2017～2018学年春季学期南宁八中高一年级期末考试数学试题（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式直接化简即可.【详解】，故选：A【点睛】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．2.在四边形ABCD中，,则四边形ABCD是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得解.【详解】∵在四边形ABCD中，若，且共起点∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选：D．【点睛】题考查向量的加法．共起点的两个向量相加时满足平行四边形法则；首尾相接的两个向量相加时满足三角形法则；多个向量相加时满足多边形法则．属简单题3.153和119的最大公约数是（）A. 153B. 119C. 34D. 17【答案】D【解析】【分析】利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是1，余数是34，用119除以34，得到商是3，余数是17，…，直到余数为0，从而得出两个数字的最大公约数是17．【详解】∵153÷119=1…34，119÷34=3…17，34÷17=2，∴153与119的最大公约数是17．故选：D．【点睛】本题主要考查了用辗转相除法求两个数的最大公约数的运用，属于基础题，解答此题的关键是熟练的掌握辗转相除求最大公约数的方法．4.已知（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角基本关系得到，再利用诱导公式化简所求即可.【详解】∵∴∴故选：C【点睛】本题考查了同角基本关系式及诱导公式，考查了计算能力，属于基础题.5.某单位有老年人28 人，中年人56人，青年人84人，为了调查他们的身体状况的某项指标需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是（）A. 6，12，18B. 7，11，19C. 6，13，17D. 7，12，17【答案】A【解析】试题分析：利用分层抽样，先求出抽样比，再计算老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数．解：∵单位有老年人28人，中年人56人，青年人84人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，每个人被抽到的概率为=∴利用分层抽样方法得到：老年人应抽取的人数为：×28=6人，中年人应抽取的人数为：×56=12人，青年人应抽取的人数为：×84=18人．故选：A．考点：分层抽样方法．6.在进制中，十进制数记为，则等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【详解】由题意可得：3×k2+1×k+5 =119整理可得：3k2+k﹣114=0即有：（3k+19）（k﹣6）=0,又k＞0从而解得：k=6故选：C．【点睛】本题主要考察了进制数之间的互化，属于基本知识的考查．7.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（）A. B. π C. 2π D. 3π【答案】D【解析】试题分析：设阴影部分的面积为，圆的面积，由几何概型的概率计算公式得，得.考点：几何概型的概率计算公式.8.下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数是奇函数但周期是，故答案A错误。
2017-2018学年新疆哈密二中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）=（）1．在△ABC中，，则S△ABCA． B．C．D．2．不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是（）A．{}B．{} C．{}D．{}3．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（）A．B．C．﹣D．﹣4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b36．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣107．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=6，则S5等于（）A．10 B．12 C．15 D．309．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A． B．C．D．10．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形11．已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足=λ（+）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心12．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A6则的值组成的集合为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．14．已知数列2，，，，，…，则是该数列中的第项．15．不等式≥0的解集为．16．如图，E、F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=二、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．18．已知函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间上是否为增函数？并说明理由．19．已知函数（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．20．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．21．已知函数f（x）=2cos2+cos（ωx+），（其中ω＞0的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=﹣，c=3，△ABC的面积为6，求△ABC的外接圆面积．22．已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．2017-2018学年新疆哈密二中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）=（）1．在△ABC中，，则S△ABCA． B．C．D．【考点】正弦定理的应用．=，即可求得结论．【分析】利用三角形的面积公式S△ABC【解答】解：∵，===∴S△ABC故选D．2．不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是（）A．{}B．{} C．{}D．{}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】原不等式﹣6x2﹣x+2≤0可化为6x2+x﹣2≥0，解得或x，可得答案．【解答】解：不等式﹣6x2﹣x+2≤0可化为6x2+x﹣2≥0，即（2x﹣1）（3x+2）≥0，解得或x故选B3．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值．【解答】解：∵θ为第四象限的角，cosθ=，∴sinθ=﹣=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣，故选：D．4．已知=（1，2），=（﹣2，4），且k+与垂直，则k=（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得，的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到k的值．【解答】解：=（1，2），=（﹣2，4），可得•=﹣2+8=6，||==2，由k+与垂直，可得（k+）•=0，k•+2=0，即有6k+20=0，解得k=﹣．故选B．5．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】不等关系与不等式．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．6．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．7．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．【解答】解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=6，则S5等于（）A．10 B．12 C．15 D．30【考点】等差数列的性质．【分析】先根据等差数列的性质可知a2+a4=a1+a5，代入等差数列的求和公式中求得答案．【解答】解：a2+a4=a1+a5=6∴S5===15故选C9．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x=对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A． B．C．D．【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可．【解答】解：对于y=f（x）=sin（2x﹣），其周期T==π，f（）=sin=1为最大值，故其图象关于x=对称，由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，∴y=f（x）=sin（2x﹣）在上是增函数，即y=f（x）=sin（2x﹣）具有性质①②③，故选：A．10．在△ABC中，若=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵cosB=，cosA=，∴a 2+c 2﹣b 2=2ac •cosB ，b 2+c 2﹣a 2=2bc •cosA ，∴===，又=，∴==，即sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A=2B 或2A +2B=180°，即A=B 或A +B=90°， 则△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 故选D11．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且满足=λ（+）（λ∈R ），则直线AP 必经过△ABC 的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．垂心 D ．外心【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得•=0，从而得到结论．【解答】解：∵=λ（+），两边同乘以向量，得•=λ（+）•=λ（+）=λ（+）=λ（﹣||+||）=0．∴⊥，即点P 在在BC 边的高线上， ∴P 的轨迹过△ABC 的垂心． 故选：C12．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A 1，A 2，A 3，…A 6则的值组成的集合为（ ）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．【解答】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1， }．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．14．已知数列2，，，，，…，则是该数列中的第14项．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据数列的特点写出数列的通项公式即可．【解答】解：数列2，，，，，…，可化为：，，…，数列的第n项为：，故是第14项．故答案为：14．15．不等式≥0的解集为[﹣3，﹣2）∪[1，3）．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式等价变形，然后分解为几个一次因式积的形式，利用穿根法求不等式的解集．【解答】解：原不等式等价变形为，利用穿根法如图，得到不等式的解集为[﹣3，﹣2）∪[1，3）；故答案为：[﹣3，﹣2）∪[1，3）．16．如图，E、F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由题意及图形，并有等腰直角可以设直角边长为3，则写斜边长为3，利用E、F是等腰直角△ABC斜边上的三等分点及余弦定理就可求出CE，CF的长度，在△CEF中利用余弦定理求出即可．【解答】解：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为3，又由于E，F为三等分点，所以AE=EF=BF=，又△ACE≌△BCF，在△ACE中有余弦定理得：CE2=AC2+AE2﹣2AC•AEcos45°⇒CE==CF，在△CEF中，利用余弦定理得：cos∠ECF==，在△ECF中利用同角间的三角函数关系可知：tan∠ECF=．故答案为：．二、解答题（17题10分，其它各题每题12分，共70分）17．已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；﹣b n是否是一个常数即可（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得q2+q﹣6=0，解得q=2，舍去q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．18．已知函数f（x）=1﹣2sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间上是否为增函数？并说明理由．【考点】二倍角的余弦；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=sin2x，从而可求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由，解得，当k=0时，知f（x）在区间上单调递增，从而得解．【解答】解：（本小题满分13分）（Ⅰ）因为=…=sin2x，…所以函数f（x）的最小正周期．…（Ⅱ）结论：函数f（x）在区间上是增函数．…理由如下：由，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）．…当k=0时，知f（x）在区间上单调递增，所以函数f（x）在区间上是增函数．…19．已知函数（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1﹣a）的值；（2）求的值．【考点】指数函数综合题．【分析】（1）根据函数的表达式，直接进行求值即可．（2）利用f（a）+f（1﹣a）=1，然后计算即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数，∴f（a）+f（1﹣a）=．（2）∵f（a）+f（1﹣a）=1，∴=．20．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=64，b3S3=960．（1）求a n与b n；（2）求和：．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题设条件建立方程组，解这个方程组得到d和q的值，从而求出a n与b n．（2）由S n=n（n+2），知，由此可求出的值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①解得，或（舍去）故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴===21．已知函数f（x）=2cos2+cos（ωx+），（其中ω＞0的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=﹣，c=3，△ABC的面积为6，求△ABC的外接圆面积．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期，求出ω，然后求出函数的单调减区间．（Ⅱ）利用第一问的结果，求出锐角三角形的角A，通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径，然后求解外接圆的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f（x）=1+cosωx+cosωx﹣sinωx=1+cosωx﹣sinωx=1﹣sin（ωx﹣），于是有=2．∴函数f（x）的单调递减区间[k]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）以及已知可得，即sin（2A﹣）=，所以A=，△ABC的外接圆的半径为，△ABC的外接圆的面积为．22．已知点（x，y）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列； （Ⅱ）求数列{S n }的前n 项和T n ．【考点】简单线性规划；等比关系的确定；数列的求和． 【分析】（I ）根据线性规划原理，可得z 的最大值z n =2n ，从而得到S n =2n ﹣a n ．运用数列前n 项和S n 与a n 的关系，算出2a n =a n ﹣1+2，由此代入数列{a n ﹣2}再化简整理，即可得到{a n﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（II ）由（I ）结合等比数列通项公式，得出a n =2﹣（）n ﹣1，从而得到S n =2n ﹣2+（）n﹣1，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可算出{S n }的前n 项和T n 的表达式． 【解答】解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l ：z=x +y ，区域，（n ∈N *）表示以x 轴、y 轴和直线x +2y=2n 为三边的三角形，∴当x=2n ，y=0时，z 的最大值z n =2n ∵（S n ，a n ）在直线z n =x +y 上 ∴z n =S n +a n ，可得S n =2n ﹣a n ，当n ≥2时，可得a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n ﹣a n ）﹣[2（n ﹣1）﹣a n ﹣1] 化简整理，得2a n =a n ﹣1+2因此，a n ﹣2=（a n ﹣1+2）﹣2=（a n ﹣1﹣2） 当n=1时，a n ﹣2=a 1﹣2=﹣1∴数列{a n ﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（Ⅱ）由（I ）得a n ﹣2=﹣（）n ﹣1，∴a n =2﹣（）n ﹣1，可得S n =2n ﹣a n =2n ﹣2+（）n ﹣1， ∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n }的前n 项和T n =，（n ∈N *）．2018年10月25日。
