“等量代换”法：两个完全相等的量，可以相互代换。
解决数学问题，常常可以用到这类思考方法。
例L已知：Zi+O=24,C)=△+△+△,求△=？O=?解析：将两个等式编号：△+024(1)O=Δ+Δ+Δ(2)将⑴式中的。
用(2)式中的3个△代替得a+Z∖+Z∖+Z∖+=24.∙.Z∖=24+4=6,又06+6+6=18.例2：已知：(见下图)求：一个口等于几个(D解析：由已知的天平图改写成等式：2XZ∖=6XO(l)3×□=3×∆(2)由(1)式得：Zk=3Xθ⑶由⑵式得：口二△(4)将(3)式代入⑷式得：口二3XO,即一个□等于3个O.例3：已知：（见下图）•••••hOC）C）∙∙QC）C）OoI48克IIIIII（1）（2）（3）求：最大的球的重量是多少克？解析：由图Q）得:3∙=2∙+48,所以∙=48（克）.由图（2）得:30=2•,即：30=2X48,所以O=2X48÷3=32（克）.由图（3）得：0=40=4X32=128（克）.例4：一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的5倍.问买30支活动铅笔的钱能买几支钢笔？解析：方法L列出下列等式：1支钢笔二5支铅笔（1）改写30支铅笔=6X5支铅笔（2）把⑴式代入⑵式得：30支铅笔=6X1支钢笔二6支钢笔.方法2：用字母X代表1支钢笔的价钱，用字母y代表1支铅笔的价钱，依题意可列出等式：x=5y因为30y=6义5丫用*代替5丫得30尸6*.说明：X=IXX省略了1和“X”号即表示1个x;5y=5Xy,省略了“X”号，即表示5个y.例5：已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量.问多少个李子的重量等于1个桃子的重量？解析：由题意列等式：13李二2苹李桃(1)4李+1苹=1桃⑵把⑵式代入⑴式得：13李二2苹+4李+1苹即9李二3苹;即3李二1苹⑶把⑶式代入(2)式得4李+3李二1桃即7李二I桃即7个李子重量等于1个桃子的重量.例6：如果鱼尾重4公斤，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少公斤重？解析：依题意列出下列等式：尾二4 ⑴头二尾+身÷2 (2)身二头+尾(3)由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把(2)式两边同乘以2得：2头=2尾+身(4)把⑶式代入⑷式得：2头=2尾+头+尾即：头二3尾=3X4=12(公斤)身二头+尾=12+4=16(公斤)全鱼二头+身+尾=12+16+4=32(公斤).训练：1、看下图，右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡.解析：1只小兔的重量等于6只鸟的重量，右边要放6只鸟，跷跷板才能保持平衡.2、水果兄弟们也组成了各种不同的图文算式，它们各代表一个数,你能猜出它们各代表几吗？6+6+6=ι°^ι解析：这是一个很基础的题，通过这个题的练习，可让学生初步掌握代换的方法，为后面的学习打下基础.(1)因为5+1+δ=IOT,所以5+匕+5=9,又因为3+3+3=9,所以。
并令əFəx=y+z+λ=0əFəy=x+z+λ=0əFəz=x+y+λ=0əFəλ=x+y+z-6=0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐解之得唯一解x=y=z=2，λ=-4因为F（x，y，z，λ）有最大值F（2，2，2，-4）=12所以∀x，y，z∈R+，F（x，y，z）=xy+yz=zx≤12当我们构造好函数F（x）后，求出在指定区间上的最大值M最小值m，则有m≤F（x）≤M.4利用积分的性质命题4：（柯西—施瓦茨不等式）设f（x），g（x）在[a，b]上均连续，则[ba∫f（x）g（x）dx]2≤b a∫f2（x）dx b a∫g2（x）dx例4：设f（x）在[0，1]上连续，试证1∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx＞1证明：因为f（x）在[0，1]上连续，所以e f（x），e-f（x）在[0，1]上连续，且恒为正于是（1∫e f（x）√e-f（x）√dx）2＜10∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx 即（1∫dx）2≤10∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx所以1∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx≥1.参考文献：[1]蔡兴光,郑列.高等数学应用与提高[M].北京:北京科学出版社, 2002.[2]何卫力.高等数学方法引导[M].北京:清华大学出版社,2004.等量替换法是数学解题中常用到的一种方法，通常当原有数学问题较为复杂，数量关系不够简单时用这种方法，可以使问题变得明了而简单化，易于解答或计算。
下面我们来看几个实例。
一、用“等量替换法”解答文字题例：甲乙两数的和是245，甲数的2倍与乙数的2倍之和是多少？分析：这道题的已知条件是：甲数+乙数=245，而问题的列式是：甲数×2+乙数×2，乍一看，要求得结果，就要分别知道甲是多少，乙是多少。
而甲，乙分别是多少？已知中并未告诉，也没办法去求。
我们不妨把问题的算式来个等量变换：甲数×2+乙数×2=（甲数+乙数）×2[乘法分配律]，这时用“245”来替换“甲数+乙数”就可以得出结果。
一、等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1、两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2、在下图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
经典例题剖析专题导入2、等量代换求面积及长方体正方体分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3、在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
思维拓展第1讲《等量代换》教案一、教学目标1. 让学生理解等量代换的概念，知道什么是等量代换。
2. 培养学生运用等量代换方法解决问题的能力。
3. 培养学生观察、分析、推理和判断的能力。
二、教学内容1. 等量代换的概念。
2. 等量代换的方法。
3. 等量代换的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决问题。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析问题，找到等量关系，进行等量代换。
四、教学过程1. 导入新课利用图片或实物导入，让学生观察并发现等量关系，引出等量代换的概念。
2. 讲解等量代换的概念通过实例讲解等量代换的概念，让学生理解什么是等量代换。
3. 讲解等量代换的方法通过实例讲解等量代换的方法，让学生掌握如何进行等量代换。
4. 练习等量代换让学生进行课堂练习，巩固等量代换的方法。
5. 讲解等量代换的应用通过实例讲解等量代换在实际问题中的应用，让学生学会如何运用等量代换解决问题。
6. 总结与拓展对本节课所学内容进行总结，并进行拓展，让学生了解等量代换在其他领域的应用。
五、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固等量代换的方法。
2. 让学生观察生活中存在的等量代换现象，进行记录和分析。
六、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的参与程度，及时调整教学策略，提高学生的学习兴趣。
2. 在讲解等量代换的应用时，教师要注重引导学生观察、分析问题，培养学生的解决问题的能力。
3. 教师要关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，帮助学生掌握等量代换的方法。
通过本节课的教学，让学生掌握等量代换的方法，培养学生的观察、分析、推理和判断的能力，为今后的学习打下基础。
在以上提供的教案中，需要重点关注的细节是“教学过程”部分，特别是“讲解等量代换的方法”和“讲解等量代换的应用”。
这两个环节是学生理解和掌握等量代换概念的关键，也是培养学生解决问题能力的重要步骤。
下面将对这两个重点细节进行详细的补充和说明。
