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应用变量代换的思想解一阶微分方程摘要通过举例的方式，介绍了在一阶微分方程的求解中，如何寻找合适的变量代换，将方程转化为可以通过积分求解的方程。
探讨了在寻找合适的变量代换时，结合具体方程进行具体分析的思考方法。
关键词变量代换；微分方程；积分法【中图分类号】 o175.1变量代换是在高等数学的计算中普遍使用的方法，诸如求函数的极限、积分的计算等。
而在一阶微分方程的求解中，变量代换并非一种计算方法，而是一种思想，是问题转化的思想。
一阶微分方程的形式很多，不可能去针对每一种方程研究一种解法，也没有这个必要。
在文献[1]中仅介绍了三种一阶方程的解法，却已经给出了求解一阶方程的基本思路。
一阶方程的基本解法是积分法，对于不能直接通过积分来求解的方程，可以考虑先通过适当的变量代换，将其转化为可以用积分求解的方程，然后再求解。
这样，如何找到适当的变量代换便成为求解这类方程的关键，也是难点。
在函数极限的计算中，变量代换的理论来源是复合函数的极限运算法则；在积分的计算中，第一类换元法和第二类换元法都有相应的结论作为理论指导，基本上形成了固定的方法与步骤；而在微分方程的求解中，变量代换没有什么理论基础，也没有固定的方法与步骤，它需要有较强的观察分析能力和经验的积累。
下面通过几个例子给出一些确定合适的变量代换的思路，希望能抛砖引玉。
为节省篇幅，在求解下面的方程时，主要进行方程的转化。
方法一：使用熟悉的变量代换例1 解方程。
解：这是个一阶线性非齐次方程，它的常规解法是常数变易法。
但通过适当的变量代换来求解，其计算过程更简单，方法也显得更灵活。
令（这是在文献[1]中将齐次方程转化为可分离变量的方程所使用的变量代换），代入方程整理得：，此方程与原方程“同型”。
再令代入此方程整理得：v′=2x。
于是积分得：v=x2+c，即u=x3+cx，亦即y=x4+cx2为原方程的通解。
一般地，形如的方程，作变量代换：y=u（x）·xa，方程便转化为可以直接积分求解的方程：。
利用简单的变量代换求解微分方程通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.2(41.1)dy x y dx=++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得24.du u dx-=21+4du dx u =⎰⎰，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx=++=++形如的方程，都可以尝试令注21tan .222dy y y dx x y x=+求微分方程的通解例2y u x=令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x=⎰⎰，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x=+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t=⋅=⋅-解 ，2(1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2.y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程222231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -⋅-⋅-⋅⋅-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ⋅-⋅1().sin t ⋅-210r +=特征方程，12(*)cos sin .y C t C t =+故方程通解 化简为220(*)d y y dt+=，r i =±解得特征根，212cos 1x t y C x C x ==+-将代入得 y(0)1,(0)2y '==将代入通解12=2=1.C C ，2(*)21y x x =+-故原方程特解 ()二阶常系数齐次线性方程总结本讲主要介绍了变量代换方法在微分方程求解问题中的重要应用.。
第十章 微分方程与差分方程第2节 一阶微分方程变量代换法求微分方程变量代换求解微分方程一、特殊方法求解微分方程利用变量代换求微分方程的通解解,u y x =+令d d 1d d y u x x =-代入原方程2d 1d u u x=+,arctan C x u +=解得得代回,y x u +=,)arctan(C x y x +=+原方程的通解为.)tan(x C x y -+=.)(52的通解求例y x d x d y +=d 16d y x x y=+例求微分方程解,u y x =+令代入原式d 11,d u x u-=分离变量法得,)1ln(C x u u +=+-,代回将y x u +=所求通解为,)1ln(C y x y =++-11--=y e C x y或另解（一阶线性微分方程）,1-=d xd u d x d y 则.y x d yd x +=方程变形为2d 17.d sin ()y y x x xy x=-例求微分方程的通解解,xy z =令22d 11(),d sin ()sin z y y x x x xy x z=+-=,42sin 2C x z z +=-分离变量法得,代回将xy z =所求通解为.4)2sin(2C x xy xy +=-,d xd y x y d x d z +=则变量代换求解微分方程二、伯努利方程22822.x yy xy xe-'+=例求微分方程的通解解,2112--=+'y xe xy y x ,2)1(1y y z ==--令2d 2,d x z xz xe x-∴+=22d 2d [d ]x x x x x z e xe e x C --⎰⎰=+⎰所求通解为).2(222C x e y x +=-此为伯努利方程.,2d xd y y d x d z =则例9 求方程2d (ln )d y y a x y x x +=的通解.解 令,1-=y z 则方程变形为x a xz x z ln d d -=-其通解为e z =将1-=y z []2(ln ) 1.2a y x C x -=x xd 1⎰[⎰-e x a )ln (x x d 1⎰-]C x +d []2)ln (2x a C x -=代入, 得原方程通解:THANK YOU( 雅各布第一 · 伯努利 )书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利( Bernoulli )(1654 – 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .伯努利方程的标准形式:)1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n n y 以)()(d d 1x Q y x P x y y n n =+--令,1n y z -=x y y n x z n d d )1(d d --=则)()1()()1(d d x Q n z x P n xz -=-+求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)。
一阶偏微分方程组求解
摘要：
一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念
二、一阶偏微分方程组的求解方法
三、一阶偏微分方程组的应用实例
正文：
一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念
一阶偏微分方程组是指包含一组一阶偏导数的方程组。
其中，偏导数是指函数关于某个变量的导数。
一阶偏微分方程组广泛应用于物理、工程和经济等多个领域。
二、一阶偏微分方程组的求解方法
求解一阶偏微分方程组的方法有很多，其中最常用的方法是以下几种：
1.变量代换法：通过引入一个新的变量，将原方程组中的偏导数关系式转化为关于新变量的普通导数关系式，从而简化问题。
2.分离变量法：将方程组中的每个方程看作一个关于某个变量的微分方程，分别求解，最后通过边界条件确定各个变量的值。
3.积分法：对于某些特殊的一阶偏微分方程组，可以通过积分的方法求解。
4.待定系数法：对于某些具有特定形式的一阶偏微分方程组，可以通过设待定系数的方式求解。
三、一阶偏微分方程组的应用实例
一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：
1.在物理学中，一阶偏微分方程组可以用来描述电磁波在介质中的传播过程。
2.在经济学中，一阶偏微分方程组可以用来描述商品价格、货币供应量等经济变量之间的关系。
3.在工程领域，一阶偏微分方程组可以用来描述管道中流体的流动过程、电路中电流电压的关系等。
总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种基本类型，其求解方法多样，应用领域广泛。
变量代换在求解一阶微分方程中的应用李丽(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)摘要:变量代换是一种重要数学变换,其主要目的是通过代换能使问题化繁为简，化难为易；将不能解决的问题转化为能解决的问题。
本文通过实例，探讨了变量代换法在求解一阶微分方程中的应用。
关键词:变量代换;一阶微分方程;齐次方程中图分类号:O175.1文献标识码:A收稿日期:2012-05-25作者简介:李丽(1975-)，女，山西左云人，助教，研究方向:计算机算法。
所谓变量代换法，就是把某个式子看成一个整体，用一个变量代替它，从而使问题得到简化，这也叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去解决。
变量代换法是高等数学理论和方法的重要工具之一，在高等数学领域中有着广泛的应用。
如在代数中求极限、求导、求积分等，在微分方程中求齐次方程、欧拉方程、微分方程组等[1—5]。
本文对变量代换在求解隐式微分方程与微分方程组中的应用作了初步研究。
1在解齐次方程中的应用齐次方程d y d x =φy x，通过变量代换u =yx，化为以u 为未知函数的可分离变量方程，然后带回原来的变量，可得原方程的解。
例1求解方程d y d x =y x +tan yx。
解这是齐次微分方程，以u =y x 及d y d x =xd ud x+u 代入，则原方程变为x d u d x +u =u +tan u ，即d u d x =tan u x。
(1)将上式分离变量，即有cot u d u =d xx，两边积分，得到ln sin u=ln x+c ，这里c 是任意常数。
整理后得到sin u =±ec·x 。
令±ec=c ，得到sin u =cx ，⑵此外，方程(1)还有解tan u =0，即sin u =0。
如果在(2)中允许c =0，则sin u =0也就包括在(2)中，这就是说，方程(1)的通解为(2)。
