得，即无论为何值，直线恒过点，因为点22030x y x y +-=⎧⎨--+=⎩4,1x y ==-m l ()4,1P -在圆内，故A 正确，B 错误；()4,1P -C 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为；l ()2,0C l 6当直线时，直线被圆截得的弦长最小，且最小值为，所以正确；l PC ⊥l 4==C 因为的半径为，PC =C 3R =所以当直线时，圆上只存在两点到直线的距离为，所以D 错误.l PC ⊥C l 2故选：AC12．已知为坐标原点，、分別为双曲线的左、右焦点，点在双O 1F 2F ()2222:10,0x y C a b a b -=>>P 曲线的右支上，下列说法正确的是（ ）C A ．当时，双曲线的离心率的取值范围是2POPF =e )+∞B ．的内心在直线上12PF F △x a =C ．若点到的两条浙近线的距离分别为、，则P C 1d 2d 1211d d +D ．当射线与双曲线的一条渐近线交于点时，2F P Q 122QF QF a-<【答案】BCD 【分析】对于A ，设点，可求得，求出的取值范围，可判断A 选项；利用切()00,P x y 02cx a =≥e 线长定理结合双曲线的定义求出内心的横坐标，可判断B 选项；求得，结合12PF F △221222a b d d a b =+基本不等式可判断C 选项；利用双曲线的定义结合三角形三边关系可判断D 选项.【详解】对于A ，设点，则，()00,P x y 0x a ≥由可得，可得，A 错；2PO PF ==2c x a =≥2c e a =≥对于B ，设的内心为，12PF F △I 设的内切圆切、、分别于点、、，12PF F △1PF 2PF 12F F D M N 由切线长定理可得，，，PD PM=11DF NF =22MF NF =所以，()()121212122a PF PF PD DF PM MF DF MF NF NF =-=+-+=-=-，，()()2N N Nx c c x x =+--=Nx a ∴=由圆的几何性质可知，轴，故，B 对；IN x ⊥IN x x a ==对于C ，设，双曲线的渐近线方程为，且有，即()00,P x y C 0bx ay ±=2200221x y a b -=，22222200b xa y ab -=所以，，1d 2d 22222200122222b xa y ab d da b a b -==++所以，，1211d d +≥==当且仅当时，即当时，等号成立，C 对；12d d =00y =对于D ，若，则12QF QF >()121212QF QF QF QF QF QP PF -=-=-+，()12122QF QP PF PF PF a=--<-=若，设交双曲线的左支于点，12QF QF <1Q F H 则()()12212121QF QF QF QF QF QH HF QF QH HF -=-=-+=--，212HF HF a<-=若，即当点与原点重合时，，12QF QF =Q O 1202QF QF a-=<综上所述，，D 对.122QF QF a-<故选：BCD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题13．如图，在正方体中，分别为的中点，若，1111ABCD A B C D -,E F 1,AB DD 1EF xDA yDC zDD =++ 则__________.x y z ++=【答案】1-【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.【详解】因为，11122EF EA AD DF DA DC DD =++=--+ 所以所以.111,,,22x y z =-=-=111122x y z ++=--+=-故答案为:.1-14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________.2ln y x x =+()1,2()233y x a x =+++=a 【答案】4±【分析】根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判断别式进行求解即可.【详解】因为，()'12ln 2x x x +=+所以曲线在点处的切线斜率为3，2ln y x x =+()1,2则所求的切线方程为，即.()231y x -=-31y x =-因为直线与抛物线相切，联立方程组消去，得31y x =-()233y x a x =+++()233,31,y x a x y x ⎧=+++⎨=-⎩x ，240x ax ++=所以，解得.2Δ160a =-=4a =±故答案为：4±15．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到O 2:8C x y =F l C ,A B AB 轴的距离为3，则的最大值为__________.x AB 【答案】10【分析】根据抛物线的性质，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.【详解】由题意知，抛物线的准线方程为.设的中点为，分别过点作()0,2F C =2y -AB M ,,A B M 准线的垂线，垂足分别为.因为到轴的距离为2，所以.,,C D N M x 325MN =+=由抛物线的定义知，所以.,AC AF BD BF==210MN AC BD AF BF =+=+=因为，所以.AF BF AB +≥10AB ≤故答案为：1016．在数列中，，则使对任意的恒成立的{}n a *11*15N 31,N 3n n n n a a a n a +-⎧⎛⎫+∉ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩2023n a ≤()*N n k k ≤∈的最大值为__________.k 【答案】1211【分析】根据规律原数列分为三个等差数列，分别计算通项公式，得到三个不等式，分别解不等式得到，，，，，得到答案.12092021a =12102016a =12112021a =12122026a =12132021a =【详解】数列.将原数列分为三个等差数列：{}:1,6,11,6,11,16,11,16,21,n a ，通项为；1,6,11, {}52,31,N 3n n a n n n m m -=∈=+∈∣通项为；6,11,16, {}58,32,N 3n n a n n n m m +=∈=+∈∣通项为.11,16,21, {}518,33,N 3n n a n n n m m +=∈=+∈∣由，得；()531220233m +-≤1213404,2021m a ≤=由，得；()532820233m ++≤1211403,2021m a ≤=由，得.()5331820233m ++≤1209402,2021m a ≤=则，，，，，12092021a =12102016a =12112021a =12122026a =12132021a =所以满足对任意的恒成立的的最大值为1211.2023n a ≤()*Nn k k ≤∈k 故答案为：1211【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据数列的规律将数列分为三个等差数列分别求通项再解不等式是解题的关键.四、解答题17．已知是等差数列的前项和.n S {}n a n 34512,25a a S +==(1)求的通项公式；n a (2)设，求数列的前项和.()()1411n n n b a a +=++{}n b n nT【答案】(1)21n a n =-(2)1n n T n =+【分析】（1）根据题意求出数列的首项与公差即可得解；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）因为，所以，()155355252a a S a +===35a =又，所以，3412a a +=47a =设公差为，则，由，解得，d 752d =-=125a d +=11a =所以；21n a n =-（2）因为，21n a n =-所以，()()()()1441111122211n n n b a a n n n n n n +====-+++++所以.1211111111223111n n n T b b b n n n n =+++=-+-++-=-=+++ 18．的内角的对边分别为，已知.ABC ,,A B C ,,a b c 120B =(1)若的值；1,a b ==A (2)若，求周长的最大值.3b =ABC 【答案】(1)30(2)3+【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小；1sin 2A =A （2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，22()b a c ac =+-22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a c +进而求得周长的最大值.ABC 【详解】（1）解：由正弦定理知，解得，sin sin b aB A =1sin A =1sin 2A =因为为钝角，所以.B 30A =（2）解：由余弦定理得，2222222cos ()b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-又由，则，0,0a c >>22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以，222239()()()24a c a c ac a c a c +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭所以时，等号成立，即的最大值为a c +≤a c =a c+所以周长的最大值为ABC3+19．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段进行分组，制作成如图所示的[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]频率分布直方图.(1)体育成绩大于或等于80的学生被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，[60,70)[80,90)求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率.[80,90)【答案】(1)450(2)35【分析】(1)利用频率分步直方图求出体育成绩大于或等于80的学生所占的频率，即可求出结果.(2) 利用频率分步直方图分别求出成绩在和的人数，用列举法求基本事件和事件[)60,70[)80,90的个数，再利用古典概率公式即可求出结果.A 【详解】（1）因为体育成绩大于或等于80的学生所占的频率为，()0.00750.0375100.45+⨯=所以估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数为.10000.45450⨯=（2）因为体育成绩在的样本中的学生数为，记为，体育成绩在[)60,700.00510402⨯⨯=,A B 的样本中的学生数为，记为，[)80,900.007510403⨯⨯=,,c d e 在以上5人中随机抽取2人，有，共10种情形，,,,,,,,,,AB Ac Ad Ae Bc Bd Be cd ce de 恰有1人体育成绩在的有，共6种情形，[)80,90,,,,,Ac Ad Ae Bc Bd Be 故所求概率为.63105P ==20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥,1,ABCD AB BC E ==分别是的中点.F ,PD BC(1)证明：平面；CE //PAF (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.PB ABCD 45PAF PEF 【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取的中点，连接，证明，再利用线面平行的判定推理作答.PA G ,EG FG //CE FG （2）利用给定条件求出，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.PA 【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点，则，且，PA G ,EG FG E PD //EG AD 12E G A D =又是矩形的边的中点，即有，且，F ABCD BC //FC AD 12FC AD=于是，且，即四边形是平行四边形，，//EG FC EG FC =EGFC //CE FG 因为平面平面，CE ⊄,PAF FG ⊂PAF 所以平面.CE //PAF （2）因为直线与平面所成的角为，且平面，PB ABCD 45PA ⊥ABCD 则就是直线与平面所成的角，即，于是1，PBA ∠PB ABCD 45PBA ∠=PA AB ==以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如A ,,AB AD APx y z图：，1(0,0,1),(0,0,1)2P F D E AF AP ==，11,1,0,2PF EF ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭设平面的法向量为，则，令，得，PAF ()1111,,n x y z =1111100n AP z n AF x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩11x=1(1,n = 设平面的法向量为，则，令，得，PEF ()2222,,n x y z =22222221020n EF x z n PF x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ 21x=()22n = 因此121212cos ,||||n n n n n n ⋅〈〉==所以平面与平面PAF PEF 21．已知分别是椭圆的左､右焦点，Q 是椭圆E 的右顶点，，且12,F F 22221(0)x y E a b a b +=>>：21F Q =椭圆E的离心率为.12(1)求椭圆E 的方程.(2)过的直线交椭圆E 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使得，1F 1PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭为正实数.如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由.λ【答案】(1)22143x y +=(2)存在，点(4,0)P -【分析】（1）设椭圆E 的半焦距为c ，写出点坐标，根据条件计算的值，结合2,F Q ,a c 求出，可写出椭圆方程；（2）由条件可知是的平分线，即，设222+=a b c b 1PF APB ∠0PA PB k k +=出直线AB 的方程，联立椭圆和直线方程，计算可求出点坐标.0PA PB k k +=P 【详解】（1）（1）设椭圆E 的半焦距为c ，则，因为，2(,0),(,0)F c Q a 21F Q =所以.1a c -=又因为椭圆E的离心率为，所以，1212c a =联立方程组，解得112a c c a -=⎧⎪⎨=⎪⎩2,1,a c =⎧⎨=⎩所以，2413b =-=椭圆E 的方程为.22143x y +=（2）设存在点，使得，则是的平分线，(,0)P t 1||||PA PB PF PA PB λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1PF APB ∠所以.显然当时一定成立.0PA PB k k +=0AB k =当时，设AB 的方程为，与椭圆E 的方程联立消去x ，得0ABk ≠1x my =-22143x y +=.()2234690my my +--=设，则，.()()1122,,,A x y B x y 122634m y y m +=+122934y y m =-+因为，所以，12120PA PB y yk k x t x t +=+=--()()12210y x t y x t -+-=即，所以，()()1221110y my t y my t --+--=()12122(1)0my y t y y -++=所以，2296(1)203434m t m m m +-⨯-=++即，即，所以对一切实数m 都成立.()18610m t m --+=()40m t +=4t =-故存在点，使得成立.(4,0)P -1||||PA PB PF PA PB λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22．已知函数.()2ln f x x x a x=+-(1)当时，求的最值；1a =()f x (2)当时，恒成立.求实数的取值范围.1x >()1f x x >+a 【答案】(1)最小值为，无最大值3ln24+(2)(],2-∞【分析】（1）当时，求得，结合和，求得的单1a =()()()211x x f x x-+'=()0f x ¢>()0f x '<()f x 调区间，进而求得函数的最值；()f x （2）根据题意转化为时，恒成立，令，求得1x >2ln 10x a x -->()2ln 1(0)g x x a x x =-->，当时，得到在上是增函数，且，得到恒成()22x a g x x ='-0a ≤()g x ()0,∞+()10g =()1f x x >+立；当时，利用导数求得的单调性，再分和，两种情况讨论，结合单调性0a >()g x 02a <≤2a >与最值，即可求解.【详解】（1）解：当时，，可得，1a =()2ln (0)f x x x x x =+->()()()211121x x f x x x x ='-+=+-令，解得；令，解得，()0f x ¢>12x >()0f x '<102x <<所以函数在上单调递减，在上单调递增，()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以函数的最小值为，无最大值.()f x 13ln224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）解：当时，可化为，1x >()1f x x >+2ln 10x x a x x +--->即当时，恒成立，1x >2ln 10x a x -->令，则.()2ln 1(0)g x x a x x =-->()222a x ag x x x x ='-=-当时，，则在上是增函数，且，0a ≤()0g x '>()g x ()0,∞+()10g =所以当时，恒成立，即恒成立；1x >()0g x >()1f x x >+当时，令，即，解得0a >()0(0)g x x ='>220x a x -=x =所以在上单调递减，在上单调递增.()g x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭①当，在上单调递增，02a <≤1≤()g x ()1,+∞由，即恒成立；()()10g x g >=()1f x x >+②当，在上单调递减，在上单调递增，2a >1>()g x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭所以当时，，x ⎛∈ ⎝()(1)0g x g <=所以不恒成立.()1f x x >+综上可得，实数的取值范围为.a (],2-∞【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。