解题中的整体代换策略

第55讲整体与局部事物的发展变化本来就是一个整体和系统, 故观察事物必须着眼于整体和系统,运用整体观来处理问题, 同时事物的发展变化,必然会凸显某些关键的部分, 而对这“部分”的结构特征和变化特点或趋势作深人分析, 往往能体现出事物整体结构特征及其变化发展的趋势甚至规律,这就启发我们在分析解决数学问题时既要着眼于整体又必须关注局部, 就是通常讲的从整体着眼, 从局部人手,得出初步结论后,再进一步研究. 一个较为复杂的数学问题, 有时局部处理得当有助于整体的解决, 局部处理又可分为局部解决、局部固定和局部调整3 种类型.典型例题-的高为2,AB=其内部有一个球与它的4 个面【例1 】已知正三棱雉P ABC都相切,求:-的表面积;（1）正三棱雉P ABC-内切球的表面积与体积.（2）正三棱雉P ABC【例2】四面体的6 条棱中, 有5 条棱长都等于a.（1）求该四面体体积的最大值;（2）当四面体的体积最大时,求其表面积.【例 3 】如图 10 - 3 所示, 已知点 D 为 Rt ABC 斜边 BC 上一点, 且 AB AD =,记,CAD ABC ∠α∠β==.(1) 证明: sin cos20αβ+=.(2) 若 AC =, 求β 的值.第56讲 整体代换法在解题过程中, 将已知某个部分整体代人达到简化运算、迅速使原问题获解的方法称 之为整体代换法.典型例题【例 1】 若正数 ,x y 满足 35x y xy +=, 则 34x y + 的最小值是 （ ）。

A. 245 B.285C. 5D. 6【例 2】 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大 值为 3 , 最小值为 1 . （1）求椭圆 C 的标准方程;（2）若直线 :l y kx m =+ 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点 (,A B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点, 并求出该定点的坐标.【例3】对任意*n N ∈,求证:11(11)11432n ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭第55讲 整体与局部事物的发展变化本来就是一个整体和系统, 故观察事物必须着眼于整体和系统,运用 整体观来处理问题, 同时事物的发展变化,必然会凸显某些关键的部分, 而对这“部分”的 结构特征和变化特点或趋势作深人分析, 往往能体现出事物整体结构特征及其变化发展的趋势甚至规律,这就启发我们在分析解决数学问题时既要着眼于整体又必须关注局部, 就是通常讲的从整体着眼, 从局部人手,得出初步结论后,再进一步研究. 一个较为复杂的 数学问题, 有时局部处理得当有助于整体的解决, 局部处理又可分为局部解决、局部固定和局部调整 3 种类型.典型例题【例 1 】已知正三棱雉 P ABC - 的高为 2,AB =其内部有一个球与它的 4 个面都相 切,求:（1）正三棱雉 P ABC - 的表面积;（2）正三棱雉 P ABC - 内切球的表面积与体积.【分析】 思考下列启发式问题：(1) 要求正三棱雉内切球的表面积与体积, 公式 24S R π=琭 与 343V R π=琲 中需要求 出哪些量?(2) 上一问,显然只要求出球的半径R 即可,那么半径 R 与三棱雉的各棱长或者各个 面有什么联系? 这些互相联系的数量如何求出来?（3）如果用等体积法求解, 那么如何对三棱雉这个整体进行适当分割, 即如何实现整 体与局部之间的转化呢? 【解析】(1) 如图 101- 所示, 底面三角形中心 O 到 AC 的距离 13DO ==则正三棱锥侧面的斜高为PD ==.132S ∴=⨯⨯=侧.故2 122S S S =+=⨯⨯=魝全底（2）设正三棱锥 P ABC - 的内切球球心为 1O , 联结 1111,,,O P O A O B O C , 而点 1O 到三棱雉的 4 个面的距离都为球的半径 r .1111 1133P ABC O PAB O PBC O PAC O ABC ABCV V V V V S r Sr -----∴=+++=⋅+⋅钊((1133S r r r =⋅=⋅=全211 232P ABC V -=⨯⨯=又(r ∴=)22r ==)(2 4[22]325S ππ∴==-内彻浗)()3 464[22]2233V ππ==内彻球【例 2】 四面体的 6 条棱中, 有 5 条棱长都等于 a . （1）求该四面体体积的最大值;（2）当四面体的体积最大时,求其表面积. 【分析】从整体上求四面体体积,可运用公式 13V S h =⋅底, 但这个 h 比较难 求,故可寻找四面体的直截面(与侧棱垂直且过一条底边的截面),把这个整体分割为两个 雉体求体积, 再求和,这是一种通解通法. 由于本例涉及最值问题,一般思路是在得到解析 式后利用函数思想或基本不等式进行求解. 【解析】()1 如图 102- 所示, 在四面体 A BCD - 中, 设,AB BC CD AC BD a AD x ======, 取 AD 的中点为 ,P BC 的中点为 E , 联结 ,,BP EP CP , 由AD ⊥ 平面 BPC 可得13A BCD A BPC D BPC BPCV V V S AD---=+=⋅1132x =⋅⋅2323.1228a a a =⋅=当且仅当x =，A BCD V -的最大值为38a(2) 由 ()1 知 221222S =+⋅=表。

依 照题 意 ， 可 得 出平 移 之 后这 个 函数 的解 析
析
式 变 成 ： Ｙ 一 ｓ ｉ ｎ ￣ ｏ （ ｘ ｍ 号 ） ， 把 点 （ ， 。 ｏ ） 代 入 ，
则得 出 ｓ ｉ ｎ 一０ ， 令 ｚｔ ， 因为 ＝ ＝ ＝ ｓ ｉ ｎ ｆ 的 图象 和 轴 的交 点是 （ ｋ ｎ ， ｏ ） ， ｋ ∈Ｚ， 于是有 一 一是 ７ ｃ ， ＝２ ｋ （ 走 ∈ｚ ） ， 又叫 ＞０ ， 因此 叫的最小 值是 ２ ．
求 函数 Ｙ —Ａｓ ｉ ｎ （ 叫 ＋ ）（ Ａ＞ Ｏ ） 的单调 递 ” 置 于 Ｙ＝ ＝ ＝ ｓ ｉ ｎ ｔ 的单 调递 减 区 间
；例 １ 已知数列 ｛ ｎ ｝ 中， ｎ 一 ｏ， ｎ 一２ ， ｓ 是 前
维方 法 与解 题 策 略 ， 在 今 后 的 学 习 与 解 题 中 灵 活 运
合， 再借 助整 体 代 换 方 法 ， 使 之 转 变 成 等 比数 列 或 者
三角 函数在 高考 试题 中 占据 较 大 的 比例 ， 而 且 题
［ 詈＋２ ７ ｃ ， ＋２ 是 兀 ］（ 尼 ∈ ｚ ） 或递增区间［ 一詈＋２ ｋ ｎ ，
＋２ 尼 丌 ］（ 愚 ∈ｚ ） 中， 求 出 ｚ的取值 范 围即为所 求．
３ 引入整体 代换 ， 轻 松解 答代 数 问题 在高 中数学 学 习 中 ， 代数是基本知识 ， 其 问 题 类 型 与考查 目的主要 包 括 如 下 ２种 ：１ ）考 查 学 生 的运
代 人原式 进行 求解 ， 巧妙 地 得 出最 终 的 结果 ． 因此 ， 在 高 中数学 教学 中 ， 教师要 注 意 引导 学 生 运用 整 体代 换 思想来分析 与解答一些代数 问题 ， 培 养 学 生 观 察 能 力， 训练 学生 整体 思考 、 变形 重组 的能 力． 总之， 在 高 中数 学 学科 中 ， 整 体 代 换 思 想 的作 用 是 举足 轻重 的 ， 教 师要 结合 相 关 教学 内容 渗透 整 体代 换 思想 与方 法 ， 帮助学生打开解题思路 ， 把 握 新 的 思

数学六年级上册教案中的替换策略能解决那些类型的数学题？？数学作为一门基础学科，是各科学习的重点和基础。

在数学的学习过程中，替换策略是一种非常重要的思想和策略。

通过它，可以让学生更灵活的运用数学知识，更好地解决数学问题。

那么，数学六年级上册教案中的替换策略能解决哪些类型的数学题呢？以下是我对该问题的一些分析和总结。

替换策略适用于各种类型的等式和方程。

例如，当我们要解决一个关于x的方程时，就可以将另一个变量y与x进行替换，然后再将方程进行简化。

通过这种方式，可以更容易地解决方程，同时也提高了学生的运算能力。

替换策略还适用于各种类型的代数式变形。

例如，当我们要化简一个较为复杂的代数式时，就可以将其中的一些变量或式子进行替换，然后再将代数式进行简化。

通过这种方式，不仅可以更容易地理解和掌握代数式的变形规律，还可以提高学生的思维能力。

在数学六年级上册教案中，替换策略也被广泛应用于各种类型的数形结合问题。

例如，当我们要计算一个图形的面积时，就可以将其转化为应用代数式求解问题。

通过这种方式，可以更好地理解数学和几何之间的联系和相互作用。

此外，替换策略还可以应用于各种类型的比例与相似问题。

例如，在解决一个三角形相似问题时，可以将一个角度代入另一个三角形中，然后再根据比例关系来求解出其它边长或角度。

通过这种方式，可以更好地掌握相似三角形的相关知识和计算方法。

替换策略还可以应用于各种类型的排列组合问题。

例如，在解决一个排列组合问题时，可以将其转化为一个更简单的组合问题，然后再通过替换策略来进行计算。

通过这种方式，可以更好地理解排列组合的概念和应用方法。

数学六年级上册教案中的替换策略能够解决各种类型的数学问题，不仅提高了学生的数学能力，还培养了学生的灵活思维和创新思维。

因此，我们应该在数学教学中更加注重替换策略的应用，以便更好地促进学生的数学素养和发展。

例谈整体代换思想在数学解题中的应用作者：张结军来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期绝大多数高中生在解决数学问题时，缺乏一种全局观念，对整体代换思想的理解和使用存在缺陷.而整体代换思想在高中数学教学中有着重要的作用，是解决三角函数、代数、数列等知识的有效工具.对此，我们必须在日常的数学教学中，联系实际案例，强化对学生整体代换思想的教学.整体代换思想是指将问题或者是问题的一部分看成一个整体，或者将一些相关量视作整体研究，从整体入手，简化求解过程.下面我将结合教学实践，分析整体代换思想在解题中的几例应用.一、三角函数的整体代换例1已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω>0，0解析从问题上不难看出，本题主要考查的是学生对三角函数的概念及对其单调区间的求法.由该函数图形，容易得到它的周期为π，故ω=2πT=2；再由图形的已知点元素为（5π12，0）与（0，1），可以继续求出φ=π6、A=2，得到函数f（x）=2sin（2x+π6）.将函数f（x）的表达式代入g（x）中，可以得到g（x）=2sin（2x-π3）.欲求解g（x）的单调增区间，可以利用整体代换，令t=2x-π3，原题则变成了求解y=sint的单调增区间，大大简化了求解过程.由正弦函数的性质可知，当t∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]（k∈Z）时，即是函数y=sint的单调增区间.因此，当2x-π3∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]时，函数g（x）单调递增.化简整理后可以得到函数g（x）的单调增区间为[kπ-π12，kπ+5π2]，k∈Z.点评在求解正弦三角函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的单调区间时，只需要利用元素t将函数中的ωx+φ整体代换即可，然后再利用基本三角函数的单调区间进行转化求解.在碰到余弦函数时，可以先使用诱导公式进行转换，再继续进行求解.二、数列的整体代换例2已知数列{an}中，a1=32，a2=2，同时有Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0 （n≥2），请问{an-1} （n∈N*）是等比数列吗？试证明.解析拿到此类题目，很多学生的第一反应就是利用数列的前n项和公式进行求.由于求和公式的复杂性，很多时候会给学生的证明与求解带来障碍.对此，我们不妨引导学生利用已知式来变换关系，采用整体代换进行简化求解.由Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0 （n≥2），可得（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.此时，由Sn+1-Sn=an+1与Sn-Sn-1=an可进行表达式的简化，即可得an+1-2an+1=0.当看到以上的表达式时，学生们很容易联想到代数式的简化运算，继续使用整体代换思想，得到an+1-1=2（an-1），即是an+1-1an-1=2 （n≥2）.同时，当n=1时，也存在关系式a2-1a1-1=2.至此，可以看出数列{an-1}是以12为首项，2为公比的等比数列，即{an-1} （n∈N*）是等比数列，得证.点评在数列知识的常见问题中，对通项公式求解、等差等比证明与求和公式的求解，切勿盲目利用数列求解的公式进行展开.在求解前必须仔细阅读审题，将已知条件整体代换到数列的递推公式中进行求解.三、代数式的整体代换例3设x、y为实数，已知4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是多少？解法一欲求代数式2x+y的最值，我们不妨直接用t=2x+y进行整体代换，则可知y=t-2x.将上式代入表达式4x2+y2+xy=1中，可以得到6x2-3tx+t2-1=0.此时，可以将其视作关于x的一元二次方程，要想该一元二次方程有实根，即要使Δ>0即可.利用一元二次方程有实根可得Δ=3t2-4×6×（t2-1）≥0，求得-2510≤t≤2510.故由t的取值范围可以得到代数式2x+y的最大值为2510.解法二对代数式4x2+y2+xy=1进行移项转化，可得（2x+y）2-1=3xy.此时，可以利用基本不等式性质进行整体代换，即（2x+y）2=4x2+y2+4xy≥4|xy|+4xy≥8xy.故（2x+y）2-1=3xy≤38（2x+y）2，移项后可得58（2x+y）2≤1，即可得到2x+y的最大值为2510.点评（解法一）通过整体代换思想的使用，学生们避免了复杂的计算分析过程，实现了解题的高效性.（解法二）分别将元素xy与2x+y视为整体，通过基本不等式的运用，也同样实现了代数式最值的求解.总之，整体代换思想是高中数学中的重要思想方法之一.作为高中数学教师，我们必须积极拓宽整体代换思想的使用，帮助学生从整体上认识数学知识.。