2018学年杭二中高一上学期期末数学试卷

杭州二中 2018 学年第一学期高一年级期末考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1. cos 600︒ = （ ）A. 12B. -12C.D.2.集合 A = {- 1，0，1}，B = {y y = sin x , x ∈ R }，则A. A ⋂ B = BB. A ⋃ B = BC. A = BD. C R A = B3.下列函数在 (0，+ ∞)上单调递增的是（） A. f ( x ) = x 3 - x 2 B. f ( x ) = tan x C. f ( x ) = ln x - x D. f ( x ) =1x x +4.将函数 y = sin(2 x +3π) 的图像向右平移6π个单位后，横坐标不变，纵坐标变成原来的 2倍，则所得函数的解析式为（ ）A. y = 2 cos 2 xB. y = 2 s in(2 x +6π) C. y = 12sin 2 x D. y = 2 s in 2 x 5.已知向量a , b 满足1,2a b == ，且a , b 的夹角为150 ，则向量 a 在向量 b的投影为（）B.D. 6.已知函数 f ( x ) =1x ++1x -, 若 f (a ) = f (b ) ，则下列一定不正确的是（）A. ab > 1(a ≠ b )B. a + b = 0C. (1 - a ) (1 - b ) > 0D. a = b7.已知[0,]2πθ∈，若θ满足不等式33cos sin cos lnsin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（） A. [,)42ππ B. (0,]4π C. [,]43ππ D. [,]42ππ8.函数 f ( x) = ln(1- 2 sin(3π-2 x )的单调递减区间是（ ） A 5(,)1212k k ππππ-+, k ∈ Z B. 711(,)1212k k ππππ++, k ∈ Z C. [,)124k k ππππ-+, k ∈ Z D. 511(,)1212k k ππππ++, k ∈ Z 9.如图，四边形 ABCD 满足2,1AB CD ==，M , N 分别是 BC , AD 的中点， BA , C D 的 延长线与 MN 的延长线相交于 P , Q 两点，PQ AB = PQ DC + 3, PQ = λMN ,则实数λ的值是（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. -110.定义M1 是函数f (x) =e x -e的零点，M2 =log4 27·log81 25·log625 8 ，M 3= | sin x2 |(x≠0) ，则有（）A. M2 <M1 <M3B. M1 <M2 <M3C. M3 <M2 <M1D. M2 <M3 <M1二、填空题(本大题有7 小题，每小题4 分，共28 分)11.已知向量OA=(-1,3) ，OB=(1,2) ，OC=(2,-5) ，若G 是∆ABC 的重心，则OG的坐标是12.函数y =sin12sinxx--的值域是.13.设平面向量a ，b 满足2a +b =(3,3) ，a - 2b =(-1,4) ，若a ，b 的夹角为θ，则cosθ=14.函数tan,0()2sin,0x xf xa x xππ⎧--<<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若函数g (x)=f (f (x))恰有3 个不同的零点，则实数a的取值集合为15.边长为2 的等边三角形ABC 所在的平面上有点O，若0OA OB =，则OA OC的取值范围是16.定义函数f (x )=13sin4x +14 cos4x ，若f(θ)=17，则tanθ=17. 关于x 的不等式x2 -a x+ 4 < 0 的解集中仅含有4 个不同的整数，则实数a 的取值范围是.三、解答题18. (本题满分 10 分)已知向量a , b 的夹角为 60︒ ，且1,2a b ==（1）在指定的位置用尺规作出向量 2a -12b （2）求a -b 与 2a +b 的夹角的余弦值；（3）求b a λ- (λ∈ R ) 的最小值.19. (本题满分 10 分) 定义函数 f ( x ) = 3 s in(2 x -3π)（1）求函数 y =()f x 的最小正周期；（2）将函数 y = f ( x ) 的图像向左平移ϕ(ϕ> 0) 个单位得到 y = g ( x ) 的图像关于 y 轴对 称，求ϕ的最小值；（3）判断方程()f x = log 2x 的根的个数（不需要写出解答过程）20. 定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足： f ⎣⎡ f ( x ) - x x ⎦⎤ = 0 .（1）求证： f ( x ) = x x ；（2）若 f (sin θ) + f θ)< 0 ，求θ的取值范围； （3）对任意的 x ≥ 1有不等式 f ( x + m ) + mf ( x ) < 0 恒成立，求实数 m 的取值范围.21. 定义函数f (x)=ax2 +bx +a .（1）若方程f (x)=x 有唯一的根，求a,b 满足的关系式；（2）若a =1,b=-3，求函数g (x)=x（3）若对任意的x∈不等式0 ≤ f (x)≤4x恒成立，求实数a +b 的取值范围.。

2018-2019学年浙江省杭州市第二中学（东河校区）高一上学期期末数学试题一、单选题1．设OA a =，OB b =，则AB 为（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】C【解析】根据向量减法的运算，判断出正确选项. 【详解】依题意AB OB OA b a =-=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量减法运算，属于基础题.2．若A ＝{x |0＜x ，B ＝{x |1≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |0＜x ＜2}B ．{|1x x ≤C ．{|0x x ＜D ．{x |x ≥2}【答案】B【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组成，故{|1A B x x ⋂=≤<.故选：B 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 3．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限； 当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限； 所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k 为偶数和k 为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4．163sin π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【解析】利用诱导公式化简求得表达式的值. 【详解】依题意16π2π2πsin sin 6πsin 333⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 【点睛】本小题主要考查诱导公式化简求值，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（ ） A ．y ＝﹣x 2 B ．y ＝log 2xC ．12y x =D ．y ＝|x |【答案】D【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在[)0,+∞上的单调性，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，2y x =-为偶函数，在[)0,+∞上递减，不符合题意. 对于B 选项，2log y x =为非奇非偶函数，不符合题意. 对于C 选项，12y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于D 选项，y x =为偶函数，且在[)0,+∞上递增，符合题意. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 6．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 【答案】B【解析】依题意可得，函数sin(2)6y x π=+作相应平移后得到函数sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选B7．函数f （x ）=x –3+e x的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞）【答案】A【解析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解. 【详解】()()020,120f f e =-<=->, ()330f e =>,()4410f e =+>,所以函数()f x 在区间()0,1上有零点. 故选A. 【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.8．设a ，b 为两个非零向量，且a =（x 1，y 1）b =（x 2，y 2），则下列四个等式： （1）a •b =0； （2）x 1x 2+y 1y 2＝0；（3）|a b +|＝|a b -|； （4）()222a b a b-=-.其中与a b ⊥等价的等式个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据两个向量垂直的向量表示形式、向量模的运算、数量积的运算对四个等式逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】两个向量垂直121200a b x x y y ⇔⋅=⇔+=，故（1）（2）符合题意.对于（3），由a b a b +=-两边平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得0a b ⋅=，与a b ⊥等价，符合题意.对于（4），由()222a b a b -=-得22222a b a a b b -=-⋅+，()20b a b b b a -⋅=⋅-=，不能推出a b ⊥，不符合题意.综上所述，其中与a b ⊥等价的等式个数为3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表现形式，属于基础题.9．如图，正方形ABP 7P 5的边长为2，P 1，P 4，P 6，P 2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P 1P 6与P 2P 4相交于点P 3，则i AB AP ⋅（i ＝1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】求得所有i AB AP ⋅的值，由此取得不同值的个数. 【详解】1AB AP ⋅=212⨯=, 2AB AP ⋅=0,3AB AP ⋅=π2cos 24=, 4AB AP ⋅=()224224AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0224=+⨯=,5AB AP ⋅=0, 6AB AP ⋅=()556556AP P P AB AB AB AP P P ⋅+=⋅+⋅0212=+⨯=, 7AB AP ⋅=π2cos44⨯=. 所以共有0,2,4三种不同的取值. 故选：C 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查平面向量加法运算，属于基础题.10．已知函数20,01()log ,()12,12x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x -=实根的个数为（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】对x 分类讨论：当01x <≤时，显然可知有一实根；当1x >时，方程可化为21log 22x x =-+或23log 22x x =--，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可． 【详解】当01x <≤时，()2log f x x =-，()0g x =，∴()()2log 1f x g x x -=-=有一实根12； 当1x >时，()2log f x x =，()122g x x =--，∴()()21log 212f xg x x x -=--+=， ∴21log 22x x =-+或23log 22x x =--|，分别画出函数()2log 1y x x =>以及122y x =-+，322y x =--的图象如图，由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C ． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．二、填空题11．计算：329-=_____，log 69+log 64＝_____． 【答案】1272 【解析】利用指数运算化简329-，利用对数运算化简66log 9log 4+. 【详解】33219327--==， log 69+log 64＝log 636＝2． 故答案为：（1）127；（2）2 【点睛】本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题. 12．函数f （x ）()21ln x x -=-的定义域为_____．【答案】（﹣∞，1）∪（1，2）．【解析】根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x的定义域. 【详解】 由函数f （x ）()21ln x x -=-，得2010x x -⎧⎨-≠⎩＞，解得x ＜2且x ≠1，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）． 故答案为：()(),11,2-∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 13．已知单位向量12e e ，的夹角为3π，121223a e e b e me =+=+，，且//a b ，则a =_____，m ＝_____．6【解析】根据单位向量的模以及数量积的运算，求得2a ，进而求得a r.由于//a b ，所以存在实数λ，使得a b λ=，由此列方程组，解方程组求得,m λ的值. 【详解】12e e ⋅=1×1×cos132π=，∴221a e =+412e e ⋅+422e =7， ∴|a|=∵//a b ，∴存在实数λ，使得a b λ=， 即122e e +=λ（31e +m 2e ）， ∴132m λλ=⎧⎨=⎩，解得λ13=，m ＝6．故答案为：（1；（2）6 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查两个向量平行的表示，考查单位向量的概念，属于基础题.14．函数f （x ）＝a 2﹣x ﹣1（a ＞0，a ≠1）恒过定点_____，当a ＞1时，f （x 2）的单调递增区间为_____．【答案】（2，0） （﹣∞，0]．【解析】根据01a =求得()f x 恒过的定点坐标.求得()2f x 的表达式，根据复合函数单调性同增异减，求得()2f x 的单调递增区间.【详解】 函数f （x ）＝a2﹣x﹣1（a ＞0，a ≠1）中，令2﹣x ＝0，解得x ＝2， 所以y ＝f （2）＝1﹣1＝0， 所以函数f （x ）恒过定点（2，0），当a ＞1时，f （x 2）22x a -=-1的单调递增区间为（﹣∞，0]．故答案为：（1）()2,0；（2）(],0-∞ 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点，考查复合函数单调区间的求法，属于基础题. 15．已知sin （x 6π+）13=，则sin （56π-x ）+sin 2（3x π-）的值是_____． 【答案】119【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式，将所求表达式转化为只含πsin 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的形式，由此求得表达式的值.【详解】 ∵2156363sin x sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ＝sin[6x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭]+sin 2[126x ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭] ＝sin （x 6π+）26cos x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭2ππsin 1sin 66x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111399=+-=， 故答案为：119【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．关于函数，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④【解析】因为根据已知条件可知，，显然利用偶函数的性质可知命题1正确，同时对于真数部分分析可知最小值为2，因此命题3成立，利用复合函数的性质可知道命题4成立，而命题2，单调性不符合对勾函数的性质，因此错误，命题5中，函数有最小值，因此错误，故填写①③④17．已知ABC ∆中，||1BC =，2BA BC ⋅=，点P 为线段BC 上的动点，动点Q 满足PQ PA PB PC =++，则PQ PB ⋅的最小值等于 ．【答案】34-．【解析】试题分析：如下图所示，令BA a =，BC b =，设BP BC λ=（01λ≤≤）， ∴(13)PQ PA PB PC BA BP BP BC BP a b λ=++=--+-=+-， ∴222133[(13)](13)333()244PQ PB a b b a b b λλλλλλλλ⋅=-+-⋅=-⋅--=-=--≥-，当且仅当12λ=时，等号成立，即PQ PB ⋅的最小值是34-，故填：34-． 【考点】1．平面向量的线性运算及数量积；2．二次函数的最值．三、解答题18．已知角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-， （1）求m 的值；（2）求()()()2sin sin cos sin παπααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值． 【答案】(1) m ＝﹣3；(2)-7． 【解析】（1）根据角α终边上一点的坐标以及余弦值的定义列方程，解方程求得m 的值.（2）由（1）中P 点坐标和正弦值的定义求得sin α的值，由此利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】（1）角α的终边经过点P （m ，4），且35cos α=-，35=-解得m ＝﹣3；（2）由（1）可得sinα45=， ()()()342553455sin sin cos sin cos sin cos sin παπααααπααα⎛⎫-++--⎪-⎝⎭===--+-+-+7．【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）（1）求∠OCM 的余弦值； （2）若OP ⊥CM ，求CPCA的值． 【答案】(1)1 2．(2)【解析】（1）根据12OM OA =求得M 点坐标，由两点间的距离公式求得,CM OC ，有余弦定理求得OCM ∠的余弦值.（2）设出P 点坐标，利用OP CM ⊥，则0O P C M ⋅=，结合向量的坐标运算，求得P点的坐标.由此求得,CP CA 的长，进而求得CPCA的值. 【详解】（1）已知四边形OABC 等腰梯形，()(60A C ，，，点M 满足12OM OA =，所以()3,0M ，故OM ＝3．CM ==2OC ==，在△OCM 中222122OM OC CM cos OCM OM OC +-∠==⋅⋅．故∠OCM 的余弦值为12．（2）设P （x ，所以(2CM =，(OP x =， 由于OP ⊥CM ，所以230OP CM x ⋅=-=，解得x 32=，所以31122CP =-=，CA ==所以1CP CA ==． 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查余弦定理解三角形，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.20．已知函数()f x =()()sin ,A x x ωϕ+∈R (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最高点为π,36Q ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()f x 的解析式和单调增区间; (2)当ππ[,122x ∈],求()f x 的值域. 【答案】（1）()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[]1,2- 【解析】试题分析：(1)根据题中条件，利用函数性质，求得函数的解析式，并利用整体代换，计算函数的单调递增区间；(2)利用整体代换，求得π26x +的取值范围，由此确定函数的最值及取到最值时相应的x 的值. 试题解析：(1)由最高点为π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭得2A =，由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得2T =π2，即2π2ππ,2πT T ω====，由点π,26Q ⎛⎫⎪⎝⎭在图象上得π2sin 26ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭=2,πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故π3ϕ+=π2π,2k k +∈Z ,π2π,6k k ϕ=+∈Z .又ππ0,,26ϕϕ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭，故()f x =π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -≤+≤+,解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数()f x 在()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增.(2)ππ[,122x ∈],ππ7π2,636x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当π26x +=π2，即π6x =时，()f x 取得最大值2；当π26x +=7π6，即π2x =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]. 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求三角函数解析式的应用问题，是基础题目；A 为振幅控制着函数的最大值和最小值，图象的最高点纵坐标即为A ，ω控制着函数周期，与x 轴相邻两个交点间的距离为半个周期，通过函数过特殊点求得ϕ，从而得到函数解析式.21．已知定义域为R 的函数f （x ）122x x ba+-+=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是减函数； （3）若对任意的θ∈[0，2π]，f （cos 2θ+λsinθ+2）16+＜0恒成立，求实数λ的取值范围【答案】(1) b ＝1，a ＝2；(2)证明见解析 (3) (﹣1，+∞）．【解析】（1）利用()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f =，以及()()11f f -=-列方程，由此求得,a b 的值，进而求得()f x 解析式.（2）任取12x x <，通过计算求得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，由此证得()f x 在R 上是减函数.（3）根据()f x 的单调性和奇偶性化简不等式()21cos sin 206f θλθ+++<，得到220sin sin θλθ+>﹣，利用换元法，结合分离常数法，求得λ的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．得f （0）＝0，f （﹣1）＝﹣f （1）， ∴b ＝1，a ＝2，那么f （x ）11222x x +-=+，由f （﹣x ）11121121222222222x x xx x x x-+---====-+++f （x ），故得b ＝1，a ＝2符合题意；（2）由（1）可得f （x ）()()()121212121122221221221x x x x x x x+-++--====-+++++， 设x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）()()122112112221212121x x x x x x -=-=++++， ∵x 1＜x 2， ∴12220x x -＜则f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1）； ∴函数f （x ）在R 上是减函数；（3）由()21206f cos sin θλθ+++＜，即()2126f cos sin θλθ++-＜， ∵f （1）16=-，f （x ）在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，2π]，即2﹣sin 2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，2π]恒成立，设sinθ＝t ，（0≤t ≤1）， ∴2﹣t 2+λt ＞0，当t ＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为2tt λ>-，∵函数y2tt=-在（0，1]递增，∴211λ>-，即λ>﹣1；故得实数λ的取值范围(﹣1，+∞）．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。

2018-2019学年浙江省杭州市高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|}1Ax x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð． 【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð．故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．1sin y x=B ．||2x y =C ．3cos y x x ＝D ．1ln||y x = 【答案】D【解析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1ln ln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．下列计算正确的是（ ） A ．2()m n m n -=- B ．222log 3log 5log 15⨯= C ．1099222-= D ．2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误． 【详解】对于选项A ，2()m n m n -=-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．(sin ,cos )θθ-B ．(cos ,sin )θθ-C ．(cos ,sin )θθ-D ．(sin ,cos )θθ-【答案】A【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6．的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a⋅+⋅+⋅r r r r r r 等于（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 的边长为2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r111=22222221212222⎛⎫⎪⎝⎭⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯-=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题． 7．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C ．7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D ．()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D【解析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8．已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A ．BC D【答案】B【解析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解． 【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |3…. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二、填空题9．若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 【答案】12-【解析】根据任意角三角函数的定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：12- ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10．已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.3(0,)2【解析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标． 【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C点坐标是3 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11．已知函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f-=_____；若()f a=则a=_____.【答案】29-12-【解析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f-=-=-，计算可得答案；对于()3f a=-，分0a>与0a<两种情况讨论，求出a的值．【详解】根据题意，函数2,0()3(),0xxf xg x x⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()()2222239f f-=-=-=-；若()3f a=-，当0a>时，()233af a==-，无解；当0a<时，()()233af a f a-=--=-=-，解可得12a=-，故若()f a＝，则12a=-.故答案为：(1).29-；(2).12-．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．12．若827712186x xx x+=+，则x=_____.【答案】±1【解析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1． 【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____. 【答案】4【解析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u u r的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果． 【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r 与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题．三、解答题14．已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4-【解析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x 的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-． （2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos α==tan 4α=-；所以tan α=或. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题．15．某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-.当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】 本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.16．已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-.（1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦【解析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦， 设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆，当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥.（3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程()化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x +=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<， 综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．17．设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性； （2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p -=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性；（2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()662f g p q ππ--=-+，1()()()662f g p q ππ=+， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠. 故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数.（2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增. 理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，又14p qp+-在112p≤≤时递增，所以151,44p q q qp⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max1()24H x p qp=+-=，可得1224p q pp+=+-，在112p≤≤递增，可得11,24p q⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p-<-，即12p<<时，max()max{(1),(1)}12H x H H q=-=-=，即1q=-，可得11(1,)2p q p+=-∈--，综上可得，11,4p q⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。

杭州二中2018学年第一学期高一年级期末考数学试卷时间：100分钟 命题：孙惠华 核对：谢丽丽一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.cos 600=（ ）A.12B.12- C. - 2.集合{}1,0,1A =-，{}sin ,B y y x x R ==∈，则（ ）A.A B B ⋂=B.A B B ⋃=C. A B =D.R C A B =3.下列函数在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.32()f x x x =-B.()tan f x x =C. ()ln f x x x =-D.()1x f x x =+ 4.将函数sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位后，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则所得到的函数解析式为（ ）A.2cos 2y x =B.2sin(2)6y x π=+C. 1sin 22y x = D.2sin 2y x = 5.向量,a b 满足1,2a b ==，且,a b 的夹角为150，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）B. C. D.6.已知函数()11f x x x =++-，若()()f a f b =，则下列结论一定不正确的是（ ）A.1()ab a b >≠B.0a b +=C. ()(1)10a b -->D.a b =7.已知0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若θ满足不等式33cos sin cos ln sin θθθθ-≥，则θ的取值范围是（ ） A.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.函数()ln 12sin 23f x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递减区间是（ ）A.5,,1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B.711,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C.,,124k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭ D.511,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.如图，四边形ABCD 满足2,1AB DC ==，,M N 分别是,BC AD 的中点，,BA CD 的延长线分别与MN 的延长线相交于,P Q 两点，若3PQ AB PQ DC =+，PQ MN λ=，则实数λ的值是（ ）A.2B.1C. -2D.-110.定义1M 是函数()xf x e e =-的零点，2481625log 27log 25log 8M =，223sin M x x =(0)x ≠，则有（ ）A.213M M M <<B.123M M M <<C. 321M M M <<D.231M M M <<二、填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11.已知向量()1,3OA =-，()1,2OB =，()2,5OC =-，若G 是ABC ∆的重心，则OG 的坐标是 。

2018学年第一学期杭州二中(东河校区)高一年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设，，则为（）A．B．C．D．2．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2} B．＜C．＜＜D．{x|x≥2}3．集合{α|kπα≤kπ，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（）4．的值等于（）A．B．C．D．5．下列函数中，既是偶函数，又是[0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝﹣x2B．y＝log2x C．D．y＝|x|6．将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A．y＝sin（2x）B．y＝sin（2x）C．y＝sin2x D．y＝cos2x7．函数f（x）＝x﹣3+e x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）8．设，为两个非零向量，且（x1，y1）（x2，y2），则下列四个等式：（1）•0；（2）x1x2+y1y2＝0；（3）||＝||；（4）22＝（）2其中与等价的等式个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i＝1，2，…，7）的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．110．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x），＜，＞，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题有7小题，每空3分，共30分，请将答案填写在答题卷中的横线上）11．计算：，log69+log64＝．12．函数f（x）的定义域为．13．已知单位向量，的夹角为，，，且，则，m＝．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）恒过定点，当a＞1时，f（x2）的单调递增区间为．15．已知sin（x），则sin（x）+sin2（）的值是．16．关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是．17．已知△ABC中，||＝1，•2，点P为线段BC的动点，动点Q满足，则•的最小值等于．三、解答题（本大题共4小题满分40分，解答应写出文字说明成演算步骤18．已知角α的终边经过点P（m，4），且，（1）求m的值；（2）求的值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点）（1）求∠OCM的余弦值；（2）若OP⊥CM，求的值．20．已知函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为，．（1）求f（x）的解析式和单调递增区间；（2）当，，求f（x）的值域．21．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）＜0恒成立，求实数λ的取值范围一、1．2．B3．C4．5．D6．B7．A8．9．C10．C二、11．，log69+log64＝log636＝2．12．由函数f（x），＞，得解得x＜2且x≠1，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．13．1×1×cos，∴447，∴||．∵，∴存在实数λ，使得，即λ（3m），∴，解得λ，m＝6．14．函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）中，令2﹣x＝0，解得x＝2，所以y＝f（2）＝1﹣1＝0，所以函数f（x）恒过定点（2，0），当a＞1时，f（x2）1的单调递增区间为（﹣∞，0]．15．∵，则＝sin[]+sin2[]＝sin（x），16．①定义域为R，又满足f（﹣x）＝f（x），所以函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，正确．②令t（x＞0），f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．③t2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．⑤由③知，不正确．17．以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，如图．∵，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），设P（a，0），A（0，b），则﹣2≤a≤﹣1．∴（﹣a，b），（﹣2﹣a，0），（﹣1﹣a，0）．∴（﹣3﹣3a，b），∴（﹣2﹣a）（﹣3﹣3a）＝3a2+9a+6＝3（a）2．∴当a时，取得最小值．三、18．（1）角α的终边经过点P（m，4），且，可得解得m＝﹣3；（2）由（1）可得sinα，7．19．（1）已知四边形OABC等腰梯形，，，，，点M满足，所以M（3，0），故OM＝3．CM进一步整理得，在△OCM中．故∠OCM的余弦值为．（2）设P（x，），所以，，，，由于OP⊥CM，所以，解得x，所以，，所以．20．（1）函数其中＞，＞，＜＜，其图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为，所以，所以ω＝2．图象上一个最高点为，．即当x时，函数取最大值3，φ）＝3，由于＜＜，所以φ．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的单调递增区间为[，]（k∈Z）．（2）由于，，所以，，，，故，．21．（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），∴b＝1，a＝2，那么f（x），由f（﹣x）f（x），故得b＝1，a＝2；（2）由（1）可得f（x），设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1），∵x1＜x2，∴＜则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；∴函数f（x）在R上是减函数；（3）由＜，即＜，∵f（1），f（x）在R上是减函数；∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立，设sinθ＝t，（0≤t≤1），∴2﹣t2+λt＞0，当t＝0时，2＞0恒成立，当0＜t≤1时，转化为，∵函数y在（0，1]递增，∴，即λ≥﹣1；故得实数λ的取值范围[﹣1，+∞）．。

2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．（3分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A．4＜a＜5B．4≤a＜5C C．4＜a≤5D．a＞42．（3分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 3．（3分）已知函数则f（﹣2）=（）A．B．3C．D．94．（3分）下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A．B．y=1﹣2cos22xC．y=|ln|x||D．y=|sin（π+x）|等于（）5．（3分）已知锐角α满足，则sinαcosαA．B．C．D．6．（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）7．（3分）函数的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=﹣4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．9．（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A．k：n：m B．（k+1）：（n﹣1）：mC．D．k2：n2：m210．（3分）已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4﹣17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．12．（4分）若=2，则sin（θ﹣5π）?sin=．13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f （﹣4）=1，则f（2018）=．14．（4分）若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则=．15．（4分）设单位向量对任意实数λ都有，则向量的夹角为．16．（4分）在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为17．（4分）函数f（x）=|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题，共42分.18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．19．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且为锐角，，求cosC的值．20．（10分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（﹣2，﹣1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）﹣x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．（3分）集合A={1，2，3，4}，B={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，若集合A∩B={2，3，4}，则实数的范围是（）A．4＜a＜5B．4≤a＜5C C．4＜a≤5D．a＞4【解答】解：由集合A={1，2，3，4}，B={x|1＜x＜a}或B={x|a＜x＜1}∵集合A∩B={2，3，4}，∴a＞4．故选：D．2．（3分）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：，0＜a＜1，则c＞a＞b，故选：B．3．（3分）已知函数则f（﹣2）=（）A．B．3C．D．9【解答】解：当x≤0时，，则=．故选：D．4．（3分）下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是（）A．B．y=1﹣2cos22xC．y=|ln|x||D．y=|sin（π+x）|【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数，此函数为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减，A选项错误；对于B，对于函数y=1﹣2cos22x=﹣cos4x，此函数为偶函数，且当0≤x≤1时，0≤4x≤4，故函数y=1﹣2cos22x在区间[0，1]上不单调，B选项错误；对于C，对于函数y=|ln|x||，该函数为偶函数，且函数y=|ln|x||在区间[0，1]上单调递减，C选项错误；对于D，对于函数y=|sin（π+x）|=|﹣sinx|=|sinx|，定义域为R，且|sin（﹣x）|=|﹣sinx|=|sinx|，故该函数为偶函数，且当0≤x≤1时，y=sinx，结合图象可知，函数y=|sin（π+x）|在区间[0，1]上单调递增，符合题意，故选：D．等于（）5．（3分）已知锐角α满足，则sinαcosαA．B．C．D．【解答】解：由，得，，∵，∴sinα+cosα＞0，则，两边平方得：，∴．故选：A．6．（3分）若是一组基底，向量，则称（x，y）为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为（﹣2，1），则向量在另一组基底下的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【解答】解：由题意，得；设，即（0，3）=x（﹣2，1）+y（﹣4，﹣1）=（﹣2x﹣4y，x﹣y），则，解得，故选：A．7．（3分）函数的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：令函数，即log4x=﹣cosx，分别作出函数h（x）=log5x，g（x）=﹣cosx，观察可得，在（0，1）内有一交点，由h（π）=log5π＜1，g（π）=1可知，在内有两个交点，由，可知，当时，两个函数无交点．故共有3个交点．故选：C．8．（3分）将函数的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=﹣4，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意将函数的图象向左平移个单位，可得，所以g（x）max=2，又g（x1）g（x2）=﹣4，所以g（x1）=2，g（x2）=﹣2；或g（x1）=﹣2，g（x2）=2．则有得，；由得，，因为x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以，，故选：C．9．（3分）P为三角形内部一点，m，n，k为大于1的正实数，且满足，若S△PAB，S△PAC，S△PBC分别表示△PAB，△PAC，△PBC的面积，则S△PAB：S△PAC：S△PBC为（）A．k：n：m B．（k+1）：（n﹣1）：mC．D．k2：n2：m2【解答】解：由，可得，，，，所以S△PAB：S△PAC：S△PBC=（k+1）：（n﹣1）：m．故选：B．10．（3分）已知函数f（x）=若当方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式x12+x22+x32+x42≥8（x1+x2+x3+x4）+k（x3x4﹣17x1x2）恒成立，则实数k的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：当2＜x＜4时，0＜4﹣x＜2，所以f（x）=f（4﹣x）=|ln（4﹣x）|，由此画出函数f（x）的图象由题意知，f（2）=ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4=x2+x3=4，x1x2=1，（4﹣x3）（4﹣x4）=1，，由，可知，，得，，设t=x1+x2，得，当t=2时，趋近，故，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答卷中相应横线上）11．（4分）设扇形的半径长为4cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．【解答】解：扇形的半径长为r=4cm，面积为S=4cm2，设扇形的弧长为l，圆心角为α，，…①则l=αr=4αS=lr=2l=4，…②，由①②解得α＝，∴扇形的圆心角弧度数是．故答案为：．12．（4分）若=2，则sin（θ﹣5π）?sin=．﹣2cosθ化简得tanθ=3；【解答】解：由=2，得到sinθ+cosθ=2sinθ则sin（θ﹣5π）?sin=（﹣sinθ）（﹣cosθ）=sinθcosθ＝sin2θ＝×==．故答案为：13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）为奇函数．若f （﹣4）=1，则f（2018）=﹣1．【解答】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，则函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，则有f（﹣x）=﹣f（2+x），又由f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），则有f（x）=﹣f（2+x），则f（x+4）=﹣f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2018）=f（﹣2）=﹣f（﹣4）=﹣1；故答案为：﹣1．14．（4分）若f（sin2x）=13sinx+13cosx+16，则=﹣1或33．【解答】解：令sinx+cosx=t，则sin2x=t2﹣1，f（t2﹣1）=13t+16，令所以．故答案为：﹣1或3315．（4分）设单位向量对任意实数λ都有，则向量的夹角为．【解答】解：设单位向量的夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即，即，即恒成立，∴，整理可得，再由，得，∵θ∈[0，π]，∴．∴向量的夹角为．故答案为：．16．（4分）在△ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则||的最小值为（﹣）【解答】解：在三角形ABC中，∠A为钝角，AB=2，AC=3，若|﹣x|（其中x为实数）的最小值为1，则|﹣x|2=x2||2﹣2x.+||2=9x2﹣12xcosA+4=9（x﹣cosA）2+4﹣4cos2A，当x=cosA时，|﹣x|min=1=4﹣4cos2A．即得4cos2A=3，所以cosA=±，又A为钝角，所以cosA=﹣．所以A=．又因为AB=2，AC=3，=λ+μ且2λ+3μ=1，所以||2=|λ+μ|2=λ2||2+2λμ.+μ2||2=4λ2+12μλcosA+9μ2=4λ2﹣6μλ+9μ2=（2λ+3μ）2﹣（6+12）μλ=1﹣（6+12）μλ．又由2λ+3μ=1得（2λ+3μ）2=14λ2+9μ2=1﹣12λμ，所以24λμ≤1，则λμ≤，所以||2=1﹣（6+12）μλ≥1﹣====所以||的最小值为．故答案为：或写作（﹣）．17．（4分）函数f（x）=|2x﹣+t|﹣t，x∈[0，1]，（t为常数）的最大值为，则t的取值范围为[）．【解答】解：设m=2x﹣．当x∈[0，1]，，①当t≥1时，，符合题意；②当时，，③当时，若，即，；若即，；所以：时，最大值为．故得t的取值范围为[）三、解答题：本大题共4小题，共42分.18．（10分）已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），的部分图象如图所示，P为最高点，且△PMN的面积为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出函数的对称轴方程；（Ⅱ）把函数y=f（x）图象向右平移个单位，然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）在[0，5]内恰有5个函数值为2的点，求υ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设图象知，，可得：周期T=π，∴．∵点在函数图象上，∴，即，又∵，从而．A=2．故函数f（x）的解析式为．令，解得，即为函数f（x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到y=2sin[2（x﹣）+）=2sin（2x），然后将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=2sin （2υｘ），要使得y=g（x）在[0，5]内有5个函数值为2的点，只需满足：（4+）T≤5≤（5+）T，即：（4+）≤5≤（5+），解得：．19．（10分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的单调性；（Ⅱ）若A，B，C为△ABC的三个内角，且为锐角，，求cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=cos2x+sin2x+sin2x﹣cos2x=cos2x+sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令；得，所以函数f（x）在区间上的增区间为；令；得，所以函数f（x）在区间上的减区间为和；（Ⅱ）因为，，由得，所以，因为，，所以，所以，又C为钝角，所以．20．（10分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，3），B（﹣2，﹣1），点P的纵坐标为2，且，点Q是边AB上一点，且．（Ⅰ）求点P与点Q的坐标；（Ⅱ）以OP，OQ为邻边构造平行四边形OPMQ，（M为平行四边形的顶点），若E，F分别在线段PM，MQ上，并且满足，试求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设点P（x0，2），则，由可知，﹣3x0=2（﹣2﹣x0），解得x0=4；又点Q是边AB上一点，可设，∴Q的坐标为（﹣4k+2，﹣4k+3）；由，得（﹣4k+2，﹣4k+3）?（2，﹣1）=0，解得，所以Q的坐标为（1，2）；（Ⅱ）设，则0≤λ≤1，∴?=（+）?（+）=（+λ）?[+（1﹣λ）]=?+λ（1﹣λ）?+（1﹣λ）+λ=﹣8λ2﹣7λ+28，（0≤λ≤1），得?的取值范围是[13，28]．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）=f（x）﹣x的零点；（Ⅱ）当a＞1，求函数y=f（x）在x∈[1，3]上的最大值；（Ⅲ）对于给定的正数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤2，试求出这个正数M（a），并求它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣x|x﹣2|+1=x，当x≥2时，方程化简为：x2﹣x﹣1=0，解得：x=或x=（舍去），当x＜2时，方程化简为：x2﹣3x+1=0，解得：x=（舍去），或x=，∴或．（Ⅱ）当，作出示意图，注意到几个关键点的值：，最值在f（1），f（2），f（a）中取．当1＜a≤3时，f（x）在[1，a]上递增，[a，3]上递减，故f（x）max=f（a）=1；当，而，故若a＜4，f（x）max=f（3）=10﹣3a若a≥4，f（x）max=f（1）=2﹣a综上：（Ⅲ）∵当x∈（0，+∞）时，f（x）max=1，故问题只需在给定的区间内（x）≥﹣2恒成立，由，分两种情况讨论：当时，即时，M（a）是方程x2﹣ax+1=﹣2的较小根当时，即时，M（a）是方程﹣x2+ax+1=﹣2的较大根综上，．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x 1x 2y=f(X)x y f(x )1f(x )2o （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)y x o x x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x ，令()ug x ，若()y f u 为增，()u g x 为增，则[()]y f g x 为增；若()y f u 为减，()u g x 为减，则[()]yf g x 为增；若()y f u 为增，()ug x 为减，则[()]y f g x 为减；若()y f u 为减，()u g x 为增，则[()]yf g x 为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x 的图象与性质y xo()f x 分别在(,]a 、[,)a 上为增函数，分别在[,0)a 、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()yf x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ，都有()f x M ；（2）存在0x I ，使得0()f x M ．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M ．②一般地，设函数()yf x 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ，都有()f x m ；（2）存在0x I ，使得0()f x m ．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m ．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x 处有定义，则(0)0f ．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

杭高2018学年第一学期期末考试高一数学试题卷一.选择题1.已知集合{|}1A x x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. (,1)-∞-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (1,)+∞2.下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A. 1sin y x=B. ||2x y =C. 3cos y x x ＝D. 1ln||y x = 3.下列计算正确的是（ ） A.2()m n m n -=-B. 222log 3log 5log 15⨯=C. 1099222-=D. 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 25.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. (sin ,cos )θθ-B. (cos ,sin )θθ-C. (cos ,sin )θθ-D. (sin ,cos )θθ-6.2的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a ⋅+⋅+⋅rr r r r r 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 47.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A. 23ϕπ= B. x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C. 7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间D. ()f x 向左移12π可变为偶函数8.已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ） A .2339323二､填空题9.若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 10.已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.11.已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若23()3f a =-，则a =_____. 12.若()sin3f x x π=，则()2f -=_____；(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=_____.13.若827712186x x x x+=+，则x =_____. 14.在平面上，正方形ABCD 2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r ，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____.15.若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三､解答题16.已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，1{}1|B x x x =<->或 （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B R ⋃＝，求a 的取值范围.17.已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +r r与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f kα=+且(0,)απ∈，求tan α. 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.19.已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+- （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 20.设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.杭高2018学年第一学期期末考试高一数学试题卷一.选择题1.已知集合{|}1A x x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. (,1)-∞-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð．【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð． 故选：B ．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ）A. 1sin y x=B. ||2x y =C. 3cos y x x ＝D. 1ln||y x =【解析】 【分析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意；对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1lnln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 3.下列计算正确的是（ ） m n =- B. 222log 3log 5log 15⨯= C. 1099222-= D. 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误．【详解】对于选项A m n =-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=r r r ，又c r = a b r r λ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(),k k Z θθπ≠∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A. (sin ,cos )θθ- B. (cos ,sin )θθ- C. (cos ,sin )θθ- D. (sin ,cos )θθ-【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．6.边长为2的正三角形ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===u u u r u u u r u u u r r r r ，则2a b b c c a ⋅+⋅+⋅rr r r r r 等于（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒， 由正三角形ABC 2和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r11122222221212222⎛⎫⎪⎝⎭++-=+-=．故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题．7.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）A. 23ϕπ=B. x 712π=+k π，k ∈Z 为其所有对称轴 C. 7,12x k k Z ππ=+∈为其减区间 D. ()f x 向左移12π可变为偶函数【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题．8.已知函数()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==.若032a bc ++=，则m n -的最小值是（ ）A.B.3【答案】B 【解析】 【分析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解．【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ，|m ﹣n |＝. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题．二､填空题9.若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____.【答案】12- 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==， 1cos 5α==，所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭．故答案为：12-． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10.已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.【答案】(1). (2). 3(0,)2【解析】 【分析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出 ()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标．【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴C 点坐标是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算．11.已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若()f a =a =_____. 【答案】 (1). 29- (2). 12- 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f -=-=-，计算可得答案；对于()3f a =-，分0a >与0a <两种情况讨论，求出a 的值． 【详解】根据题意，函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数， 则()()2222239f f -=-=-=- ；若()f a = 当0a >时，()23a f a ==当0a <时，()()233af a f a -=--=-=-，解可得12a =-， 故若()3f a -＝，则12a =-. 故答案为：(1). 29-； (2). 12-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 12.若()sin3f x x π=，则()2f -=_____；(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+=_____.【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由特殊角的三角函数值即可求出()2f -的值；再根据三角函数的周期性结合特殊角的三角函数值，即可求出(1)(2)(3)(2019)f f f f +++⋯+的值．【详解】由()sin3f x x π=，得()22sin 3f π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭函数()sin3f x x π=的周期为2 63ππ=，()()()()()()245123456sinsinsin sin sin sin 203333f f f f f f ππππππ+++++=+++++=Q ()()()()()()()12320193360123f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯+++=故答案为：(1). ；(2). ．【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查函数周期性的应用，是基础题．13.若827712186x x x x+=+，则x =_____. 【答案】±1【解析】 【分析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果．【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =.故答案为：±1．【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.在平面上，正方形ABCD 的边长为2，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r ，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____.【答案】4 【解析】 【分析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC ⋅u u u r u u u r 最大时， AP u u u r 与AC u u ur 的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果．【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题． 15.若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.【答案】6c ≤-或2c ≥ 【解析】 【分析】 令4cos 3cos 3ct a a =+++，利用整体代换，原不等式等价于：存在实数t 使得{}max ,410t t +≥，易得10t ≤-，或6t ≥，令[]cos 324m a =+∈,，则4ct m m=+，问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立，利用分离参数法，易得c 的范围．【详解】令4cos 3cos 3ct a a =+++，存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立， 转化为：存在实数t 使得max ,}1{40t t +≥成立，易得10t ≤-，或6t ≥，因为a 实数，[]cos 32,4a +∈，令[]cos 324m a =+∈,， 则4ct m m=+， 问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立； 当10t ≤-时，可得410cm m+≤-，可得[]2410,2,4c m m m ≤--∈ ，可得6c ≤-； 当6t ≥时，可得46cm m+≥，即246,24[,]c m m m ≥-∈，可得2c ≥； 所以c 的范围为6c ≤-或2c ≥． 故答案为：6c ≤-或2c ≥．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数能成立问题的转化，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的应用．三､解答题16.已知集合{}|23Ax a x a ≤≤+＝，1{}1|B x x x =<->或 （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B R ⋃＝，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|13A B x x ⋂=<≤（2）12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）若0a =，化简A ，即可求A B I ；（2）由已知条件，可得213123a a a a ≤-⎧⎪+≥⎨⎪<+⎩，由此求出a 的取值范围．【详解】（1）若0a =，则{}03|A x x =≤≤，–1{|}1B x x x =<>或，故{}|13A B x x ⋂=<≤.（2）因为集合{|23}A x a x a =≤≤+，–1{|}1B x x x =<>或，A B R =U ，所以213123a a a a ≤-⎧⎪+≥⎨⎪<+⎩，解得12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查集合的运算，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．17.已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r rr r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α.【答案】（1）[1,1]-（2）4或4- 【解析】 【分析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-．（2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos 3α==-，tan 4α=-；所以tan 4α=或4-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题． 18.某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可） （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】 【分析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式；（2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-. 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题.19.已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤⋃⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果．【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦，设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆， 当30a -=，即3a =时，不满足题意，当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥. （3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程(*)化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=， ①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x+=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<，综上，a 的取值范围是{},1,2123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．20.设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =.（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围．【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()6622f g p q ππ--=-+⋅，1()()()6622f g p q ππ=+⋅， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠.故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数. （2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增.理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 又14p q p +-在112p ≤≤时递增， 所以151,44p q q q p ⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max 1()24H x p q p =+-=， 可得1224p q p p +=+-，在112p ≤≤递增，可得11,24p q ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p -<-，即102p <<时， max ()max{(1),(1)}12H x H H q =-=-=，即1q =-， 可得11(1,)2p q p +=-∈--，综上可得，11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。