高中数学 3.2 第1课时 均值不等式课后知能检测 新人教B版必修5

1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2 第1课时
均值不等式课后知能检测 新人教B版必修5

一、选择题
1．给出下面四个推导过程：

①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg x＋lg y≥2lgx·lgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥2 4a·a＝4；

④∵x，y∈R，xy<0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2 －xy－yx＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④

【解析】 ①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推
导正确；
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg x或lg y是负数，∴②的推
导过程是错误的；
③∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，

∴4a＋a≥2 4a·a＝4是错误的；
④由xy<0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，(－xy)、(－yx)
2

均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
【答案】 D
2．已知a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为( )
A．6 B．42
C．23 D．26
【解析】 2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42.
【答案】 B
3．(2013·西安高二检测)设0

A．a

C．a【解析】 由a＝a·a，b＝b·b＝b＋b2，0故选B.
【答案】 B

4．(2013·朝阳高二检测)已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22
C．4 D．5

【解析】 ∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4，当且仅当 a＝bab＝1时，取
“＝”，即a＝b＝1时，原式取得最小值4.
【答案】 C

5．已知x，y>0且x＋y＝1，则p＝x＋1x＋y＋1y的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6

【解析】 p＝x＋x＋yx＋y＋x＋yy＝3＋yx＋xy≥3＋2＝5.

当且仅当x＝y＝12时，取“＝”．
【答案】 C
二、填空题
6．已知x，y∈R＋，且xy＝100，则x＋y的最小值为________．
3

【解析】 x＋y≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝10时取“＝”．
【答案】 20
7．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系
是________(用“>”连接)．
【解析】 ∵a>1，∴a2＋1>2a>a＋1，
∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a＋1)，
∴m>p>n.
【答案】 m>p>n
8．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应
分别填上________和________．
【解析】 设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
1x＋1y＝(1x＋1y)4x＋9
y
60

＝160(13＋4xy＋9yx)

≥160×(13＋12)＝512，
当且仅当4xy＝9yx，且4x＋9y＝60，即x＝6且y＝4时，等号成立，故应分别填上6、4.
【答案】 6,4
三、解答题

9．设a，b，c是不全相等的正数，求证：bca＋acb＋abc>a＋b＋c.

【证明】 ∵a、b、c>0，∴bca＋acb≥2c，
bca＋abc≥2b，acb＋ab
c
≥2a，

∴2(bca＋acb＋abc)≥2(a＋b＋c)．
又∵a、b、c不全相等，
∴bca＋acb＋abc>a＋b＋c.
10．(2013·泰安高二检测)已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为A＝{x|1(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x－9a－bx(x∈A)的最小值．
4

【解】 (1)由题意知： 1＋b＝3a，1×b＝2a，a>0，解得a＝1，b＝2.
(2)由(1)知a＝1，b＝2，
∴A＝{x|1

∴f(x)＝4x＋9x(1而x>0时，4x＋9x≥24x·9x＝2×6＝12.当且仅当4x＝9x，
即x＝32时取等号．而x＝32∈A，∴f(x)的最小值为12.
11．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断12[f(x1)＋f(x2)]与f(x1＋x22)
的大小并加以证明．
【解】 12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22)．
证明如下：f(x1)＋f(x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，

f
(x1＋x22)＝lg(x1＋x22)．

∵x1，x2∈R＋，
∴x1＋x22≥ x1·x2，

∴lgx1·x2≤lg(x1＋x22)，
即12lg(x1·x2)≤lg(x1＋x22)，
∴12(lg x1＋lg x2)≤lg(x1＋x22)．
故12[f(x1)＋f(x2)]≤f(x1＋x22).